數學雜談（三）--從邏輯談起

 台師大數學系助教 謝佳叡

一、前言

雜談，說穿了就是想到什麼寫什麼，沒有固定的主題，找一個起點後就任憑思緒天馬行空的走著。為什麼這一次選邏輯這個「起點」？倒也有一個原因！

今年三月底，受邀擔任教育系辦的一個關於資源班數學教學研習活動的講者，講題為「數學教學方法的發展」，參與的教師都是在學校擔任資源班或普通班的數學教師。研習前，我先做了一個資料收集，希望瞭解這些中學數學教師在這場演講中的需求是什麼。從他們所提出目前在數學教學上所遇到的難題，可以分成底下幾類：

（一）學生語文理解能力不夠、對於應用題的題意無法了解；

（二）學生對抽象名詞不了解、無法理解抽象問題；

（三）內容過多、學生學習速度慢，跟不上進度；

（四）學生邏輯不好、推理能力差；

（五）學生興趣低落、不愛數學課，挫折感較高；

（六）懶得動手算、且無人可督促；

（七）學生缺乏家庭支援無人可以幫忙課後複習；

（八）數學基本運算如：分數、小數、百分比…能力的缺乏。

從這些教師的需求，我們不難看出「自省」仍是教師們所缺乏的，但願意參加這樣的研習來提昇自己的教學技巧，還是值得讚許。這其中，教師們特別提到了「學生邏輯不好、推理能力差」，不禁讓我想到：「這難道只有中學生如此嗎」？這種不合邏輯的「推理」，不也隨時隨地充斥在我們這個所處的環境中。在學校，我們教導學生「若P，則Q」與「若非P，則非Ｑ」是不等價的同時，在家中，我們對著小孩說：「功課沒寫完不准看電視（非P 非Q）」，但這句話卻等同於「只要功課寫完了就可以看電視（P Q）」，如此，怎麼能期望學生在邏輯上能沒有困擾。

相反的，合邏輯的推論背後，不也經常與經驗相違，而被誤解為不合邏輯。

二、福爾摩斯，你的推理有時也得靠運氣！

在W. Salmon所著《邏輯》一書中提到這麼一個例子，在著名的福爾摩斯探案裡，有一篇名為「藍寶石奇案（The Adventure of the Blue Carbuncle）」的案件，文中福爾摩斯撿到了一頂破舊的氈帽，他並不知道這頂帽子的主人是誰，卻能告訴華生醫生有關帽子主人的一大堆事，其中包括說「那人擁有高度的聰明」。

華生一如往常的地看不出福爾摩斯的推論有何根據，因此追問起來，要求給予證明。福爾摩斯將帽子戴在頭上，那頂帽子蓋過了前額，直落到鼻子上緣，並說：「這是一個立體容量問題。一個有這麼大腦子的人，裡頭一定有些東西。」

之前，福爾摩斯從帽子的觀察中進行推理，並下了一個斷言（Assertion）---「那人擁有高度的聰明」，但此時，他並沒有提供一個根據；之後，在華生的追問下，他為這個斷言提供了一個根據。姑且不論福爾摩斯提供的根據是否能支持這個斷言，一個「有根據」的斷言才形成一個論證（Argument），有了論證，我們才能去核證（Justify）他所進行的推論（Inference）是否正確。（筆者在這一段所用的許多名詞，其目的只為後文溝通上的方便，無意在此將這些名詞做一嚴格界定，讀者有興趣可參閱《邏輯》一書！）

從故事中華生並未進一步提出反駁或疑問，顯然福爾摩斯的論證已經說服了華生，當然了，故事最後也安排帽子的主人正是一個受過高等教育的人，這又更顯示出福爾摩斯的神力。

但，這一切不代表福爾摩斯的這個論證可以說服所有人，至少就不能說服我。

儘管，福爾摩斯並未將他的論證細節說出來，我們仍可以將它重新組織一下，分成以下幾個細項：

1.      這是一頂舊的大帽子。

2.      這帽子一定有一個的主人。

3.      這個主人的頭很大。

4.      有大頭的人，腦容量也是大的。

5.      腦容量大的人，有高度的聰明。

6.      因此，帽子的主人是一個高度聰明的人。

這個論證其中的前五句是前提，第六句是結論。就嚴謹的觀點來看，這些項目本身，以及項目和項目之間的接續都是可被批判的，尤其是其中的第5點，不是有大腦袋的人就有高度的聰明這一點，在現代幾乎是普遍可被接受的常識。不過，我們必須要有一個體認，我們可以說福爾摩斯這樣的論證有瑕疵，但我們不能說它的邏輯是謬誤的，相反的，該邏輯推論是有效的。

