書名：神奇的π（譯自The Joy ofπ）

作者：David Blatner

頁數：131頁

定價：260元

ISBN：957-667-313-5（英文版ISBN：0-140-26680-1）

        本書內容以介紹π的歷史為主，[1]並針對相關的主題作進一步的討論，譬如研究π的奇人楚諾維斯基兄弟、符號π和背誦π。在各章的後面還有關於π的各種趣談（pi on the side），其中所涉獵層面廣泛，包括聖經與π、化圓為方語錄、圓周率的法定值、世界各地圓周率π的記憶詩、辛普森案在法庭中與小說《接觸未來》中人類和外星人一段關於π的一段對話等等，和遍及書本各處的一百萬位小數的π值，令人大開眼界。

        閱讀本書的過程就像是在瀏覽關於π的故事書一般。作者將π的歷史分為六個階段，首先躍上π的歷史舞台上的是早期歷史（西元前2000到公元前500年）中的埃及萊茵德紙草（Rhind Papyrus）文件，它是有關圓周率π（=256/81）的最早紀錄；接著演出的是希臘（公元前五百年到公元兩百年）的眾多數學家們，例如：第一位想嘗試找出圓與正方形關係的希臘人安那克薩哥拉（Anaxagoras of Clazomenae），以及嘗試用窮竭法（principle of exhaustion）去計算圓面積的安提豐（Antiphon）和布賴森（Bryson），此外，當然少不了希臘最偉大數學家的阿基米德（Archimedes of Syracuse）的熱情演出，他利用圓內接和外切的96邊形逼近圓周長的方法，計算出π介於3 1/7和3 10/71之間，而且他用圓外切和圓內接多邊形逼近圓周長的方法，到了十七世紀依然是求π近似值的基本方法。然而，阿基米德的紀錄要等到兩百年後上場的天文學家托勒密（Claudius Ptolemy）才被打破（約3.14166）。

        第三幕π的歷史場景移至東方古文明的中國和印度（公元100到700年）。中國的部分，在二世紀的張衡和三世紀的王蕃相繼演算π的近似值後，最引人注目的就是三世紀的劉徽。他在公元263年注《九章算術》時，利用192邊形求出圓周率π介於3.141024和3.142704之間，後來又利用3072邊形求出圓周率π的近似值約為3.1416。值得一提的，還有五世紀時的父子檔祖沖之和祖 之，他們以多達24576邊的多邊形計算出圓周率π的近似值355/113（約3.1415929），這個輝煌的紀錄要到一千年後才被刷新。至於印度方面，表現則不如預期，首先是由六世紀的阿耶波多（Arybhata）出場，他利用384邊形計算出圓周率π的近似值（約3.1414），諷刺的是，根據他為求的近似值所寫的打油詩計算出的近似值（約3.1416）反而更接近圓周率π（3.1415926…）；接著上演的是七世紀印度最偉大的數學家婆羅門笈多（Brahmagupta），他求出π的近似值為（約3.1623），其誤差卻比阿耶波多還要更大。

        接下來一千年的發展（公元1000到1600年），則由阿拉伯和繼承其豐碩學遺產的歐洲數學家領銜主演。雖然他們從未間斷過π的計算，但結果卻不如古希臘人和中國人、印度人所求的近似值準確，可以說是幾乎沒有任何進展，一直要到十六世紀末的法國律師兼業餘數學家韋達（Viete）才有突破性的發展。他效法阿基米德，以圓外切和內接多邊形精確計算出π的小數點後十位數，而且是史上第一次以無窮乘積（infinite product）表示一個定值，也是數學史的一個重要里程碑。

        接著便進入π的歷史中的關鍵時期（公元1600-1900年）亦即數學的突破，最出乎意料的發展是，在十六世紀末仍須耗費數學家大半生的計算方法的戲碼已經不在上演，這全要歸功於十七世紀數學家們如斯涅爾（Snell）、惠更斯（Huygens）、華理斯（Wallis）、格雷果里（Gregory）和萊布尼茲（Leibniz）等人的新發現，加上適逢微積分的濫觴，才讓圓周率π的計算超越「基本計算」的層面，轉向尋找能更快速計算圓周率π的公式，因此接著上演的就是由夏普（Sharp）、梅琴（Machin）、歐拉（Euler）和拉塞福（Rutherford）等數學家共同演出「尋找最多位小數」的數學競賽。然而，這場費腦力的數學競賽，拜二十世紀桌上型計算機問世之賜才告落幕。最後，是由楚諾維斯基兄弟（David ＆ Gregory Chudnovsky）等人領銜主演的電腦時代（公元1900至今），計算π的近似值儼然已成為考驗電腦的最佳工具之一，這一幕至今仍在上演中。

