《平三角舉要》與《方圓羃積》初探
台師大學數學系教師在職進修碩士學位班
麗山高中彭良禎老師
一、
緣起
9月14日「人文社會科學史料典籍研讀會」由陳彥宏導讀清朝梅文鼎（1633-1721）的《平三角舉要》與《方圓羃積》。此次研讀的文本源自《梅氏叢書輯要》，收錄於郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，頁458-517。在〈平三角舉要提要〉中，劉鈍特別指出「梅文鼎在明末傳教士編譯的《大測》、《測量全義》等書的基礎上，對涉及三角形的幾何學性質以及有關三角術的算法作了系統的整理」。由於《大測》與《測量全義》恰涵蓋於筆者正埋首研究的《崇禎曆書》中，因此，對於這次的研討很有感覺，茲將部分文本的初步研究及些許心得與大家分享。
二、梅氏編撰時的想法
概略說來，《平三角舉要》與《方圓羃積》本該算是兩個不同的知識面向，前者是藉由測量談三角之法與原，後者則是給出方與圓、柱體與球體等相關的比例計算。然而，梅文鼎在兩篇內容的安排上，有個地方極其特別，那就是在《方圓羃積》中，全未提及古今算家如何計算圓面積，反將此部份以「補遺」的形式安插在《平三角舉要》卷一的〈測算名義〉中。1對於這樣的設計，想必是另有安排。
先從這兩處相關字面上觀察，則不論是中法的「割圓求積」，還是西法的「割圓八線」，恰好都有「割圓」二字，這或許給了梅文鼎一些靈感，以至於他在方法上，「補遺」一開頭便強調「正弦為八線之主」，由於古今中西的「割圓之法，皆作勾股於圜內，以先得正弦」，因此，不論是中法「劉徽、祖沖之以割六弧起數、趙友欽以四角起數」，還是西術以「六宗率則兼用之」，2是皆「理之至者，先後一揆，法之精者，中西合轍」的昭然之理，「故古人只用正弦，亦無不足」。
換句話說，梅文鼎之所以能將三角與方圓這兩個主題「送作堆」，是由於他看穿了在計算圓面積的逼近過程中，總是要用到「外接圓半徑R、內切圓半徑r與半個邊長a／2」所形成的勾股形，而「半面為股，則正弦也」、「所用小股，皆正弦也」，換言之，對梅文鼎而言，正弦即是勾股的化身，而割圓即生三角，三角又以正弦為首，所以，梅文鼎只是順水推舟地將劉徽《九章算經》的割圜術、趙友欽《革象新書》中的「乾象周髀法」，全都換上西法「三角」的新包裝而已。
「補遺」中最後總結「中西割圓之法，皆以勾股法求通弦，通弦半之為正弦，割圜諸率，皆自此出，總之，為勾股之比例而已」。無怪乎梅文鼎在〈平三角舉要序〉中，開門見山即強調「西法用三角，猶古法之用勾股也」。而在三角與勾股正反兩論分分合合之後，梅文鼎便中西會通地下了「勾股雖不能備三角之形，而能兼三角之理，三角不能出勾股之外，而能盡勾股之用，一而二，二而一者也」的結論。因此，如果說梅文鼎是站在肯定中算勾股的基礎上，同時取長西法三角「用之殊便」的實際功能，來重新審視、整理，那麼，劉鈍在〈平三角舉要提要〉中尊崇該書卷「堪稱中國歷史上第一部三角學教程的著作」的說法，也就不足為奇了。
順帶猜想，此次的內容安排，或許是為了讓大夥體驗「會通之後的一貫」，才會用心良苦的在梅文鼎的眾多數學遺作中，刻意挑選這兩篇書目研討吧！
三、測算名義
梅文鼎在重新消化、整理整套三角學的知識內容時，仍延續《幾何原本》「凡造論，先當分別解說論中所有名目，故曰界說」的習慣，將「點；線；面；體；三角形；角；弧；割圓弧矢；通弦、正弦；正矢、大矢；正弧、餘弧、正角、餘角；正弦、餘弦、正矢、餘矢；割線、切線；割圓八線；角度；相似形；比例；八線表；半徑全數；鈍角正弦、餘弦；過弧、大矢；正角正弦」等使用名詞的定義，「爰摘綱要，列於首簡」，隨即強調「不可以不知」。
