《數學:確定性的失落》譯序

台灣大學數學系  翁秉仁教授

一、述說『數學』這一本大書

台灣一般人心目中的數學,可能只是極為重要的考試科目,除了帶來無止盡的求學痛苦,以及拿來證明誰比較聰明外,有興趣知道數學到底為什麼重要的人並不多。面對神祕的奇異符號、公式、方程式,大部分人對數學大概多半敬而遠之。

另一方面,愛好科學的人,多半知道從牛頓以降,數學與(物理)科學之間密切的關係,今日許多科技成果追本溯源,處處都可以見到數學的足跡。讀哲學愛思考的人,則多半知道數學在人類思想史中的樞紐地位,自柏拉圖與亞里士多德之後,任何西方思想家若想要對人類知識成一家之言,無不需要對數學的知識位置有獨出機杼的見解。二十世紀學數學的人,對數學的理解則可能是一個合理而嚴密的邏輯思考系統,是層層累積而上的公設、定義、定理、系理、新定義……,是抽象又華麗的玄思遊戲,過關斬將克服一個個未解的問題。

不同時代的數學家、哲學家、科學家,以自己特有的關注方式,配合數學的演進、時代的氛圍,來詮釋數學作為真理的意義。而數學的思想豐富性,似乎注定各花入各眼,只能以特定的角度,以管窺天。顯然,我們需要一位懂數學的說書人,能整合數學的諸多面向,在它們的背後讀出一條活生生的數學生命史。這裡「活生生」的意思不僅是一般科普書的有趣多樣而已,而是有著迷惑、掙扎、成功、失敗的奮鬥過程。換句話說,數學固然一直有著神的面貌,我們希望領會的卻是其中人的尊嚴。

本書或許是一個成功的嘗試,說書人是著名的數學史家莫理斯•克萊因。

二、克萊因的學術生涯

萊因(Morris Kline, 1908~1992)生於紐約布魯克林,學士、碩士、博士都在紐約大學取得。1952年任教於紐約大學庫朗數學研究學院,專長為電磁學及其他應用數學,後來轉往數學史工作。除了數學專業的著作之外,他最重要的數學史著作為《數學史:數學思想的發展》(1972),另外還有《數學與物理世界》(1959)、《西方文化中的數學》(1953)等。另外,克萊因對各級數學教育曾有批評,除了以他的觀點所撰的微積分教科書之外,這方面他最知名的兩本書是,抗拒新數學教育觀點的《為什麼強尼不會作加法:新數學的失敗》(1973),以及對數學數學教育的批評《為什麼教授不會教書:大學教育的兩難與數學》(1977)。

先回頭說一下庫朗學院的創立者。原籍德國的庫朗是希爾伯特的學生、同僚與共同作者(合著有《數學物理的方法》),一生前半期的研究生涯是在當時數學界的世界之都擱廷根渡過。後來因為猶太血統,在納粹掌權後被迫出走,1934年從德國赴美,庫朗延續他在哥廷根大學所創立之數學研究學院,從當時一無所有的紐約大學數學系,建立了這個後來(1964年)以他為名的學院,成為世界應用數學的重鎮。克萊因從大學之後幾乎都一直待在紐約大學,浸淫在這個「真正」的數學傳統中甚深。他從一位應用數學家,後來轉入數學史研究,並且對數學教育迭有發言。初看起來,在以應用為宗的數學研究機構裡,從事歷史研究,似乎頗為奇特,但其實自有他一以貫之的考慮。