        此外，作者作進一步探討的主題還有研究π的奇人楚諾維斯基兄弟、符號π和背誦π。當然，與π有密切關係的三大幾何作圖難題之一「化圓為方」，也是本書的焦點之一。「化圓為方」其主要的限制在於利用直尺（僅能用來畫直線）和圓規，而且須在有限作圖步驟內完成。自古希臘以來，「化圓為方」一直是數學家們想要解決的問題，要到1882年林德曼（Lindemann）證明了π的超越性，才正式宣告「化圓為方」是一項不可能的任務。然而π的超越性為何跑進「化圓為方」的故事裡頭呢？事實上，因為利用直尺和圓規所能作出的幾何圖形，僅限於用能被化約為二次的代數方程來表示，所以證明出π的超越性（亦即無法以有限的代數方程來表示），也就是宣告無法以有限的尺規作圖表示出圓周率π。[2]等到1882年才由林德曼證明π的超越性，這個歷史難題才終告解決。至於「化圓為方的人」的現代意義，則是用來形容白忙一場的人。

        因此，筆者認為本書僅提供關於π的歷史人物、紀錄的陳述和其相關的趣事，一般讀者卻沒有增進對數學歷史發展的背景和數學知識內容有深層認識的機會，至於有數學或數學史背景的讀者，也有隔靴搔癢之嫌。譬如：有關「化圓為方」的解決和證明π的超越性之關聯，本書並未有清楚的交代（筆者在之前的內容介紹已補充說明）以及關於π是超越數的證明，筆者就「π是超越數」的證明在此補充說明。埃爾米特（Hermite）於1873年證明e是超越數，也就是說：不可能存在形如（*）這樣的有限方程（*），其中m、n、p…和各項係數（a、b、c…）皆為有理數；林德曼則將埃爾米特的定理推廣至其中m、n、p…和各項係數（a、b、c…）皆為代數數的情況，換言之，不存在一有限方程，其中m、n、p…和各項係數（a、b、c…）皆為代數數。因此，根據形如（*）有限方程的歐拉定理，其中a = b = 1，c和其他係數為0；n = 0為代數數，所以m = iπ必不為代數數（即超越數），但i為代數數，故π超越數。

        另外，本書所引用的數學史的材料和文本，作者並未清楚交代其來源和出處，甚至本書的最後也沒有列出參考資料（除了在for more information on pi中所提及的兩本書外），在筆者看來這是一個嚴重的疏忽。或許是作者將本書設定為一本數學普及讀物，認為一般讀者可能不會重視這個「細節」，但是筆者認為基於對讀者負責的態度，作者應該要詳實列出才是。

        關於中譯本的內容，譯者大致上都能信實地將作者原意譯出。然而本書內容以數學和其歷史知識為主要內容，沒有相關背景的譯者難免在有些地方未能盡善，針對較為重要的部分，筆者在此提出並補充說明，讓讀者作為參考。例如：（1）首先出現在16頁中的 “principle of exhaustion”應譯為「窮竭法」或「窮盡法」，全書中的「窮舉法」皆誤譯；（2）35頁中十一世紀的普賽洛斯（Psellus）最喜歡以圓外切和內接正方形的「幾何平均數」（或等比中項）去計算圓的面積；（3）79頁中很多數學家以函數π(n)表示「小於或等於」n的質數數目等等。[3]另外，還有其他有出現遺漏或疏忽的地方，讀者在閱讀中文版

時要特別注意。譬如： 77頁中間的式子應如下式

；

83頁漫畫中的對話應保留原文（見右圖）才能讓讀者領略原意，否則由於語言上的差異反而變成為一則莫名其妙的笑話；以及最後一頁所提供的網址有誤，正確的是：http://www.joyofpi.com等等。[4]