遺產問題與阿拉伯數學史

                               台師大數學研究所博士班 蘇意雯

                          一、前言   

                                     遺產分配，是回教世界的一個特色。本文將依照題目難易，節錄三題有關阿拉伯遺產的問題。眾所周知，阿爾•花拉子米 (Al-Khowarizmi）在阿拉伯數學中佔有舉足輕重的地位。可是有關他的代數著作之譯本，通常都去掉了前面的序言，因為在前面的這些文句中，有一些回教的祈禱文，也描述了穆罕默德的預言。這對信奉基督教的翻譯者而言，真是情何以堪。在Rosen的阿拉伯文本的譯本中，除了序言的補足外，我們還看到了很多關於法律的問題。阿爾•花拉子米舉例說明了代數如何可以應用於其民族的遺產法則，又再一次的強調了代數的重要。以下就是這三題文本的介紹。

                          二、   文本及其解說

    第一個題目是簡單的遺產分配，只要考慮繼承人即可：

一位婦女過世，留下她的丈夫，一個兒子和三個女兒，本目標是要用分數表示每一位繼承人各能分得的資產。

阿爾•花拉子米把扣除掉丈夫所分得資產後後所剩下的 分成五個部分，兩份給兒子三份給女兒們。因為4和5的最小公倍數是20，所以這份資產可以分成20等份，丈夫得5份，兒子取6份，每個女兒分得3份。（Berggren，1986）

    第二題加入了把財產遺贈給陌生人的情況，請看下例：

一位婦女過世，留下她的丈夫，兒子和三個女兒，但是她也遺贈給一位陌生人總資產的 ，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

因為 ，所以可以直接分配。如前一個問題，所分得法定資產的公分母為20。在陌生人的部分（ ）取走之後，剩下 的資產。於是陌生人所得與家庭成員共得部分的比為 。因此，對於整個資產，陌生人將得到15份對比於自然繼承人的41份。為了計算方便我們把兩數都乘上20，所以總數為20（15+41）＝20×56＝1120份，而陌生人拿了20×15=300，繼承人共得了20×41=820。在這一部份，丈夫得了 ，就是205，兒子是 ，就是246，另外每一個女兒獲得123。（Berggren，1986）

第三題就更複雜了，因為這個問題還牽涉到了借貸的情況：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的三分之一遺贈給一位陌生人。而他共留下了10 dirhems以及對於其中一子10 dirhems的要求（按：此意即其中有一子欠父親10 dirhems）。

計算：你要求的是從債務中所取得的總值，把此值（原文用thing來表示，用特定的文字代表未知數，這也是阿爾•花拉子米的一項特色）加上10 dirhems的資本，於是總和變成10+thing。減去總和的1/3，因為他把財產的 贈與出去，即 dirhems和 的thing，所以剩下 dirhems和 的thing。把這些分給兩個兒子，每一個人分到的部份是 dirhems和 的thing。這與剛才所要找的值相等。從thing裡減去其 ，剩下 的thing與 dirhems 相等。再來你只要藉著增加相同的 補足thing即可。因此，你增加了 dirhems 的 ，然後得到5 dirhems，這個就是代表從債務中取得的thing。”

    這個問題用現代的代數符號，可表示為 ，其中 是所遺留的財產總數（考慮留下的現金和可從債務中獲得的金額），x為每個兒子所能分得之遺產。所求出來的5，是可從債務中得到的最大數值。因為在這個問題中所含的法律觀點就是－如果一子欠父親的債務大於其所能分配之遺產，那麼在分家產時他並不需要再拿錢出來，讓兩者一筆勾銷即可，所以我們只需考慮所得之金額與償還之金額相等的情形。反之，在本題中，若兒子只向父親借4 dirhems 而不是10 dirhems，那麼他將可分得 dirhems的現金。因為 ， 。而另一子和陌生人都可得 dirhems。（Karpinski, 1915）

