台北市長安國中 林倉億老師
上帝利用6天的時間創造了世界；月亮繞行地球只須28天；6和28的數字是否有無特別之處呢？古希臘人以〝完全〞來替6和28命名，因為他們認為這些數是最完美的，為什麼呢？
畢達哥拉斯及其門徒稱6及28為完全數(或稱為完美數)，因為它們都是其真因數的和：
6的真因數：1，2，3 其和1+2+3=6
28的真因數：1，2，4，7，14 其和為1+2+4+7+14=28
所以，一個正整數的真因數和是本身，我們就稱它為完全數！
古人只知道四個完全數，分別是6、28、496和8128，因此他們做了幾個有趣的猜測：
一、 由於前四個完全數的末位數字不是6就是8，而且還是依次出現，所以所有的完全數的末位數量都是6或8，甚至是輪流出現的！
二、 第一個完全數6是一位數；第二個完全數28是二位數；第三個完全數496是三位數；第四個完全數8128是四位數；所以第五個完全數一定是五位數，以此類推！這些有趣的猜測結果是對還是錯呢？讓我們先來看看如何找出完全數！
我們將歐幾里德和尤拉發現的結果寫成下面的定理：
設m是個偶數，則m是完全數的充要條件是存在一個質數p使得2^p-1是質數，且m=2^p(2^p-1)
這個定理告訴了我們如何去尋找這誘人的完全數，我們將2p－1這個數稱為梅聖尼數，而已知的梅聖尼質數只有30個，所以已知的偶完全數只有30個：前24個完美數是在1975年以前發現的，其中最後一個是219936(219937－1)，這是在1971年發現的，而這24個中有一半是在1952年以後發現的；而第30個完全數是在1986年9月被發現的！由上我們可以看出古希臘人的第二個猜測(第五個完全數一定是五位數，以此類推！)是錯的！不過關於第一個猜測（所有的完全數的末位數量都是6或8，甚至是輪流出現的！）雖並不完全正確(因為6和8並未輪流出現)，不過，他們似乎猜對了一件事，只要是偶完全數，個位數不是6就是8！為什麼呢？這是根據下面的定理：
對於任意的正整數n，令an= 2^2n(2^(2n+1)－1)，則
若n是偶數，則an的個位數是6且十位數是奇數；
若n是奇數，則an的個位數是8且十位數是2；
細心的讀者一定會發現：目前已知的完全數都是偶數，那有沒有
奇完全數呢？我們知道由歐幾里德公式所得到的完全數一定是偶數，那麼，不從歐幾里德公式可以找到任何一個完全數嗎？數學家們做了許多的努力，越覺得奇完全數存在的可能性越小！在1973年，數學家海琪斯透過電腦證明出在1050以下沒有奇完全數的存在！他的證明全部有83頁，曾經由其他的數學家們予以詳細驗證，確定其過程是無誤的，所以，我們可以知道在1050以下，沒有奇完全數的存在！從1973年以來，其他的數學家依然透過電腦宣布在10200以下，沒有奇完全數的存在！(這並未經過數學家的詳細驗證！)
完全數如何求出？是否有無限多個？這兩個問題是數學家們在幾千年前就提出來了，然而，直到今日，這仍然沒有完整的答案，我們只能提出一部分的解答，更確切的說，我們只能說明那一種偶數是完美數，至於這種偶數是否有無限多個，及有無奇完美數的存在，這就有待後世的努力！
跟好朋友吵架了，吵完後想要想要回復到以前那樣有說有笑的卻不知如何開始，教人十分苦惱！試試偉大的畢達哥拉斯的獨門解藥吧！拿出兩張薄薄的紙，一張寫上220，另一張寫上284，再揉成小丸子，兩人各吞一粒，之後就會雨過天青了！
你知道這獨門解藥的祕密嗎？讓我們用數學來一窺究竟吧！
220和284我們稱之為親和數(或稱為親和數偶、友誼數、友善數)，所謂的親和數偶就是其中的每一個數的真因數(真因數就是不包括本身的所有正因數)加起來等於另一個數，以220，284為例：
220=2^2×5×11，
真因數：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，其和為284
284=2^2×71
真因數：1，2，4，71，142，其和為220
如此〝你中有我，我中有你〞，難怪畢達哥拉斯會拿它們來做為治療友誼創傷的妙藥了！還有其他的親和數偶嗎？
其實親和數鍊也稱為交連數(sociable
number)，1970年，美國的Steve Root也從自然數1到六十六億中去找到好幾組交連數，其中大多都為四環親和鍊，所以數學家就推測可能有無限多組的四環親和鍊存在於自然數中，但僅止於推論，而沒有證明可以讓人信服這樣的猜測，現在大概只發現了四環親和鍊、五環親和鍊、28環親和鍊，及一組兩個數的親和數！並沒有發現三環親和鍊，那到底有沒有三環親和鍊呢?如果有，是那組數呢？如果沒有，又怎麼證明呢？這是個至今仍未解出的一大難題！