然而，雖同樣是名詞介紹，其所用術語卻大不同，《大測》採用佛門的「因明」，《測量全義》恪守尊師的「界說」，而《平三角舉要》則是另創新派「名義」，箇中差異，饒富趣味，或值一探。此外，在介紹名詞的過程中，亦夾雜定理論述，茲舉數個面向供讀者欣賞。
（1）
點、線、面、體
仍提長短、廣狹、厚薄，並附圖說明。所不同者，皆舉日月測行、田疇櫃塔等測算實例、實物，從而直觀地得出「故線以點為其界」、「故面以線為界」、「皆以面為界」的結論（而非定義）。3此或突顯出梅氏在「名義」前冠上「測算」二字的源由。另外，「線」只談弧線（中規）與直線（中繩），未提雜線，想是因為此處的研究對象皆為「有法之形」的緣故，而附圖中則指出平行直線「凡平行線，必相距等」的性質。
（2） 三角形
仍強調「必三線以上」、「形之始也」，至於「故三角者，量法之宗也」的結論，則可從附圖所隱藏的公式「從一個凸n邊形的頂點連對角線，可將原形分為n－2個三角形」，再加上「凡可算者，為有法之形；不可算者，為無法之形」的觀點來說明，因為勾股為有法之形，而斜角形或分或補，皆可成勾股形，至於通通可入算的「海龍公式」，則出現在卷三〈內容外切〉「三角求積第三術：以三較連乘，又乘半總，開方見積」。
（3）
角、弧、角度
從「線既平行，雖引而長之，至于無窮，終無相遇之理」平行線的直觀想法，引入「兩線相遇則成角」的概念，並提及正方角、銳角、鈍角。其中90度角亦曰直角、亦曰方角，或省曰正角、象限角，但文後卻全然避用「直角」一詞，若從字義上來看，大概是因為「正方」一詞所表達的圖感優於「直」字所傳達的體勢吧！至於利用「兩線十字縱橫相遇」的「十字」來「圖釋」垂直的概念，又或許是在明清之際，「西學」即等於「聖教」的趣味連結。而「角之在小形與在大形，無以異也，故無丈尺可言，必量之以對角之弧」的敘述，則突顯出梅氏已掌握到「角經放大、縮小仍不改其度」這種與眾不同的性質。（這個概念在《大測》與《測量全義》中似未出現，待考）
（4）
相似形、比例
在「有兩三角形，其各角之度相等，則為相似形，而兩形中，各邊之比例相等」中，梅文鼎特將「相似」與「形」兩種概念合成一個專有名詞，是否為首創？待查證。又梅文鼎的年代當未能接觸《幾何原本》第七、八、九卷的內容（巧妙地藉由幾何量談比例，以避開數的不可公度），不過其「兩數相形則比例生」這句話，頗能反襯出「在不同時空背景下，數學知識的發展性、侷限性與啟發性」。附帶一提，雖屬定義名詞之介紹，但在前後次序上，仍發生「倒置」的情形，如「割圓八線」條即引用後「比例」條。此現象在西學知識日漸被中算家消化、吸收，甚至成為基本術語的時空背景下，或無法避免。
（5）
半徑全數
藉由「正弦必小於半徑」、「割切二線皆依正弦而生，亦皆有畸零」來說明何以新法中會將半徑冠上「全數」之名，並強調如此一來（半徑即等於全數），在三率法求數及乘除運算時的方便。不過，梅文鼎在卷二〈算例〉的描述中，為了突顯「比例之理」，從頭到尾堅持使用半徑一詞，而未採用新法之全數。對梅文鼎而言，「形」與「數」這兩種各自代表「幾何」與「算術」的不同表徵，想必是有明確界線，但卻又互相依存的，因為必「形」才能相似，且需有法之形可算，而半徑為形非數，全數為數非形，因此兩數須相形始生比例。