「邏輯」的職務不是去發掘有大腦袋的人是不是聰明的，這是科學家或醫學家的工作，邏輯的工作是看論證的前提是否能支持它的結論。也就是說，邏輯所擔保的，是假定那些前提都是真的的情形下，那麼論證的結論也會是真的，換句話說，它管的是推論過程是否有效，而不是前提或結論的真假。

這也提醒我們，當我們在批評一個人說的話不合邏輯時，可能我們的批評才是錯了。

三、汽車對香草冰淇淋過敏？

剛剛的例子，談的是邏輯的角色，福爾摩斯說了一個結論，最後才提供根據，根據一出來後，他推論的過程就清楚了。接下來這個例子，談的是一個荒誕不經的現象，而推論卻找出了之間的合理關連性。

這是一個發生在美國通用汽車的客戶與該公司客服部之間的網路故事。（請原諒筆者無法提出這種網路故事的來源、以及真實性的考據，所幸這並非本文重點），故事是這樣的：

    一日，美國通用汽車公司的龐帝雅克（Pontiac）部門收到一封客戶抱怨信，大意是說：
    『這客戶家有一個傳統的習慣，就是每天晚餐後，都會投票決定某一種口味的冰淇淋來當飯後甜點。當大家決定後，這個客戶就會開一部新買的龐帝雅克去買。而問題就發生在買冰淇淋的這段路程。

    每當這個客戶買的冰淇淋是香草口味時，從店理出來車子就發不動。但如果買的是其他的口味，車子發動就很順。』

    這個客戶在第一次投訴給汽車公司時，並沒有得到回應，他當然也能理解，因為換成是他，他也會認為這個問題聽起來很荒誕。但他卻十分認真地看待這件事，因此再次的向公司反應。

    龐帝雅克的總經理當然不會相信他們的車子對香草過敏。但他還是派了一位工程師去查看究竟。當工程師去找這位客戶時，很驚訝的發現這封信是出之於一位事業成功、樂觀、且受了高等教育的人。工程師安排與這位客戶的見面是在用完晚餐的時間，剛好那個晚上投票結果是香草口味，他們一同前往，當買好香草冰淇淋回到車上後，車子又秀逗了。

   這位工程師之後又依約來了三個晚上。

   第一晚，巧克力冰淇淋，車子沒事。

   第二晚，草莓冰淇淋，車子也沒事。

    第三晚，香草冰淇淋，車子“秀逗”。

如果故事到這裡，你會怎麼想？

這位思考有邏輯的工程師，他希望能夠將這個問題解決，因此繼續安排相同的行程。他開始記下從頭到現在所發生的種種詳細資料，如時間、車子使用油的種類、車子開出及開回的時間…，根據資料顯示他有了一個結論，這位仁兄買香草冰淇淋所花的時間比其他口味的要少。

    為什麼呢？原因是出在這家冰淇淋店的內部設置的問題。因為香草冰淇淋是所有冰淇淋口味中最暢銷的口味，店家為了讓顧客每次都能很快的取拿，將香草口味特別分開陳列在單獨的冰櫃，並將冰櫃放置在店的前端；至於其他口味則放置在距離收銀檯較遠的後端。

    於是，工程師將問題轉換為：為什麼這部車會從熄火到重新啟動的時間較短時就會秀逗？工程師很快地由心中浮現出，答案應該是“蒸汽鎖”。當這位客戶買其他口味時，由於時間較久，引擎有足夠的時間散熱，重新發動時就沒有太大的問題。但是買香草口味時，由於花的時間較短，引擎太熱以至於還無法讓“蒸汽鎖”有足夠的散熱時間。

這個問題的起因，只是一個看起來非常荒誕的現象，在經過細心的觀察，以及十分「漂亮」的推論後，卻得到一個十分合理的答案。

這個故事並沒有提到後來的發展，工程師有可能因此發現了汽車公司長年來從未發現的問題，當然也有可能根本跟蒸汽鎖無關。但至少工程師在當下得到一個十分合理的答案（相信許多讀者們也能認同這個答案）。

四、足夠的根據、足夠的經驗，以及邏輯的嚴謹度

在這一個故事中，個人認為有三件事是值得進一步討論的。

第一件事，是足夠的證據。在一個論證中，如果證據不夠，是無法得到結論的。這個例子中，如果這個工程師沒有詳細的觀察資料，因而得到買香草冰淇淋的時間較短，是發現不了問題所在的，這其中也使用了邏輯學中重要的歸納法。

第二件事，是足夠的經驗，這關係到推理能否進行。如果是一般人，就算知道這部車從熄火到重新啟動的時間較短時就會秀逗，也不見得知道問題出在何處，這就是專家與非專家在面對事情上的差異。

