參加「歷史、文化與資訊時代的數學教育」研討會的論文摘要與心得

北一女中 蘇俊鴻老師

一、前言

今年五月24-28日，由台中師院主辨了一場名為「歷史、文化與資訊時代的數學教育」研討會，不難看出這一次研討論所希望「聚焦」的主題。筆者很榮幸在會中發表自己參與洪萬生老師國科會計劃時，在「數學歸納法」的教學上運用HPM的經歷與心得，以下是此報告的內容摘要。

二、論文內容摘要

在高中數學的課程中，希望學生學習的証明技巧有二種，一是反証法；另一為數學歸納法，這兩種証明的概念與形式均與直接証法有著頗大的差異。無獨有偶地，這兩種証明技巧均出現在高一上的課程中，學生剛脫離國中階段(尤其這幾年教改的大力簡化教材內容)，馬上面臨嚴苛的証明訓練，心中的不解與苦惱，可想見一般。

一般說來，高中學生在數學歸納法的學習中，在概念上較易出現的學習困難的地方有幾個部份：

?   對「歸納法」與「數學歸納法」的差異不夠了解；

?   忽略「數學歸納法」中的奠基步驟的重要性；

?   對「數學歸納法」中的遞推步驟的邏輯性無法掌握。

面對這些學習上的障礙，多數的數學教育研究者認為只要找尋適當的啟蒙例(像一連串經由碰撞而一個接著一個倒下的骨牌)，讓學生能對「數學歸納法」的概念更加了解，以便解決上述困難。

然而，隨著教改的政策執行，國中數學教材內容大幅精簡的影響下，筆者在教學實務上觀察發現：目前學生所面臨「數學歸納法」概念學習的困難層次，遠比上述的研究結論來得更為基本。事實上，當學生在國中失去歐氏幾何証明的教學與演練的機會後，已經對數學上所謂的「証明」毫無認識與體會。証明是什麼？為何觀察現象歸納所得出的性質需要証明為真？歸納法與數學歸納法有何不同？這些問題都是教師們在「數學歸納法」的教學上應需留意的部份。現有教材或研究論文所提的啟蒙例，都只著重在「歸納法與數學歸納法」的異同，或是對「數學歸納法中的遞推步驟」的強調。但例子的設計上卻多半太過牽強與做作，自然無法引起學生對「數學歸納法」學習的興趣。本文的目的，便是希望藉由數學史上對比的實際例子，讓學生感受到學習「數學歸納法」的必要性。期能彌補以往的不足，為「數學歸納法」的教學，提供另一種可能的實施方案。

因此，筆者選擇John Wallis(1616-1703)與Pascal(1623~1662)作為對照的例子，並利用學習工作單(共3張)來安排整個教學活動的進行。Wallis在1655年牛津大學所出版的《Arithmetica infinitorum》(無窮算術)中，為了推出著名的π的無窮乘積公式，必須使用以下的這個極限值

這個極限值是正確的，然而Wallis找到這個極限值的作法，卻引起其他數學家的批評，這正是Workcard 1的內容。此外，在Workcard 1的問題討論中，包含尤拉曾提出有關質數的公式，正是希望學生思考與討論歸納法的意涵及不足之處。

Pascal(1623~1662)的著作《論算術三角》大約完成於1654年。因為他成功地解決的賭博中賭金分配的問題（Promble of Points），引發他對組合學的興趣。在《論算術三角》書中，Pascal以組合規則中的加法公式 ，定義所謂的「算術三角」。然後給出了從算術三角中可以看出的性質公式，並加以證明。其中，在推論12的証明中，很多人認為，Pascal清楚地使用了現代「數學歸納法」形式，這正是Workcard 2所提的內容。為了讓同學能了解Pascal的証明過程，特別將全文收錄，作為同學的回家作業；並進一步將Wallis與Pascal兩人(幾乎同時期)的做法作一比較。進而讓同學思考「歸納法」與「數學歸納法」的異同，為何「歸納法」不足以保証命題為真？從而顯現「數學歸納法」的價值所在。

雖然「歸納法」與「數學歸納法」兩者的邏輯屬性不同(「數學歸納法」是屬於演繹層次，但不需對學生強調)，但從方法論的角度來看，「數學歸納法」可視為「歸納法」的「再補強」。由Wallis與Pascal的做法來比較，兩人最大的差異就在Pascal點出了從n遞推到n+1的這個推論，這也正是我們在「數學歸納法」的教學上最強調的遞推步驟。所以說，「數學歸納法」並非事後諸葛亮(許多學生都作如是想)，知道了結果或公式，才去驗証它的正確性。更重要的是先經由「歸納法」推測歸結出結果及公式，再利用「數學歸納法」補強「歸納法」無法處理的部份。