（6）
直角、鈍角之正弦、餘弦
承續《大測》從鈍角的補角來定義其正弦、餘弦，所不同的是，梅文鼎特別為鈍角的「正矢」另立一條目「大矢」。而對於正方角正弦的描述，則是：「八十九度奇之正弦，至九九九九九而極，迨滿一象限，始能成半徑全數，故半徑全數者，正角九十度之正弦也」，由此可見，梅文鼎從銳角正弦推廣到正角正弦的函數遞增與極限想法。
四、中西對照與一二考證
梅文鼎在〈測算名義〉「八線表」條後，補述「銳角分兩勾股，鈍角補成勾股，然惟有八線表中豫定之勾股，故但得其角度，則諸數歷然，可於無勾股中尋出勾股矣」，此正呼應劉鈍在〈平三角舉要提要〉中提到「此書也是作者藉助傳統勾股理論整合三角術的一個嘗試」，故擬對照《大測》與《測量全義》，將中西之「三角」、「勾股」和「圍徑之法」等相關評述，列表對照如下，期供讀者一探梅氏會通之源：
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〈大測序〉
勾與股交必為直角，……，遇斜角則勾股窮矣！分斜角為兩直角，亦勾股也，遇或不可得分，又窮矣！
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〈平三角舉要序〉
但三角有鈍角，而勾股無之，論者遂謂：勾股之術有所窮。殊不知銳角形須分為兩勾股，鈍角形須補成勾股，
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〈大測序〉
以弧求弧，無法可得，必以直線、曲弧相當相準，乃可得之，
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〈平三角舉要序〉
至於弧三角以直線測渾圓，其理最奇，
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〈大測序〉
而圍與徑，終古無相準之率。古云「徑一圍三」，實圍以內二徑之六弦，非圍也。祖沖之密率云「徑七圍二十二」，則其外切線也，非圍也。劉徽密率云「徑五十圍百五十七」，則又其內弦也，非圍也，或推至萬萬億以上，然而小損即內弦，小益即外切線也，終非圍也，
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〈方圓相容〉
《新法歷書》曰，又云「徑一圍三，絕非相準之率，然徑七圍二十二則盈，徑五十圍百五十七則朒，或詳釋之，則徑一萬，則圍三萬一四一五九，雖亦小有畸零不盡，然用之頗為相近。
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《測量全義》卷五〈圓面求積〉
徑與周之比例，古士之法如此，今士別立一法，其差甚微，然子母之數積至二十一字，為萬億億，難可施用。
〈大測序〉
歷家以勾股開方展轉商求，累時方成一率，然不能離徑一圍三之法，即祖率已繁不復能用，況徽率乎？況萬萬億以上乎？是以甚難而實謬，
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〈方圓羃積說〉
《歷書》周徑率至二十位，然其入算，仍用古率（十一與十四之比例，本祖沖之徑七周二十二之密率），豈非以乘除之際，難用多位，
【註】左言21字，此言20字，應是梅氏忽略誤差，只考量準確值的關係。以下寫至36位供讀者參考（有0哦！）
