Ivor Grattan-Guinnes, 《The Fontana History of the Mathematical Sciences: The Rainbow 》 of Mathematics, Fontana Press, An Imprint of HarperCollins Publishers 出版
法國人皮埃爾•德•費瑪(Pierre de Fermat)在丟番圖的《算術》第二卷中，看到了畢氏定理：x2+y2=z2Û x、y、z為直角三角形的三邊，他靈光一現，將平方改成立方，進而發現，若xn+yn=zn，當n＞2時，則此方程式無整數解。費瑪在《算術》這本書的頁邊註記中寫到：我對這一個命題有個非常美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。這便是有名的費瑪最後定理，之所以被稱為最後定理，是因為它是費瑪發現的定理中最後被證明的。
在商務書局出版的費瑪最後定理中，作者賽門•辛(Simon Singh) 以數學家為主軸，從古希臘的畢達哥拉斯到二十世紀的安德魯•懷爾斯，將費瑪最後定理的歷史淵源與發展做一詳細地介紹。旁徵博引是本書的一大特色，作者不僅介紹了對費瑪最後定理發展有貢獻的數學家，也對數學家的生平逸事多所著墨，所以從這本書中可以獲得許多生動有趣的數學史故事，這也是本書份量特多的原因。不過，正因作者想要多呈現數學家有趣的一面給讀者，以致於在閱讀時，難免會有偏離主題之感。
由於作者賽門•辛也是BBC電視台費瑪最後定理紀錄片的製作人，而懷爾斯也接受了他們的專訪，所以這本書中引述了許多懷爾斯的話，從這些話中，讀者可以真切的體驗到一個偉大數學家的熱情與感動，而作者也十分巧妙的利用這些話，串連起整本書，也牽引著讀者的心情，特別是當看到懷爾斯彌補證明中的缺陷後所說的話，心情必定會跟著激情澎湃起來。
最後給想要看這本書的讀者一個小小的建議，不妨可以先從第六章開始看，先感受懷爾斯的心路歷程與喜悅後，再從第一章看起，細細的品味歷史上數學家的點滴與對費瑪最後定理付出的心血，這樣對懷爾斯與先前的數學家將有更深一層的感動與敬佩。
誰真正從定理的證明獲利？數學家？全人類？還是真理？
台灣師大數學系 謝佳叡助教1993 年，國際掀起了費馬熱，安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)解決了困擾數學家三百多年的問題，全世界的報紙列為頭條新聞。但隨著漏洞的出現，很快的降溫了。隔年，懷爾斯親自修補了漏洞時，但在新聞上的熱情已大不如前了，意義並未因而稍減。
1998 年，台灣捲起了費馬熱，商務出版了第一本生動且完整描繪這段真理之旅的譯文書，書名為『費瑪最後定理』（Simon Singh著/薛密 譯）。數學工作者幾乎人手一本，非數學領域的讀者亦不在少數，甚至傳有中學教師將此書列為數學科課普指定用書，受歡迎程度可見一般。作者抓住大眾享受劇情的心境與貫穿幾千年數學史的生動寫法，加上懷爾斯及費馬最後定理的絕佳題材，都是使本書受歡迎的原因，更重要的是，他是第一本將費馬最後定理的解決過程，『平易』的展現出來，不但讓大家知其然，且大綱性的知其所以然。退伍前，幸有機會拜讀此書，其著迷程度，幾到了愛不釋手、廢寢忘食之地步。（相信不少讀者亦是）
相較之下，時報文化日前才出版的『費馬最後定理（此馬非彼瑪）』讀來卻有如隔靴搔癢。無可否認的，受到前書的影響必是主因之一，但就文字的數量而言，本書的輕薄短小在顧及科普，一方面又必須提及這麼一個『偉大』的定理及其相關歷史時，勢必無法滿足所有人的口味。
費馬最後定理的解決橫跨了幾前年的數學史，也幾乎橫跨了代數學、分析、幾何學及拓樸學等所有領域，所以詳細論證費馬最後定理的書籍勢必無法普及化，畢竟對大多數人而言，高等數學並不那麼容易接近，就像少有人會真正從懷爾斯的論文接觸此定理一般。相反的，要不用艱深的數學『可親近地』解說此定理，則必定在定理的遠處打轉，不著核心。所以在普及化與專業性之間取得一個平衡點是此類書籍寫作所必須面對及思考的。就此點而言，時報版的『費馬最後定理』已是成功的，作者阿米爾˙艾克塞爾（Amir D.Aczel） 對本書的安排，正如同洪萬生教授在導讀中提及『由於篇幅有限，所涉知識也過份專門，往往只能點到為止，…，對於有心接觸數學實質內容的讀者，當然有所不足，然而對本書所涉定的普及性格來說，則應該是合情合理的處理方式了』。