三、阿拉伯的遺產律則

    回教的遺產分配制度，有一定的準則。阿拉伯世界存在把財產遺贈予陌生人的習俗，另外遺贈所得不可超過全部遺產的三分之一。如果超過了，則必須經過繼承人們的同意。萬一只有部分的人同意，那麼那些同意者便要平均分攤超出三分之一的部分。在扣除陌生人所得的遺產後，其餘的部分為配偶可分四分之一，剩餘的四分之三由兒子和女兒以2比1的比例分配。當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

四、數學與中國文化

    像上述的遺產分配，對照於中國的古算書，並不曾出現過類似的問題，至於為何會有這種差異？筆者認為此應與文化脈絡有關。因為在中國，周朝繼承商朝確立的嫡長子制度，周天子由嫡長子世代相襲。至於在貴族方面，其政治身分雖是由長子繼承，但包括土地在內的家產，則由家中男嗣共分（沈大德、吳廷嘉，1998）。在戰國以前的農家頗多三代同居，而且兄弟不分家，同居共財。但在秦漢之後的家庭，成年已婚兄弟多在父母生前就各分家產，自立門戶。如何分產自是由長輩做主。在江蘇儀徵青浦的西漢末年墓，出土平帝元始五年（西元5年）的竹簡《先令券書》，就提到立券人朱凌之母對財產的分配是「公文年十五，去家自出為姓，遂居外，未嘗持一錢來歸。嫗予子真、子方自為產業。子女仙君、弱君等貧，毋產業」（按：朱凌、子真、子方、公文為其子，仙君、弱君為其女）。與漢代不同，唐朝家庭結構已婚兄弟同居共財為其特色，而父母過世後，兄弟幾都平分家產。唐之後亦然。這種慣例行之久遠，除非父母先立遺囑，但也不脫其窠臼，只不過有時長孫亦可算一份，或是嫡長子可得二份。例如在宣統辛亥增修《吳中葉氏族譜》卷六十四＜雜誌丙故事＞引《雍正舊譜》收錄的宋世分書云：

山頭巷住人葉廿八同妻某氏，請到親族楊三十一秀、徐十八秀、葉廿四秀等，寫立遺囑，老身正室某氏生長男葉椿、次男葉柏、三男葉桂、七男葉樞、側室某氏生四男葉槐、五男葉榆、六男葉梅。七男俱已娶妻完聚，不幸葉梅早卒無後，老身仰賴祖宗遺蔭，頗成家業，今將現在房屋山地家私什物作十分：除葉柏出贅外，葉椿嫡長得二分；餘四子各得一分；葉桂早卒，遺孫葉堂孤苦，同葉梅妻氏共又得一分；餘三分老身養贍送終并應門戶，待老身天年之後，所遺三分照前均分。此係出于至公，並無私曲，亦無更分不盡之財。既分之後，榮枯得失，聽由天命，所有家私明寫分書之上，永遠為照。（杜正勝，1992）

五、結語

由上述例子可見，數學問題離不開社會文化歷史脈絡。事實上，數學是某脈絡中的知識活動，也擁有豐富的歷史文化向度，在各類數學知識呈現的萬般風情之背後，正蘊含了深刻的歷史意義。教師授課時，若能讓學生體會到數學的這個面向，也就是朝著HPM的目標又邁進了一步。

參考文獻

李文林主編（2000），《數學珍寶－歷史文獻精選》，台北：九章出版社。

沈大德、吳廷嘉（1998），《中國傳統社會結構探析》，台北：南天書局。

杜正勝（1992），《古代社會與國家》，台北：允晨文化

洪萬生（2001），〈當斐波那契碰上孫子〉，《HPM通訊》第四卷第一期，頁1-2。

劉鈍（1997），《大哉言數》，瀋陽：遼寧教育出版社。

Berggren, J. L. (1986),  “The Islamic Dimension: Problem of Inheritance”, in Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (New York：Springer-Verlag.), pp. .63-67.  .

Grattan-Guinness, Ivor (1997), The Fontana History of the Mathematical Sciences. London: Fontana Press.

Karpinski, L. C. (1915, “Preface and Additions Found in the Arabic Text of Al-Khowarizmi’s Algebra”, in Robert of Chester’s Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi (New York: The Macmillan Company), pp. 45-48.