常將這段對話說與友人，往往換來莞爾一笑，但更多的是對數學家幾近『無賴』的評語，顯然『定義』之用仍難以被其他人所體會。無可否認的，一個好的定義有助於釐清模糊的問題，甚而能為問題闢出一條明確的解決之道。舉個例子，倘若定義『雞』為『動物界-脊索動物門-鳥綱-雞形目-雉科之禽類』，而定義『雞蛋』為『雞所生的卵』，如此，『先有雞還是先有蛋』這個一直爭論不休的問題哪還需要爭辯？當然了，不同的定義導致討論結果的差異是必然的。例如改將『雞蛋』定義為『能孵出雞的受精卵』，則相同的問題會得到截然不同的推論。
『雞』和『蛋』的存在並不會因為定義的差別而有任何的改變，因為它確有實物；但定義卻影響了判斷『雞』和『蛋』存在的先後關係等心智活動，數學正是心智活動的典型例子。從另一個角度來看，並不因為有天文學家的觀測，天體才因而運行；但如果沒有數學家的定義，任何地方都不會有正七邊形，甚至不會有質數。希臘哲學家亞里斯多德就認為『定義』告訴我們某物的意義，但並不保證其存在；蘇格拉底的對話錄也說出了數學本質上是研究不存在的東西，但數學能夠找出跟他們有關的所有真理。
古希臘人將定義區分成真實的定義（real definitions）和名義上的定義（nominal definitions），由此看來，數學處理討論的應屬於後者。而哲學家萊布尼茲（Leibniz,1646-1716）對數學所研究的定義並不十分放心，他提出：如果不能確定其是否存在而證明了與它相關的定理，其結果可能是愚蠢的。古希臘人顯然也注意到此一問題，在討論數學定義的存在與否，亞里斯多德和歐幾里得便以--是否能『作圖』--來確保它的存在，這也是希臘人把投在數學上的努力大都擺在幾何的原因之一了，因為可作圖才能讓他們的工作看來言之有物。另一方面，亞里斯多德強調，除了一些無法再被分解的原始名詞外，定義必須是用先前已經確定的術語來描述，也就是無定義名詞的需要性及定義的系統性，可惜，爾後的數學家忽略了這種需要，直至十九世紀末Hilbert(1862-1943)才又重新思考這個問題。
《幾何原本》將數區分成質數和合數。上回我們作了些有關質數定義的探討，在數論上，質數的重要性固然是不可取代的，但相對於質數的『合數』（composite number）亦有其不容忽視的地位。且看定義13：
定義13.合數是能被某數所量盡者（A composite number is that which is measured by some number.）。
仔細思考，合數就是定義8、9、10中的『偶倍偶數（偶數量得偶數）』、『偶倍奇數（偶數量得奇數）』、『奇倍奇數（奇數量得奇數）』。上次提到這三個定義出現的頻率少之又少，整本書中只出現在第Ⅸ卷32、33、34三個命題，甚至『奇倍奇數』一次都未出現，這種備而不用的定義應是為了系統的週沿性而生，因為在強調完整性的定義中，給這樣的定義一個位置是必須的（當然，沒有必要再定義『奇倍偶數』了）。僅管如此，這三個定義卻並非三分『合數』的天下，套句現代的術語，這三個定義的集合不是合數的一個『分割』，因為前兩個有著密不可分的糾纏關係，例如24既是偶倍偶數（6×4）也是偶倍奇數（8×3）。柏拉圖徒弟Iamblichus（一位經常評判歐氏者）就認為不應該在如此講求嚴謹的著作中出現這種模糊現象，而應將『偶倍偶數』定義為連續取半（直到單元）皆為偶數的數，簡單的說，就是單指二的冪次方數。但由第Ⅸ卷32、33、34三個命題可看出歐幾里得對他的定義是無疑且執著的。暫先跳離來談一談這三個定理吧！
Ⅸ.32 每一個由二開始連續倍增的數，僅是偶倍偶數。
Ⅸ.33 若一個數的一半是奇數，則它僅是偶倍奇數。
Ⅸ.34 若一個數既不是由二開始連續倍增的數，它的一半也不是奇數，那麼它既是偶倍偶數也
是偶倍奇數。
Ⅸ.32指的即是Iamblichus的『偶倍偶數』定義，而歐幾里得的定義範圍更為廣泛。這三個定理也提供了一個判別的技巧--『取半』，可惜，他並未進一步探究這種同時滿足兩個相異定義的數的特性。
越仔細琢磨這三個定理越覺得有趣，Ⅸ.34的第一句是Ⅸ. 32的逆敘述，第二句是Ⅸ. 33的逆敘述，但它們的逆敘述結果並非將『僅是』改成『僅非』，而將『僅是』改為『不僅是』，用個易懂的例子：『只吃肉（only）』的反義是『只有不吃肉（only not）』，還是『不只吃肉（not only）』呢？
你或許會問：『奇倍奇數』不是也沒滿足Ⅸ.32、33。細細推敲，其實歐幾里得很有技巧地避開了奇倍奇數，Ⅸ.34中那句『它的一半也不是奇數』已經暗示了他只討論『可以一半』的數。高招！
定義14.互為合數的數，是指那些能為『某公度數』所量盡的數。
這個定義相對於定義12的互質，甚至只是一詞之差（an unit改成some number）。互為合數的重要議題在就是在找其最大公度數，這至今仍是重要課題。質數、合數、互質和互為合數幾乎是這三卷的組成架構因子，一些精彩的定理至今亦仍被使用著，如算術基本定理（Ⅸ.14）、輾轉相除法（Ⅶ.1），質數無窮多證明（Ⅸ.20）等，或許敘述方式及用語與現今不同，但精神卻一樣，甚至於可看出命題的敘述方式裡已提供了解題的策略。