第三件事，是推論的嚴謹度，也就推理的品質。筆者依據嚴謹的程度將之分成三個層次，並分別稱為「合情推理」、「因果推理」以及「合法推理」。如此稱呼的原因，除了借用日常用詞以達到敘述方便的目的外，在意義上也確實有幾分類似之處，在接下來的文章中作進一步闡述。值得一提的是，這裡的「合情推理」和G. Polya《數學與猜想》一書中所稱的「合情推理模式」並不完全相同，尚請讀者留意。

五、第一層次---合情推理

這位客戶在察覺香草冰淇淋可能跟車子發不動有關時，他已經做了一個推理。這個推理並非建立在嚴謹的邏輯上，只是兩個時間先後發生的事件。他不知真正的原因，但他相信這兩個事件之間一定有關，否則他也不會兩次寫信給汽車公司。這種推理的嚴謹度，個人將它稱為「合情推理」或「表層推理」。

合情推理在推理的層級上是最低階的，這種推理建立在事情發生的情境上，推理是依據「個人」對情境表層之關係的經驗或想法，因此「人」的影響很大，例如，這位客戶認為香草跟發不動車子這兩個事件有關，而多數其他的人卻認為十分荒謬。

要強調的是，這樣的說法並不是對這種推理方式有貶低之意思，相反的，它卻是生活中最常被使用，且經常是「有用的」推論。試想：當一個人肚子不舒服，第一個懷疑的就是最近一次吃的食物乾不乾淨，這是合情推理；當一個人發燒了，就被認為是感冒了，這是也合情推理。諸如此類之事，屢見不鮮，這些推理並沒有嚴格的邏輯支撐，也不見得有因果關係，甚至被當成依據的僅僅是事件發生的先後。

六、第二層次---因果推理

故事中，那位工程師可不接受這樣的合情推理方式。事出必有因，怎麼能接受汽車會對香草過敏？因此他進一步去查證，發現是汽車重新發動的間隔過短，因而推論是蒸汽鎖來不及冷卻所引起的。這個推論過程背後有一個根據支撐著，而且這個根據已經不是憑藉一個人的意見便可以支持或反駁，而是存在群眾都能接受的一個因果關係推論。這種推理的嚴謹度，個人將它稱為「因果推理」。

雖然都是在追求兩個事件之間的關連，因果推理又比合情推理更為嚴謹。因為它不僅將兩個事件聯繫在一起，聯繫之間還存在著一個「理」，而這個「理」儘管未必能在嚴謹的邏輯檢驗中全身而退，達到100％的準確度，卻達到某種程度的社會約定（也容許一些例外）。這種為一個發生的事件找尋一個可能的原因所用的推理，在社會科學中十分的普遍，自然科學報導也經常可以看到，甚至在學術研究上，它也經常無往不利，諸如：推理小說裡的推論、醫生病例的分析、市場調查分析、各類的社會現象研究、評論…，大都屬於此類。

舉例來說，日前，剛滿兩歲的女兒在沒有絆到任何物件的情形下突然跌坐在地，並她痛得大哭。當時我心中的想法是：「小孩子的骨頭軟，不會在這樣的情形就斷了，因此應該是某種扭傷或肌肉的疼痛吧！」，這是一個合情推理。卻沒想到這一跌，竟讓她左小腿骨斷成三截。一到醫院看到斷骨的X光片後，心中仍疑惑：「怎麼可能？她是撞到了什麼？那附近只有地板啊！」---又是一個認為要撞到某硬物才會斷腿的合情推理。

醫生根據X光片，從骨頭斷掉的裂痕狀態、位置及方向加以分析，判斷是「扭轉」的力量所造成的斷裂（這已進入了「因果推理」），因此推測她可能是突然改變奔跑方向產生的加速度力量集中所造成的。換句話說，她是先斷後跌，而不是先跌後斷----這又是另一個因果推理。

儘管，因果推理的有效性大於合情推理，但仍是可批判的。而且，一旦推論的結論與最後的事實不符合，就算推論再漂亮也會被遺棄。例如：那位工程師推斷車子的問題在「蒸汽鎖」，但如果最後檢查不是「蒸汽鎖」的問題（沒人保證這絕不會發生），則儘管它的推論看來是這麼的合理，但是無效就是無效！又例如：我女兒的斷骨，是不是真如醫生所說是突然改變奔跑方向所造成的，看來除了我女兒之外，誰也沒辦法確定。

七、第三層次---合法推理

在這合情推理、因果推理之上，有另一個嚴謹度要求最高的，個人將之稱為「合法推理」或「形式演繹推理」（在G. Polya《數學與猜想》一書中，將此種推理模式稱為「論證推理」）。這裡的「合法」指的不是法律，而是「形式演繹法」，或者個人更喜歡直接稱為「數學方法」。之前的兩種推理的品質，其有效性都決定於或然率的高低，「合法推理」則不然，它是建立在嚴密的邏輯演繹上，不管它所推理的內容是什麼，一旦在「合法推理」的推論下，就要求百分之百的有效，絲毫不得妥協。