三、二十世紀的數學潮流

二十世紀的數學潮流從根本來說,有兩個重要的方向,第一是與科學傳統的分離,純數學研究不但抬頭,甚至幾乎壟斷了數學的解釋權;第二是貫徹形式、邏輯的嚴格化取向,整個融入研究的呈現方式和數學教育的標準。這兩者雖然不完全等同,但後者的實踐結果,對於純數學潮流卻著實有推波助瀾之功。簡而言之,二十世紀初期的四大基礎學派之爭,本身只是一個數學最高層的內部反省運動,邏輯主義、形式主義、集合論學派的所有論旨,都加強純數學研究任意操弄公設、定義、符號的傾向,就連反形式傾向的直覺主義,他們心靈為數學根源的觀點,也無疑加強純數學恣意想像的一面。幸好,當時數學基礎論戰的旗手都是頂尖的數學家,他們扎實的科學訓練與數學理性的要求融而為一,展示了非凡的品味,為二十世紀的(純)數學發展奠定了重要的基礎。但是純數學那種一味以自己的喜好,只能以品味和困難度為方向的「現代」氣味,以自己的邏輯複製發展,到了克萊因的年代卻已瀰漫數學界。

正如克萊因在書中所言,純數學的重要特徵,如抽象、推廣、專業化、公設化,都有其必要性,但這些面向卻只是指著月亮的手指。克萊因所質疑的正是這種把手指視為重點,反而冷落了月亮的觀點。因此,純數學面臨的尷尬外部問題之一,就是為什麼社會大眾要「供養」一批人從事這樣的玄思。1能夠辯護的策略不管如何曲折,幾乎都必須跟數學的某種應用性相結合:社會需要科技、科技需要科學、科學需要數學、而與應用較相關的數學又需要純數學;今日的純數學就是未來的應用數學;不要管純數學家到底在做什麼,社會就是需要足夠多的數學家、數學社群、數學環境,才足以撐起可能有益的數學進展;數學家不只是做研究,他們的教學提供了學生日後從事應用時必要的邏輯訓練和數學基礎。

稍微深思,就知道除了最後一點的確有其說服力之外,其他的說詞都幾近詭辯。在人類社會,以創意或思考這些勞心工作為「職業」的人如文學人、藝術人、廣告人,從來都面臨嚴苛的市場壓力問題,成王敗寇,自負成敗。在歷史上曾經大規模地用社會力量來支持玄思者的情況,恐怕只有宗教的神職人員可堪比擬。而如果今日的數學工作者真的是消極或積極的神職人員,那他們所應許於大眾的又是什麼呢?除了訴諸缺乏公眾基礎、隱含知識菁英意識的數學結構美感,以及數學問題挑戰的困難度之外,有責任感的「純」數學家恐怕還是得寄託於與自己的研究其實頗有距離的兩個典型又悠遠的「大論述」來安身立命:也就是數學是真理,或數學是自然的語言。

比較奇怪的是,純數學家不只是在心理上援引這個說法來安頓自己,許多時候還慢慢從自欺轉成自傲,這個集體想像落實了整個二十世紀的純數學轉向,其徵候就是與世無關、對科學無興趣或避之唯恐不及、鄙視應用學科或應用數學,甚至誤導數學教育。不管數學基礎的論爭是不是有結果,二十世紀的數學教育的一個特色是集合論、邏輯、公設法的進場,並表現在許多有名的教科書上,這些教科書聯合起來的影響,是讓下一代的數學學生以為這是數學的唯一面貌,是學習數學的唯一方法,甚至以邏輯的順序感取代了數學的時間感、歷史感。明智的數學研究者或許能免於這份影響,但是相當多的數學學子,日後成了國家教育系統裡的各級數學老師、轉而從事數學教育研究、或者進入政策體系,在教育現場、師資培訓、教育政策上一再複製這個數學觀的影響。

只有從這一點,我們才能理解身處形式或純數學氣候逐漸籠罩的二十世紀中期,克萊因為何會從一個數學家轉入數學史研究,並理解他這些著作的核心與綱領。他的數學史著作是為了還原數學科學的活水源頭,證明數學與科學、技藝、文化間的密切關係。而數學教育著作則是為了對抗形式數學教育所產生的嚴重後果。