從多方面看來，本書是值的一讀的。本書作者出身數學社群，對於數學知識的描述，數學專業論文的參考，顯然較為得心應手，像是一位引導你瞭解費馬定理的教者，而不只是客觀闡述此一定理。或許是因為作者艾克塞爾無緣親自訪談懷爾斯，故對這位解出定理（且獲頒費爾茲獎章）的懷爾斯著墨不多，卻得以更專注於描述此定理的歷史背景，以相關數學發展為主軸，一氣呵成。反觀商務版的『費瑪最後定理』儘管講述了大量的數學史故事，也側引了不少通俗例子，但仍可看出全書以懷爾斯為一主軸，場景切換快速如同影片拍攝，以致於歷史架構有些鬆散，卻扣人心弦，這大概是兩書最大的差別了。
從另一角度來看，兩書在內容上有著相輔相成的關係。舉個例子，時報版的『神秘希臘將軍
—布爾巴基』一文為數學家威爾及谷山—志村猜想之間的是非，下了一個伏筆。第十章更詳細的描述對費馬定理證出十分重要的谷山—志村猜想，其原創者爭議的始末，暗示著大數學家也拋不開某方面的誘惑。又此書在模型式的切入方向與介紹，也提供了另一種想法，更親自配上圖解。對於締造了模型式突破性成果的法國數學家龐加萊（Henri Poincare）也做了頗多的介紹，而在描述其年輕求學過程中，對於當代數學界的一些嘲諷也值得現今教育工作者做一個省思。這些都是另一書所沒有的。美中不足的是，對於懷爾斯在修補漏洞時的懊惱，外界壓力下內心的掙扎，及補齊那一刻的那種激動…，實在著墨不夠。（這也是為何使我有搔不到癢處的原因之一）在譯本上也多了中正大學余文卿教授關於懷爾斯證明的補充，使得有心想更深入瞭解費馬定理證明的實質內容者得以參考。而洪萬生教授的導讀更是字字珠璣，提供在閱讀此書前的概括性瞭解，而在閱讀此書後更能體會所言。本書內頁也附有網路世界中的『費馬最後定理』，可讓有興趣的網路族更快速、方便的取得相關資訊。加上書籍本身輕薄短小、易於閱讀的優點，更是相關書籍的良好選擇。
更實際的是只要花一個漢堡錢就可擁有。
最後必須提出兩點，供此書讀者參考：（一）本書『質數』一節（第8頁）第一句話：『數字中的1、2和3都是質數。』其中將1列入是有爭議的，目前公認最小質數應是2，為此特去查閱原文書，原文書（p.8）並未將1列入，顯然是譯誤。（二）本書之封面佈滿了數字，這是設計者刻意安排，或是無意義的亂數？
個人心得如野人獻曝，與大家共享！
(本篇為區分版本譯名，除商務版之書名保留『瑪』外，其餘地方皆用費『馬』。)
Ivor Grattan Guinness
作者：
出版社：Fontana Press, London
出版年：1997
頁數：817
台師大數學系
洪萬生教授
西方數學史的通史撰述，通常都會花很多篇幅討論希臘數學史，譬如Morris Kline 的 【數學史】（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times，1972，請參看台北九章出版社八十年代所出版的中譯本）就安排了六章，極為詳盡地說明希臘數理科學的哲學背景、成就特色與榮枯成因的分析。若以全書總共五十一章來計算占有比例，那麼，希臘數學史在該書中的份量就有 6/51或將近12%之多。至於影響現代數學及其教育（包括大、中、小學）的十九世紀數學史，Kline則提供了十七章，亦即恰好全書三分之一的篇幅。儘管就全書篇幅比重來看，十九世紀相對於古希臘差不多是三比一，但考量數學的專業化與制度化在十九世紀西方世界的顯著發展，從而形塑了今日數學的風貌，希臘數學史的比重似乎稍嫌高了一點。當然，這種主觀的認定仁智互見，有時候要看寫作者所設定的讀者對象來決定。
