HPM 2000論文發表觀後感

講題：Theories of ration and theoretical music: an education approach

台灣師大數學系助教 謝佳叡

        不可否認的，這場論文發表是整個研討會最受歡迎的演講之一。除了講題本身具有高度的吸引力外，來自巴西的年輕學者Oscar其全身散發南美洲的熱情與風趣隨性的相處方式，早已在論文發表前為他招攬了不少聽眾。而Oscar充滿『活力』的演講更沒有讓在場的聽眾失望，極其豐富的投影片資料、緊湊的演說（配合葡萄牙語調的英文）、生動的肢體表現、各式各樣的樂器（南胡、鍵盤樂器、排笛，甚至不同水位的玻璃杯也派上用場），實際展示比例和音樂理論之間的關係，加上具有『表演』天份的他，整場半個多小時的演說絲毫沒有冷場，讓聽眾直呼過癮。

        這篇論文將主要的焦點置於比(ratio)、比例(proportions)及音樂理論三者之間的交互關係，以另一個不同的觀點---教育觀---作為研究的方向。將數學與音樂兩者緊密相繫可遠溯至古希臘畢達哥拉斯學派，畢達哥拉斯這個希臘哲學家兼數學家用數學方法研究音階的定義法則，找出了音樂史上影響深遠的「五度相生律」，延續至中世紀之前的近兩千年，不少學者都曾為兩個學門之間相輔相成的絕妙關係做出了貢獻，如阿基塔斯（Archytas，400-365 B.C.）、伊拉托斯瑞那斯 ( Eratosthenes 276-195 B.C.)、托勒密（Ptolemy ？－168）、尼克馬庫斯（Nichomachus 約紀元後100年）（進一步的資料可參閱HPM通訊第二卷第八、九期『音樂中的數學』一文），然而這段時間大多是站在算術（arithmetic）的角度，亦即探討音樂理論和『整數比』（離散本質）之間的關係。進入文藝復興時期後有了重大的改變，音樂與幾何（連續本質）有了關連，使得音樂上也有了驚人的發展，甚至到了１８世紀，振動弦（vibrating string）所引發的問題更帶來數學界無限的活力，如偏微分方程、富立葉級數、集合導論等。

        在數學教科書中，『a：b』、『a/b』、『a÷b』之間的相等關係，以顯然且直接方式呈現給學生，他們認為9：12＝12：16是自然且天經地義的。接受了這個如同定義一般的概念後，要如何才能讓他們體會，在歷史上有多麼長的一段時間裡，『相等（equal）』和『等同（is as）』或『有相同比（in the same ratio）』是分的很清楚的？（當然了，如果你不認為有必要讓學生知道這兩個的區別就另當別論了） Oscar 認為藉由音樂的音程來重新認識『同一（identity）』和『成比例（proportional）』是一個很好的方法。例如9：12和12：16在音程上皆屬四度（如『Do-Fa』和『Fa-Si』），在數學上也都等於3：4，但學生可以直接聽出這兩個四度並不『相同』而只是有『相同比』，這是一種實際且有感覺的方法。

『比的合成』在這樣的活動下也是自然且富有意義的。一個五度音程（2：3），再往上一個四度音程（3：4）正是一個八度音程（1：2），

（2：3）（3：4）::（1：2）

這從音樂的角度來看是多麼的自然。至於數學脈絡下則必須轉換成2/3×3/4=2/4=1/2 或者 a:b=2:3, b:c=3:4, a:c=…。但對於前者必須留意，合成（compounding）和乘積（multiplication）是不相同的；而後者的透過連比例運算又顯得不夠直接，當然感受也比不上直接操作來得深。

如何將這兩個題材設計成有趣的教學活動？論文中提供的一個範例。

˙先簡單介紹古希臘關於所發現的一些簡單的比例所產生的基本音程的故事。

˙給定一條調好音高的單弦（如Do），長度為L（製作實物），問學生要發出高八度
  的音，弦長為多少？請學生動手操作，並配合鋼琴（或其他樂器如Keyboard）確定
  答案。

˙要發出五度音（Sol）又是多長？ 四度後再四度又是多長？ 並與鋼琴上的音做驗
  證。

˙某弦長未知，告訴學生其四度音程長，讓他們找出原長，並與鋼琴的音做比較。

        這些活動都是可以實際操作的。Oscar對實際巴西11-14歲孩童進行如此的教學，發現不但喚起了學生們的好奇心， 也通時間試探了學生音樂或數學的天賦，學生也有可能從原本只對其中一科有興趣而激起對另一科的學習意願，無論對於音樂課或數學課都有正面的效果。利用計算或找尋音程來解決上列問題的機會，不但可以實際經驗比、及比的合成運作，也可以更貼近歷史，動手操作古希臘即發現的數學事件，使得數學史真正融入課堂中。

        此外，從其他領域的旁敲側擊或許能提供一些當時代的數學知識背景。Oscar 就指出，在《幾何原本》第五卷定義9、10關於二次比（duplicate ratio）和三次比（triplicate ratio）就是討論a:b 和b:c 成為a:c的比的合成，這種前一個比的後項必須和後一個比的前項相等，從數學的觀點來看是沒有必要的，而但如果從音樂的觀點來看便可得到理解。

        最令人印象深刻的，是Oscar將音程和『對數』做一個連結。對數的一個很重要的功能是將乘除運算降為加減運算，這大大減輕了一些繁複的運算。從字源學上看，logarithm（對數）是logos [ratio]+ ariqmos [number]兩字合成的，可見對數和比是脫不開關係的。以往對數的教法都依隨於指數（律），而文章中利用音程來說明倒是筆者頭一次見到。冪次的增加可視為比的連續合成，而比的連續合成又是音程上的疊合，舉一個簡單的例子，一個音每高四度弦長就會是原來的3/4倍（幾何級數），但在鋼琴鍵上固定往上移動六個鍵（半音），這是等差級數增加。也就是說這種對數的實作，可以在音樂上得到實踐。

        筆者認為，本報告最大的意義，在於Oscar能從其他領域與數學在實際教學上做一連結，為多學門合作的實踐又添一例，你或許不一定也能在音樂上做到如此駕輕就熟的地步，但相信每個教師都有其專長處（筆者曾私下問Oscar，他也不會演奏任何樂器），如去細思，何處不是教材？這種精神才真正是值得我們效法之處。