Conjugation as a group action

回顧一下我們曾提過若固定 x $\in$ G, 對任意的 g $\in$ G, g ^. x ^. g^-1 稱為 x 的一個 conjugation. 事實上這是 G 對 S = G 的一個 group action.

若 G 是一個 group. 令 S = G, 而僅把 S 看成是一個集合. 考慮 G 對 S 的作用如下: 對任意的 a $\in$ G, x $\in$ S, 我們定義 a*x = a ^. x ^. a^-1.

我們要證明這種 (G, S,*) 是一個 group action. 首先檢查 (Act1). 若 a $\in$ G, x $\in$ S, 則 a*x = a ^. x ^. a^-1. 因 a, x, a^-1 皆在 G 中而 G 是一個 group, 故 a ^. x ^. a^-1 $\in$ G = S. 得知 a*x $\in$ S. 再來因 e*x = e ^. x ^. e^-1 = x, 故知 (Act2) 也符合. 最後若 a, b $\in$ G, x $\in$ S, 則

a*(b*x) = a*(b ^. x ^. b^-1) = a ^. (b ^. x ^. b^-1) ^. a^-1,

然而

(a ^. b)*x = (a ^. b) ^. x ^. (a ^. b)^-1 = (a ^. b) ^. x ^. (b^{-1 .} a^-1).

故由結合率知 a*(b*x) = (a ^. b)*x, 得證 (Act3).

在這個 action 中因 S = G, 故自然知 | S| = | G|. 現在來看 S₀ 是什麼? 照定義若 x $\in$ S₀ 表示對所有的 g $\in$ G 皆有 g*x = x. 也就是對於此 x, 對任意的 g $\in$ G, 皆須符合 g ^. x ^. g^-1 = x. 由此推得 g ^. x = x ^. g, $\forall$ g $\in$ G. 換句話說 S₀ 的元素皆需和所有 G 中的元素可交換. 反之若 x $\in$ S 可以和 G 中所有元素交換的話, 則

g*x = g ^. x ^. g^-1 = x ^. g ^. g^-1 = x,

也就是說 x $\in$ S₀.

如果大家不健忘的話, 我們曾在 1.4 節中介紹這樣的元素所成的集合 Z(G) 稱為 G 的 center, 且利用 Lemma 1.5.1 說明過 Z(G) 是一個 G 的 subgroup. 總知, 我們證得了

$$\in \forall \in$$ (4.6)

最後我們還是要強調因已知 e $\in$ Z(G), 故知

$$\ge$$ (4.7)