數學的推理形式便是如此，它要求的嚴謹度已達到「吹毛求疵」的地步，甚至可以說是一種「邏輯潔癖」。不是在「合法推理」之下所得到的結論，就算舉出了成千上萬符合的例子，最多也僅能當成「猜想」，誰也不敢放心地使用它。而若是在「合法推理」下得到非真的結論，那只能有一個可能，就是前提非真。

儘管，合法推理（形式化的演繹推理）的發展從歷史的角度看是很晚才完備的，但它的開端卻可以往前推到二千多年前的古希臘時代。早在亞理斯多德時代，人們就進行了推理和批判別人的推理（W. Kneale and M. Kneale,1984），同時亞理斯多德也整理出許多推理所要遵循的某些模式，三段論法就是其中之一。他從哲學、政治、法律或日常生活的爭論觀察中，認出這些模式並加以公式化，成了現代邏輯學的重要奠基，在後人的努力下以及符號系統的引入後，才能有如今形式化的面貌。

八、合情推理、因果推理和合法推理之間的界線

「合情推理」和「因果推理」中間的界線並不十分清楚，因為兩者之間有許多的共同點，例如：它們都加入了「人的經驗、判準」，以及「有效性的判定取決於或然率（儘管有些因果推理的或然率幾乎可達百分之百）」，因此有時區分兩者並不容易。相對的，在「合法推理」中，推理的過程與「人的經驗、判準、喜好」是無關的，不但具普遍性與自身獨立性，有效性也不取決於或然率。也因為如此，它不太容易受時代的影響，二千年前被證明為真的數學定理，二千年後的今天，還是為真。

也因為數學如此地要求合法推理，也使得一些十六、十七世紀的哲學家不將數學視為「完全的科學（perfect science）」（Harel, 2004）。他們認為數學的蘊涵（implication）只不過是一種邏輯結論（logical consequence），而不是一個結論成因的演示（a demonstration of the cause of the conclusion）」，而科學探討的是後者。這個說法，表面上指出了的是數學和科學之間的分野，實際上也為「因果式證明（causality proof）」和「形式化的邏輯演繹」提供了一個界線。

到目前為止，如果讓各位讀者以為本文有尊「合法推理」而貶「合情、因果推理」之意，那完全歸咎於筆者失當的文筆。儘管「合法推理」是數學論證的主要形式，將一個猜想「合法化」也是數學重要的工作之一，然而，數學發展的精髓，卻是一個猜想如何被提出，這還得靠著直觀、類比、關係、臆測等方法，而這些方法所支持的即是「合情、因果」的推理。

九、以不合法的手段傳遞一個數學事實

本文的最後，想提供一個值得思考的問題：「在教學時，用一個不合法的方式傳遞一個數學事實是否恰當？」不合法，當然指的是邏輯上不嚴謹的方法。例如，筆者在參與一些準教師課堂中的教學演示時，發現教師並不排斥利用「過三角形一點作對邊的平行線」來證明三角形內角和為180度，認為如此淺顯易懂；又如教師在複數教學時，告訴學生 要在 a 、b 要非負數時才可以拆開成 ，但是教學中卻出現 的式子。

在洪萬生老師的數學史課堂中，曾經對下面這個命題的教科書上證明的方式提出質疑。

試證：等腰三角形，兩底角相等。

無論證明的方式是利用畫頂角平分線，或是畫過頂點的中線，或是畫過頂點的垂直線，目的都是要製造兩個三角形全等，證明並不難。問題在於，在《幾何原本》的公理系統中，畫角平分線、畫中線（平分線段求中點），或是畫過線外一點作垂線的三種方式，都必須用到「等腰三角形兩底角相等」這個事實（註1），這在邏輯上造成循環論證，是不被允許的。

如果你也這樣教學生，除非你有一套異於《幾何原本》的公理系統，否則，證明將無效。如果你不這麼教學生，可能得重新建構，將造成困難度大增，學生未必能學、肯學。   

你怎麼辦？

註1：《幾何原本》前幾個命題的結構表如下：

參考資料

G. Harel (2004). “The causality proof scheme”, In Proceedings of the HPM 2004: History and Pedagogy of Mathematics. July 12-17, Uppsala, Sweden.

W. Kneale and M. Kneale (1984). The Development of Logic. New York: Oxford University Press.

G. 波利亞（G. Polya）(1996).《數學與猜想》(李心燦、王日爽、李智堯譯)， 台北：九章出版社。

洪萬生 (2003).〈評《高中數學》第一冊第一章的「邏輯概念」內容〉，《中等教育》54卷第5期。

歐幾里得 (1992).《幾何原本》(藍紀正，朱恩寬譯)，台北市：九章出版社。

塞蒙 (W. Salmon) (1968).《邏輯》（何秀煌譯），台北市：三民出版社，