《幾何原本》在數的範疇中並無『不可公度的數』，因為不互為合數者必互質，這是『數』與『量』最大的差別，關於『不可公度量』的討論可複雜多了，那就是佔了最多篇幅的第Ⅹ卷的主要內容了。
定義15是定義『乘（multiply）』：
定義15.所謂一個數乘一個數，就是被乘數自身相加幾次而得出的某數，而『數次』是另一數中單元的個數。
簡單的說，乘就是累加，這與現今並無不同，但必須注意一點，這裡兩個數的意義已經不同了。第一個數（即被乘數）就是定義2中由許多單元合成的數，是一個實的物。但第二個數是『數次』，是第二個數中單元組成的個數，這已脫離實的物而進入抽象的意義。『一個7』和『1數七次』不盡相同，就像『七隻羊』與羊的個數『7』是不同意義的（前者可吃，後者連看都看不到）。其實定義8、9、10中已隱含了這個意思，而在此更明確的描述出來。
『一個實物』乘『一個實物』是沒有意義的，而『一數』乘『一數』依照定義15可以轉換成『一數』的累加而仍是一個數，所以是可存在的，也就是藉由定義15使得『乘』這個運算視為有效的，這是本定義最重要的意義了。
接下來的定義16將告訴我們，兩數相乘後所得的數也不同於一般數的定義，而產生了第三個意義。
定義16.兩數相乘所得的數稱為面（plane），其兩邊（sides）就是相乘的兩數。
所以，如果仍將乘後的數視為定義2中的數，此定義就沒有意義了。這三個數的意義可如下表示：
數 × 數
（許多單位合成；邊）（單位組成次數；邊）
= 數（第一個數累加；面）
歐氏在《幾何原本》內討論圖形面積之間的關係，如同底等高之三角形、平行四邊形面積相同（第Ⅰ卷命題36-37）；等高兩三角形面積比等於底的比（第Ⅵ卷命題1），但歐氏卻無給出單一三角形、平行四邊行或圓形的面積公式，原因可能在於當時並未能掌握『量』的乘積，但『數』的乘積顯然是可以處理的，所以定義中的『面』並不是指面積，而是面數（plane number），甚至於也將數稱為邊，這種數與幾何間若即若離的微妙關係，使得在閱讀上必須更加留意。在命題裡，面數並未單獨出現，被討論的是面數之間的比（如Ⅷ.5），這種作法倒像是歐氏處理面積時慣用的手法，而數的乘積也不被單獨討論，但相乘後仍將得到數卻一再提起（可參閱Ⅶ.17-18）。
柏拉圖將『面數』分成平方數（square number）及矩形數（oblong number）兩類，其中平方數就是定義18所述。而矩形數就是非平方數，歐幾里得的繼承者（如Nicomachus、Theon、Iamblichus）將矩形數討論得更細，分成n(n+1)及n(n+m)兩類，至於為何如此細分，有一說法是古希臘人喜歡研究擬形數（如多邊形數），而奇數的和（1+3+5+…）可得到完全平方數，若是偶數的和（2+4+6+…）就是得到n(n+1)，如2=1×2，2+4=2×3，2+4+6=3×4，……。如此的特殊當然要自成一格。
定義17是討論三數相乘，稱為體數（solid number），同樣指的不是立體，真正的立體出現在第XI卷定義1，也就是可被分成三數相乘的數。定義19定義完全立方數，而定義20、 21討論是比例式，前文說過乃複製自第Ⅴ卷，不在此贅述。只提出一點，在《幾何原本》裡最多只討論三數相乘，四個數以上相乘是不被討論的，因為找不到其幾何意義。
定義22是完全數的定義：
定義22.完全數是等於自身所有部份和的數。（A perfect number is that which is equal to its own parts. ）
用現在語言來說，完全數就是等於其所有真因數和的數，如6、28、496、8128。自畢達哥拉斯學派始，完全數就一直受到注目，被賦上的象徵意義遠超過所代表的數量值。同樣是數，它就是不凡，在滿天繁星中永遠閃亮著最耀眼的光芒，人們為它的美所吸引，為它的精妙而發出讚賞，所以在這一系列中儘管它是多麼與眾不同，也一定為它留一個位置。
即使追溯到畢氏學派，關於完全數的定理至今仍值得記載的只有第Ⅸ卷的最末一個，也是唯一的一個。這個定理簡單敘述如下：
若1+2+4+8+…+2n-1是質數，則（1+2+4+8+…+2n-1）×2n-1是一個完全數。
例如1+2+4是質數，則（1+2+4）×4=28是一個完全數。亦可更簡單表達為：若2n-1是質數，則
2n-1（2n-1）亦是質數。一般相信這是歐幾里得所提出的形式，兩千年後，Euler
（1757）證明了每一個偶的完全數都具備如此形式。其中6這個完全數不但其『部份的和』等於本身，『部份的乘積』也等於本身，這麼樣的一個神奇的數豈能等閒視之，才有上帝用了六天創造世界的說法（詳細內容可參閱本刊第一卷第二期『數學小故事：上帝與月球-6
vs 28完全數』）。
至今，在數論中仍留下了許多關於完全數未解的問題：偶完全數是否有無限多個？是否存在奇完全數？是否存在微盈的數（即真因數和比本身大1）？
知識的累積是進步的要素之一，用於數學一科更是得體。歐幾里得所繼承的希臘『數論』，儘管有很多概念已經不合時宜，但數論之光芒可垂之永遠，則是不爭的事實。或許，我們不會用兩千年前的天體模型來解釋現今行星的運行，也不會用兩千年前的樂器來演奏現代流行音樂，但是質數無窮多的事實永遠不會改變，畢氏定理也永遠不會消失，永遠。
參考書目：