四、歷史敘事與反思

本書在克萊因的著作中,特別顯得突出,是因為這不只是一本單純的數學史,而是一本反省深思之書,也是一本「危險」的書,尤其是現在。

大部分的人開始對數學有興趣,並且能持續進行似乎枯燥無味的「符號研究」,幾乎都有段類似神啟的經驗,也就是突然感受到似乎窺見真理之姿的悸動,這個理性之人的非理性時刻,自有其魔力拉著數學家走入自己的「天職」。數學家克萊因無疑也是這樣走入他的職業生涯,因此看著克萊因在書中,慢慢剖析數學在思想史裡的地位、角色、功能,從聖潔崇高,到針對可疑的掙扎、奮鬥、勝利,一直到最後從二十世紀初,人類理性最有可能證成自己的那一刻,突然潰敗下來之後,必須另尋出路以保證這份人類遺產的尊嚴。克萊因等於用這本書,記錄下自己追尋數學意義的心理起伏。當數學不再如神祇般高高在上,不再只是一個冷酷獨斷的系統,克萊因反而讓我們意識到數學的確是屬於人類的功業,既受制於時空與人類狀況,也因此讓這門一般人視為無人性的學科,真切顯露了它的人性深度。就這點而言,實在值得任何好思考、對智識領域有興趣的人,讀上一讀。

說這本書危險,是因為他揉合了許多歷史上對數學的思考角度與爭辯,因此需要讀者配合,避免斷章取義。例如,若將數學的境遇當作悲劇,甚至把今日的數學狀況想成一無是處,因此可以用來支持某些後現代哲學家的論證,這顯然背離事實。因為跨過這整個二十世紀,數學在科學裡的應用只有愈來愈成功、愈不可或缺,因此我們面臨的是長久的數學哲學之謎:「數學為何能應用到自然」。至於,數學家無法滿意地內在說明自己思考的系統沒有矛盾,其實不能算嚴重。我們可以合理地說,這只是在某段時間,數學家對自己的要求太高、信心太強的結果。數學仍然持續成長,新一代的數學學習者,甚至根本不在意這段歷史。

五、純數 vs. 應數

另一個斷章取義的可能,是將這本書想成在散佈灰色思想,讓後學覺得數學不值一顧,甚至有讀者曾經跳出來衛護形式邏輯的數學觀。但是如果我們讀過克萊因其他的數學史書,就知道他對數學的看法一向穩健正面。仔細閱覽本書可以發現,克萊因所在意的是把形式化、純粹化數學視為唯一的觀點,他所權衡調節的是要讓邏輯、公設、形式符號,這些近年來數學家特別看重的結構材料,和數學得以成長的直覺、經驗、大自然的因素取得平衡。

另一個會引起爭論的,其實也是數學界動不動就有人會爭辯的問題,就是純數學和應用數學的地位之爭。二十世紀中期,自認身為數學道統傳人的(應用)數學家,眼見整個數學界的品味、風尚、政治在自己眼前整個轉變,很難不有義憤之言,克萊因在本書的最後幾章對這個問題多有著墨,也看得出他的火氣。不過持平而言,他的引證申論都頗有見地,只要是憂心數學教育裡形式訓練弊病的人,一定可以在他的說法裡,找到恰當的印證。就如前述,要社會供養純粹數學家頗有缺乏正當性的嫌疑,當今日的歐拉、高斯可能出現在非數學系之時,數學系的定位就會面臨挑戰,事實上在廿一世紀之交的這段時間裡,預算的刪減、數學系的存廢、數理科學的轉型、應提供更多基礎數學教學責任等等議題都紛紛搬上檯面,一葉知秋,已經可以看出端倪。

二十世紀的純數學轉向其實相當程度依賴於兩次大戰後的冷戰結構,為了謀求戰略戰術優勢,各國的物理以及數學研究獲得相當多國家預算的挹注,造成純數學的一片榮景。對於像哈第這樣因為與戰爭無關而頌讚純數學的人,這可能是歷史開的最大玩笑。冷戰退潮後,現在純數學和應用數學到底如何共生共榮的問題,已經跨入有識者的思考視域之內(不管是老師或學生,中心或邊陲國家),也因此克萊因這本二十多年前出的書,就其最根本的議題而言,現在仍然具有極大的啟發性。