Workcard 1與Workcard 2就是整個教學活動的開端，希望能引發學生學習「數學歸納法」的動機，但想要理解與掌握「數學歸納法」整個的概念，這時便可利用課本的例子加以練習，根據Ernest對「數學歸納法」概念連結網絡的分析，其實使用及涵蓋的數學知識相當廣博，應當給學生有足夠的時間琢磨才是。

等到同學對「數學歸納法」有幾分的了解後，再來便可進行Workcard 3的活動。Workcard 3所談的是皮亞諾公設(Peano axioms)，在十九世紀中所興起的分析算術化運動中，義大利數學家Peano 在1891年提出的。他從不加定義的“集合”、“自然數”、“後繼元素”和“屬於”等概念出發，給出了關於自然數的五條公設，其中的第五條公設：

若一個由自然數所組成的集合 包含 ，並且當 包含某一自然數 時，它也一定含有 的後繼元素，則 就包含有全體自然數。

顯然的，這正是「數學歸納法」原理(邏輯上的正當性)。主要是希望學生能在學習「數學歸納法」的概念及相關例題後，做後設性的思考，深化對此一主題的理解。進而情形允許的話，也讓學生討論「數學歸納法」的等價形式，當然老師需介入引導的部份就較多。最後用Poincare在《科學與假說》的話，為「數學歸納法」這個活動作一結束(社會面向的正當性)：

對我們來說，為什麼此項判斷(數學歸納法原理)必須作為無法爭辯的自明之理，而強制我們服從呢？那只是對一個作用只要一次承認其可能，據此便可以使該作用作無窮次反覆思考，對此理智能力的肯定罷了。……它不外乎是對理智本身一種性質的肯定。

三、心得

或許是搭上奧運的熱潮，近來常在廣播上聽到一則廣告，常讓我一聽心頭為之一驚，大意是「孩子數學不好不是他的錯，只是缺乏良好邏輯方法的訓練，快來參加數學奧林匹亞競賽訓練課程，…。」雖然不知其課程內容為何，但以筆者對數學奧林匹亞競賽的了解，想要達成它所宣稱的成效，實乃緣木求魚才是。在數學教學上，真正能對邏輯推理訓練的養成，莫過於証明了。談起數學証明，許多人馬上浮現就是一連串的「因為…，所以…」的印象，導致常見的情景是學生興趣缺缺，老師快快教過。然而証明的功能，並非僅此。那麼証明的作用何在？關於這點，K. Weber(2002)認為：

(1)証明是為了讓人信服 ( A proof that convinces)

(2)証明是為了說明 (A proof that explains)

(3)証明是為了正當化結構 (A proof that justifies structure)

(4)証明是為了闡明技術 (A proof thar illustrates technique)

其中(3)(4)兩項作用是Weber在「証明」的教學上所強調的重點。換言之，數學証明主要的積極意義，在於讓學習者能透過它去理解命題，及學習其中必要的技巧。另一方面，(1)(2)兩項作用則是傳達「証明」這個數學活動的社會面向的意涵。

以數學歸納法為例，據Ernest對數學歸納法提出的有關概念的連結網絡圖。我們可以看出數學歸納法的概念與其他概念的有著緊密的關聯性。其中最重要的便是「自然數的性質」及「遞迴」這兩個核心概念。「自然數的性質」是讓我們認知到是否運用「數學歸納法」証明的決定性因素，而「遞迴」則是「數學歸納法」証明正當化的基礎。這個本質上的體認與了解，正是教師必須具備且在教學上需留意的地方，方能知道學生學習的困難之所在。因此，當我們在教學活動的設計上，該如何引發學生的興趣或動機？我想，數學史正是提供多一個思索活動安排或是尋找素材的方向。而此次在數學歸納法的嘗試上，對筆者來說最大的意義，在於試圖將數學史材料「融合」於教學的內容之中，也讓自己在教學進度的掌握上，能更加餘裕。

此外，此次研討會唯一有些美中不足的，就是活動日期訂在5月24(週一)至28(週五)日舉行，對於有心參加的在職的教師，在差假的申請上，其實是會遇上麻煩，以致於參加的意願會降低不少，豈不讓研討會的美意打了折扣！