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由於梅文鼎在其「教科書」體例格式的安排上，並未如前輩們以《幾何原本》為宗，處處引經據典，將論證體系環環相扣。若從「假如」、「問曰」、「解曰」、「術曰」、「答曰」等體例來看待這套教程的編輯，則應歸屬「草稿」而非「標準版」。茲就文中相關引述略加考據。
（一）《新法曆書》
「《新法歷書》曰：割圓亦屬古法」。4明末徐光啟領導編修的《崇禎曆書》，前後分五次進呈，合計一百三十七卷，然刊成未及頒行（後又陸續進器與書，共一百四十餘卷）。清順治二年（1645），湯若望刪修成《西洋新法曆書》一百卷進獻，至康熙十三年（1674）時，又刪增成《新法曆書》九十七卷刊印，部分內容見載於《古今圖書集成》曆象彙編曆法典。5末至乾隆皇帝開《四庫全書》館，將之刪增為《新法算書》一百卷，收入子部天文算法類。
（二）《筆算》
「總而言之，皆以先有兩數之比例，為後兩數之比例。其乘除之法，皆一三率也（三率法詳《筆算》）。6《筆算》收錄於《梅氏叢書輯要》首五卷。《測量全義》卷一第七題關於「三率法」一詞的描述如右：斷比例之四率，以三推一，名「三率法」：四幾何為兩比例等，先有三推得第四。……，列第一、第二、第三率，即可推第四率。依（《幾何原本》）七卷十九題，中率相乘與首尾兩率相乘得數等。故二三相乘為實，第一為法，而一，得四率也。據陳敏皓《《同文算指》之內容分析研究》的論文研究，三率法的引進介紹首出其中。
（三）《比例規解》
「論曰：……，即《比例規》變面線之理」，7義大利傳教士羅亞谷譯撰的《比例規解》見於崇禎四年八月初一日《崇禎曆書》第二次進呈的書目中，後梅文鼎將全書修潤成《度算釋例》，並將「變面線」一詞改為「更面線」，是書收錄於《梅氏叢書輯要》八、九卷。
（四）術語
《測量全義》卷一第一題「通弦與通弧，正弦與正弧比例等（比例等後省曰『若』）」，因此「a與b若A與B」即是《測量全義》中用以表示「a：b＝A：B」的術語，此用到了梅文鼎身上則多成了「a比b若A與B」，「比」似乎成了一個專有名詞。（偶爾也出現「a
比b若A比B」或「a與b若A與B」的敘述）。8
（五）其他
附圖上所標識的字或數字，有正放的、斜擺的、橫躺的，更有倒立的，此情況未見於《新法算書》，而用來識別之字眼。《幾何原本》中徐光啟道「凡圖，十干為識，干用盡用十二支，支用盡用八卦、八音」，9而梅文鼎除了採天干、地支外，另有「亢」、「房」二字的出現，10不知有無特別用意？至於海龍公式的證明、測量高、深、遠、廣等問，亦見載於《測量全義》，待來文再探。
五、關於「教程」的幾個HPM觀
若從今日數學課堂上的教學方式或教材編排，來看待梅氏「這部堪稱中國歷史上第一部三角學教程的著作」，有些現象或問題值得站在教學第一線的教師們學習與深思。
（一）古今三角教學
現今數學課堂上，每當介紹三角函數的單元時，黑板上的圖形全都是「第一象限的表徵」，因為如此一來，當要介紹sin、cos、tan的定義時，老師們都會搬出拿手絕活，只要將sin、cos、tan中的s、c、t字母給他草寫（圖一），學生馬上不費吹灰之力便都清楚斜邊、對邊、鄰邊應該放哪兒了。