針對西方數學史這種論述的『慣例』，英國的數學史家 Ivor Grattan-Guinnes （IGG）的新書【數學彩虹】（The Fontana History of the Mathematical Sciences：The Rainbow of Mathematic），則反其道而行，在全書總共十七章（817頁）之中，作者只為希臘數學史安排了一章，亦即差不多 0.6% 的篇幅而已。針對這一『另類』，Grattan-Guinnes 的解釋是：
很多西方數學史書籍花不少篇幅處理古代世界、中世紀以及文藝復興等時期，但對於奠基於它們之上的近代數學發展，卻著墨不多，尤其是十九世紀，更是常常一筆帶過，敷衍了事。在這裡，我們要把它平衡過來。在本書中，十九世紀共占有九章之多。或許在篇幅上這有一點矯枉過正，不過，這絕對不是有意對較早期數學史表示不敬，而是因為1800年之後的數學比較貼近現代數學家或學生 -- 他 / 她們其實是本書論述的主要設定對象。此外，由於很多其他的通史著作都涵蓋了較早時期，甚至寫得極好，我推薦有興趣的讀者去閱讀這些書。
是的，正因為如此，所以本書的確相當適合大學（數學系）學生來閱讀。不過，相對於Kline的書來說，本書雖然比較言簡意賅，但檢視書末所附參考文獻（主要是七十年代之後的研究結果），可以看到它充分受惠於過去二十年數學史學的長足進展（以國際數學史學報 Historia Mathematica 創刊二十週年為指標）。就『新』史學的觀點而言，它非常值得我們深入研讀。
事實上，由本書目錄來看，作者的確大大地凸顯近、現代數學的份量，尤其強調了數學與物理的結合對前者所帶來的影響。儘管如此，他將科學革命之後、微積分發明之前（1540-1660）的西歐數學發展，統稱為『三角學的年代』，實在是頗為獨到的提法。一般來說，微積分的發明有賴解析幾何的鋪路，至於後者，則是拜代數地位的提升而得以和古典幾何結合的成果。事實上，作者也指出：代數成為數學的一個分支的主體性，乃是1620年代以後才出現的故事。至於前此，代數則多半為人作嫁，始終被視為一種『技術』（art）而已 -- 譬如Girolamo Cardano的代數著作書名就稱作『偉大的技術』（The Great Art，1545），而Franciscus Vieta的符號代數經典書名也稱作『解析方法引介』（Introduction to Analytic Art，1591），可見即使是當時在這一方面卓然有成的數學家，也不敢隨意誇稱『代數』的理論成分。
由於直到1620年之後，代數的方法才逐漸取代解題結果，而成為研究的焦點，也因而代數的地位大大地獲得提昇，其最佳旁證則是『整數』（integers）與『比』（ratios）被定位成數學實體（mathematical objects）。從Cardano的【偉大的技術】（1545）問世以來，代數地位的提昇，原來是依附在三角學的發展之上的。為了強化此一論點，Grattan-Guinness還指出這段時間的主要數學家及科學家如哥白尼、Cardano、Vieta、刻卜勒、費馬以及笛卡兒，都有三角學方面的相關著作問世。誠然，算術與代數最終還是獲得自主性（autonomy）的發展，因此，在Kline在前述經典作品中，並未特別強調三角學的重要性。這是Kline與Grattan-Guinness兩人在處理這段歷史的著眼點不同所致。他們的著作出版時間相隔二十五年，倒是都成為了二十世紀數學史學（historiography of mathematics）的歷史見證，物換星移，耐人尋味。
正如上述，【數學彩虹】不同於其他數學通史著作的地方，更在於Grattan-Guinness將幾乎三分之二的篇幅放在十九世紀之後。至於十八、十九世紀數學史的區隔，則是法國大革命，尤其是此一重大歷史事件所帶出的數學制度化與專業化（參看【數學彩虹】第七章），使得十八、十九世紀作為西歐數學『歷史分期的區隔』，變得十分自然而正當。這一歷史現象，固然也為Kline所重視 – 在【數學史】中，他也安排了第二十六章，專門討論『1800年代的數學』，可是，我們仔細讀來，總覺得他並沒有特別指出數學的制度化與專業化所開啟的意義，治史器識不足故也。不過，這個評論其實有一點年代誤置式的苛求，因為Kline的數學史論述，一直忠誠地守在傳統『思想史』（intellectual history）的進路上，至於『對比』十分強烈的Dirk J. Struik之【簡明數學史】（A Concise History of Mathematics）所洋溢的馬克斯史觀，充分被七十年代之後興起的『數學社會史』（social history of mathematics）所吸納，則或許是Kline在晚年所不曾預料得到的數學史學之主流活動。