當然經過二十多年來,許多克萊因探討的種種課題,都因為整個數學的新發展,而有了新的微妙變奏,值得另文再討論。舉例來說,純數學和應用數學的邊界正受到挑戰。弦論物理學家維騰(Edward Witten)近年提出各種令人咋舌的「數學」猜測與陸續驗證,2他因此獲得數學界的最高榮譽費爾茲獎,但是卻也引發數學界對何謂數學和數學證明的爭論。事實顯示,在最高階的數學家裡,形式證明的意義和百年前一樣,受到直覺論證和合理說明的挑戰。而維騰之所以能做出數學猜測所根據的原理,卻又是物理詮釋取向下的某種「後設」原理,這相當程度逆轉了「應用」的方向,模糊了應數和純數的界線,而這又因弦論到底算不算一門物理學而更惹思辯。

計算機技術的成熟,也帶來相當多的挑戰課題,首先是利用計算機輔助的證明,算不算證明的問題,第一個挑戰證明概念的事件是「四色定理」的證明,最近一次則是刻卜勒裝球問題的證明。其次,計算機近年來符號運算(而不只是傳統數值運算)能力大增,計算速度也愈來愈快,這讓數學家和「業餘」數學家能利用這個新工具,進行歸納實驗、檢驗假設,近年乃有「實驗數學」觀的興起,這些研究要如何和正統數學研究區分是一個新的課題。同樣的計算機能力,也促使科學家利用模擬的方法,對付本來十分困難的數學問題,在解題時已經有許多人是先用電腦程式模擬問題,而不是像傳統先透過建立模型,再使用數學知識與推理進行解題。這個方法論傾向的影響,頗值得深思。最後,計算機的強大計算能力讓最「純潔」的數論和最商業的應用產生了奇妙的結合,造成目前密碼學的新一代風潮,這對純數學是否有應用價值,又產生了一個新的強大論點。

以上只是簡短談到兩個例子,事實上這些年來,科學的應用對數學研究的影響也新增或推動了許多課題:可總其名為弦論數學的數學領域、基於計算機科學的算法複雜性、傳統數學的離散觀點和隨機觀點、在非線性科學影響下的動力系統新問題等等,影響所及讓許多傳統的純數學期刊也跟著更動其編輯方向。另外,數學哲學的爭辯在脫出二十世紀初期四大基礎學派之爭,仍然有許多實質的新觀點,許多都與數理邏輯的新發展、計算機技術的擴展,大腦認知科學的進步有密切的關係。在數學史方面,克萊因的數學史研究基本上是所謂內部的、思想史的研究理路,近年來有許多新的數學史研究,在理路上與克萊因的觀點有所差異,在資料、內容的深度幅度上,也都有很大的進展。

六、結論:轉向『實用』

 

總而言之,在在慢慢遠離廿世紀初期的理性和純粹傾向後,我們也許可以說,數學在廿一世紀之交已經實質在做「實用」(pragmatic)的轉向。不管這二十幾年間,有多少有意思的數學議題變化,而「實用」這個詞又容或有多大的解釋空間,克萊因此書中的基調,似乎正應和著這股轉變。數學依然是盡量要求嚴格的學科,但是它前進的方向和手段,遵循的將是更實用的考量,既不是再背負著真理的必然性,也不是毫無節制的盲動奇想。這是悲劇,還是福音,克萊因最後所鍾情的歷史,將會給我們答案。

附註:

1. 就這個問題而言,數學和哲學可以說是難兄難弟。

2. 關於維騰在弦論上的一些貢獻,可參看布萊恩•格林恩《優雅的宇宙》,台灣商務,2003年。

 

編者按:編者為了方便讀者閱讀,特別加上小標題,希望無損作者原味。另外,若讀者對於本書之翻譯細節有興趣,請逕自參考翁教授所提供的網頁:http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_kline.