然而，在明末清初，sin、cos這些「番話」未見眾習，上述捷法必定「當機」！因此，《平三角舉要》延續《大測》、《測量全義》的策略，採取「圖文對照」的方式介紹，因為用弦、切線、割線來割圓，而所割之形「如弓之曲」，故得矢，如此四線，再加上餘角所成四線，順理成章便以「割圓八線」名之，而「正弦、正切線、正割線、矢、餘弦、餘切線、餘割線、餘矢」一概只須「看圖說故事」，至於彼此的「餘角關係」，更是望文生義便得。
古今兩教學法不同，今法或許速成，立竿見影，但剩下的倒數關係可不易收拾，11所以，才又得發明「雪花圖」捷法。而古法的圖像記憶或許老牛慢步，然而，一旦認清名詞，無煩再背矣！更巧妙的是，古法用以詮釋的圖形幾乎都是「第二象限的表徵」（圖二），這樣的安排，在拓展至廣義三角函數（尤其是鈍角）的介紹時，一切就都自然而然，順理成章。課堂上若作這樣的鋪路，對於學生後續學習，相信是有價值的。
另外，梅文鼎還強調幾近補習班口訣的「但以餘為正，以正為餘」、「正餘互用」，也頗顯「編寫教材」的風格。又「既稱八線，刻中何以無矢？矢者，弦之互餘相減即得也（法見後條）」。12由於半徑為全數，加減即得矢，因此，無須浪費版面造表，然而今日課堂上從頭到尾只介紹六線，究竟矢之巧妙大用為何？何以古人視為珍寶，今人全然不理不睬？以上種種，在三角單元教學中，或可換換口味補充、思考。
（二）三角形內角和定理
梅文鼎在「凡三角形併三角之度，皆成兩象限（一百八十度）」定理的證明上，將勾股形內角和一百八十度當作已知，把銳角三角形分成兩勾股形證明，鈍角三角形並同。13同時，為了證明這個已知，梅文鼎還特地在前頭「割圓八線」條，安排「順勾股形」與「倒勾股形」為熱身，若從教材的編排觀點而言，獨見其匠心與用心。而梅文鼎從勾股切入此定理，固然有其「一而二，二而一」的一貫想法，但若仔細分析其證明過程，除了「順、倒」與「勾股」，剩下的就只是「正餘互用」的定義而已，因此，「勾股三角之度皆成兩象限」這個已知，就變得那麼地理所當然了。
（三）尺規作圖
【範例】鈍角形第三術「有三邊求角」（新式）
【解法】術自乙角作垂線至甲，又引丁丙線遇於甲，則成乙甲丁勾股形。又引橫線至辛，使甲辛如甲丙，成乙甲辛勾股形，則……
尺規作圖的單元教學，曾是現今中學幾何證明的重要媒介，而其中「輔助線」無中生有的歷程，最是學子感到徬徨、無所適從之處。從此經驗來看待上題的教學「解答」，雖不難從已知圖形與作法的描述中拼湊出完整的圖像，然而，整個作圖過程卻是嚴重的「無序」，好似那些隱藏的點、線、面原本就該出現在那兒，類似的情況在《新法算書》中屢見不鮮。如此的教材設計若成教師手冊，則新手該如何上任才能使得教材更具創造性與啟發性？
另外，三率法的計算結果常需處理反三角函數，也就是求得某一八線數值，再求其對應角度。面對這樣的情形，梅文鼎在數據的設計安排上，與《新法算書》如出一轍，呈現兩極化，有設計精確的
，14也有誤差頗大的cos40o＝76604＜cos-176616＝40o＜cos39o59’＝76623。15此現象雖不免受誤差概念所影響，16但在「中算第一人」梅文鼎身上，或多或少仍見西法的影子。
（四）限制的背後
不論是《新法算書》，還是《平三角舉要》，整個關於三角的運算性質中，皆未出現餘弦定理，由於時空背景所造在成方法上的限制，其背後所發展的劇情，或為開拓另一新紀元的點子。茲以筆者在咬文嚼字，幾經細讀後，豁然開朗之處為例
【範例】銳角形第三術「有三邊求角」
【解法】術為以勾總比弦總，若弦較與勾較也。
既無餘弦定理，對於「勾總比弦總，若弦較與勾較」這個陌生之「術」，筆者只好反過來「看圖說故事」了：（圖三）