就數學史的專門著作而言，【數學彩虹】還有一個非常獨特的風貌，那就是它對數學與物理互動關係的特別重視，譬如Grattan-Guinness就安排了第十章、第十四以及第十五章專門討論。在這些章節中，作者不只討論數學知識的成長，也提供了很多相關物理史的論述。其實，在Grattan-Guinness的心目中，這些可以歸類為『數學物理』的學科，或許是古希臘『嚴正科學』（exact sciences）的延伸吧！不過，似乎也正是這些數學與物理的錯綜複雜關係，使得Grattan-Guinness可以從容舉例說明（科學）『常態性』（normality）、『革命』（revolution）、『創新』（innovation）、『迴旋』（convolution）所指涉的知識活動，曾經並存於Fourier的數學物理研究之中。由此我們也可以看出，Grattan-Guinness師承Karl Popper的哲學關懷。顯然基於類似的考慮，Gattan-Guinness也對他在本書中使用諸如『學派』（school）、『風格』（style）等比較歸屬於社會學的名詞，提出十分扼要的解釋。如此說來，本書對於比較想在數學史學中尋找所謂『結構』的學者來說，應該是具有相當大吸引力的。
儘管如此，本書帶給我們的的最大啟示，仍然在於作者Grattan-Guinness總結了過去二十幾年數學史研究結果之後，針對從遠古到本世紀初的數學知識活動，所刻劃的的萬種風情以及賦予的歷史意義吧！鑑往誠然不足以知來，不過，在尋找歷史意義的過程中，我們並不孤單！
享受π的樂趣
台師大數學系 洪萬生教授
一九九八年八月三十日【自由時報】登載了一則中央社發自渥太華的新聞，說圓周率（圓周長除以直徑）3.141592 *『永遠除不盡』的神話，已經被加拿大的一位年僅十七歲的數學天才柏熙瓦打破了，理由是『他利用二進位算法，發現圓周率的第五兆位個小數就是零。』後來，柏熙瓦發現媒體報導錯誤，即提出澄清說明，而【自由時報】也跟著在同年十一月十一日登載中央社的新聞電文，結束了這一場國內外新聞媒體因為『數學無知』而造成的烏龍事件。
圓周率π究竟是怎樣的數目？這對絕大多數的人而言，大概無關緊要。即使將『真正地認識』π當成『數學素養』（mathematical literacy）的指標，看來也不切實際。不過，中小學數學教師如何談論這個新聞事件，倒成了我們十分關心的問題。事實上，由於這個π在日常生活經驗中幾乎無所不在，但它的『性格』又表現得十足神秘，因此，從廣義的教育觀點來說，中小學教師也好，數學教授也好，乃至於科學文的化工作者也好，都值得參與有關π的知識活動。
然則我們究竟如何參與呢？或許閱讀相關的科（數）學普及讀物，尤其是那些洋溢著科（數）學人文氣息的著作，也不失為一條可行的途徑。事實上，將『數學史』融入數學普及論述，是我年少時所立下的志業。這些年，雖然無暇兼顧這一方面的工作，但是只要遇到同好者著作，總是見獵心喜，心嚮往之。前年（1997）年底，我前往美國新奧爾良（New Orleans）開會，在舊金山國際機場轉機時購得本書。在仔細閱讀過一些章節之後，發現它的內容不僅豐富多樣、趣味盎然，而且平易近人、老少咸宜，實在是不可多得的一本數學普及讀物。相信它對於圓周率π這個數目，一定會有很深刻的印象。
Della Dumbaugh Fenster, 〈Role Modeling in Mathematics: The Case of Leonard Eugene Dickson〉, Historia Mathematica, 24(1997), pp.7-24.
蔡聰明, 〈π的一個公式〉, 科學月刊 28期, 9卷（1997年9月）.