∵ （大勾＋小勾）：（大弦＋小弦）＝（大弦－小弦）：（大勾－小勾）
∴
大勾2－小勾2
＝大弦2－小弦2
故 大弦2－大勾2 ＝
小弦2－小勾2
即 甲丁2
（圖三）
雖經一番推導得以確認此術無誤，然而對此天外飛來之術仍不得其門而入。筆者之後又繼續埋首鑽研，直到邂逅了下題：
【範例】鈍角形第三術「有三邊求角」（新式）
【解法】術……，乃以勾較比弦較，若弦總與勾總。（圖四）
現在看來，這兩題根本就是換湯不換藥，可以直接跳過，無奈筆者當時腦袋混沌，早將前題歸零，所以又要再說一次故事。不過卻由於銳角與鈍角圖形的「體勢」不同，筆者才靈光乍現，說成了另一個故事：從鈍角形補成勾股形，再補成銳角形，又再加上「總」與「較」的感覺，最後就補成圖五的樣子了，如此一來，管他是勾較、弦較，還是勾總、弦總，只須Δ丁己辛
Δ丁丙庚，一切就都迎刃而解。後來筆者在綜合總整理時，看到這一巧妙變化，於是迫不及待地想寫下來與大家分享！
（圖四）
（圖五）
由於梅文鼎深受銳角形與鈍角形擺放的體勢所影響，因此，鈍角形永遠只能「補」成勾股形，而不能仿銳角形的「分」成勾股形來畢其功於一役。然無彼一役（分成勾股形，再以勾、弦之總與較證之），即有此一役（還原成圓上的兩割線，再以相似形證之）。相較起來，後術的認識就變得那麼直接，筆者由此而陰錯陽差的親身體驗，或值得在教學方法上多作反思。
六、插曲一則
七、後記
因為有感覺，所以認真鑽研，本以為兩天的週休可以敲定，如今已一週，實在是因為越鑽研，冒出的想法與問題越多，加上對於明清數學環境的涉略嚴重不足，案頭參考書目又少得可憐，要查證，總得大費周章，或許其中不少疑問早該是入門明清數學史研究的基本常識，而自己一概付之闕如，以致庸人自擾，而某些想法，也可能是門外漢的笑話吧！洪老師也鑒於夥伴們撰寫論文的現況，特別E-mail提醒大家可參考文俊、梅茵與宗奎小組讀書會的研討分享方式，以避免閉門造車與單兵戰鬥的浪費，一週來感受良多，大夥一同努力！
註解：
1.
參閱《梅氏叢書輯要》卷十九，頁13b-14b。
2.
六宗率參閱《新法算書》卷九，頁21b-26a之《大測》〈表原篇〉：宗率一「圈內六邊等切形，求邊數」、宗率二「內切圈直角方形，求邊數」、宗率三「圈內三邊等切形，求邊數」、宗率四「圈內十邊等切形，求邊數」、宗率五「圈內五邊等切形，求邊數」、宗率六「圈內十五邊等切形，求邊數」。
3.
參閱《幾何原本》〈界說三十六則〉第三界「線之界，是點（凡線有界者，兩界必是點）、第六界「面之界是線」、第十三界「界者，一物之始終。今所論有三界：點為線之界；線為面之界；面為體之界，體不可為界」。
4.
參閱《梅氏叢書輯要》卷二十四，頁2a之《方圓羃積》〈方圓相容〉。
11.
若從古法的定義來看，今日所謂的「倒數關係」並非顯而易見，不過，梅文鼎在「比例」條後則補充了類似今日「商數關係」的「八線自相生之比例」，此亦見於《新法算書》卷九十三，頁1a-5b之《測量全義》卷七「圈內線相當之理」。
12.
參閱《新法算書》卷八十一，頁1b；5a之《八線表》卷上「表中用線相求法第六條：求矢法『求設弧之餘弦，以減全數，得正矢，…，若求餘矢，則以正弦減全數，得餘矢』」。
13.
梅文鼎在註解小字強調「乙為鈍角，並同」，若據前後文一貫的想法，鈍角三角形是「補」而非「分」成兩勾股形，故其「並同」一詞應是指「皆以勾股形內角和成兩象限為已知」。
