韓國數學文本《九章術解》卷一校勘
中山女中 蘇俊鴻老師
第一節 導論
綜觀韓國南秉吉 (1820-1869) 的《九章術解》全書,可以將它視為中國《九章算術》的註解。卷一的方田章共有三十八個問題,完全依照《九章算術》原有的排列順序,而未有任何變動。按題目的內容來看,大致可分成面積問題與分數的四則運算兩大類。在面積問題方面,討論的是方田 (長方形)、圭田 (三角形)、邪田 (直角梯形)、箕田 (梯形)、圓田 (圓形)、宛田 (球冠形)、1弧田 (半圓形) 及 環田 (環形) 等形狀的面積計算;而分數計算的部份則有約分、合分 (加法)、減分 (減法)、平分 (分數的平均數)、經分 (除法) 及乘分 (乘法) 等。
如此一來,不免引發我們對他寫作《九章術解》動機的好奇。此外,對比《九章算術》原有的劉徽注,我們也可以進一步考察南秉吉在不同的文化脈胳下,對於《九章算術》的解讀與注釋所蘊涵的意義。以下,筆者將針對《九章術解》卷一的方田章進行分析。
第二節 底本的探討
在中國,《九章算術》曾經佚失,直到乾隆三十八年,編纂《四庫全書》時,由戴震輯錄校勘出《九章算術》等七部漢唐算經。據近代數學史家的研究,戴震在輯錄過程,有著不少的錯訛、誤校,甚至冒充原文的情形。2由於《九章算術》一書傳入朝鮮極早,也是算學科必讀之一,因此,南秉吉在《九章術解》所採用的《九章算術》底本,或許可能為戴震輯錄之前的版本。
為了解決此一關於底本的問題,我們儘可能搜羅現存《九章算術》的版本來作一比較,其中包括有:南宋鮑澣之的《九章算術》刻本、戴震校的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻的微波榭本《九章算術》以及李潢著《九章算術細草圖說》(1820)五種。(以下各書分別簡稱為南宋本、聚珍本、四庫本、微波謝本與李潢本)。就卷一的內容比對,僅有幾處有文字差異,表列如下:
書名 題號\名 |
九章術解 |
南宋本 |
聚珍本 |
四庫本 |
微波榭本 |
李潢本 |
5、6 |
……約之幾何 |
……約之得幾何 |
……約之得幾何 |
……約之得幾何 |
……約之得幾何 |
……約之得幾何 |
15、16 |
平於 |
平於 |
平于 |
平于 |
平于 |
平於 |
27 |
邪田 |
邪田 |
斜田 |
斜田 |
邪田 |
邪田 |
29 |
踵廣3 |
踵廣 |
踵闊 |
踵闊 |
踵廣 |
踵廣 |
33 |
宛田 |
宛田 |
畹田 |
宛田 |
宛田 |
宛田 |
由上表可知,並沒有出現直接性的証據,可以看出《九章術解》與哪一個版本相近。但是,筆者在術文註解比對的過程,卻發現一項間接性的可能,那就是:南秉吉在『平分術』的註解上,所使用的文句形式與戴震〈《九章算術》卷一訂訛補圖〉對平分術補充的內容雷同,而上述五個版本中,只有微波謝本收入戴震的訂訛補圖。
第三節 南秉吉註解的風格與特色
由書名《九章術解》就可以看出南秉吉寫作此書的方式。他保留了《九章算術》中各卷的問題及術文,但卻刪除劉徽及李淳風的註解,而對每條術文提出他自己的解釋。不過,在仔細察考各卷的註解後,我們發現南秉吉所使用的數學知識以《數理精蘊》為主,劉徽與李淳風的註解為輔。4以下,筆者就卷一的內容來討論南秉吉註解的風貌,如上文所述卷一概分為面積問題與分數運算兩部份。首先由分數運算談起。
以合分術為例,《九章算術》中李淳風對術文名稱的說明是:
合分臣淳風按:合分知,數非一端,分無定準,諸分子雜互,群母參差,粗細既殊,理難從一。故齊其眾分,同其群母,令可相并。5
南秉吉的說明顯得簡潔許多:
合分合分者,兩分子相加也。若有兩分母不同,則用互乘法,以所得兩分子相加也。6
我們不難看出南秉吉是利用當時他所掌握的西方數學知識,重新對『合分術』這個名詞予以解讀,此種對比散見於《九章術解》全書,7這在術文的註解上也可以看出。以『合分術』的術文為例:
術曰:母互乘子,并以為實,母相乘為法。此法用互乘以齊其分也,兩分母相乘為共母數者。因兩分母不同,難以相加,故兩分母俱變為共母也。前分母乘後分子;後分母乘前分子,相加為共子數者。……實如法而一,不滿法者,以法命之。……其母同者,直相之。兩分母同者,即併兩分子為得數。若相加之數大於母數,則於所得數內減去母數為一整數也。或有三種者,兩分母相乘後,所得之數與所餘之分母相同,則直與相加,不必用互乘法也。8
如果將此段註解與《數理精蘊》下編卷二討論分數加法的敘述相比較,在文句內容上大體是一樣的。9不止於此,在分數運算(加、減、乘、除)上,各術文的註解幾乎是《數理精蘊》下編卷二的謄抄。10再推敲術文的解釋,我們也發現南秉吉著重在分數加法機械性的操作;他主要對分數的加法賦予程序性的說明,並在細節上加以提醒 (分母相同或不同)。這樣的進路,卻反而造成南秉吉忽視劉徽的註解對術文內在蘊涵的算理討論。11例如,劉徽在『合分術』的註解中,強調了分數在進行運算時狀態的變化之重大意義:
凡母互乘子謂之齊,群母相乘謂之同。同者,相與通同,共一母也;齊者,子與母齊,勢不失本數也。……乘以散之,約以聚之,齊同以通之,此其算之網紀乎。12
這樣的差異性在分數運算的各術文上都相同,不再贅述。接著下來,讓我們來看看關於面積公式的部份。
與劉徽相同,南秉吉在圭田、邪田及箕田等圖形的註解上,也採取了『以盈補虛』的說法。但對於『圓田術』的註解,就非常引人側目。南秉吉特別在卷一的末尾,收錄〈圓面積圖說〉一文
(書影見圖一),足見他對圓面積公式的重視。全文重
點在於論証圓面積會與一個大邊為圓的周長 (周界),小邊為圓的半徑 (幅線) 的直角三角形的面積相等。為什麼呢?如圖一,將圓作幅射形切開成若干的小三角形(扇形),作直線排列。會發現小三角形(扇形)的中垂線(即半徑)恰與直角三角形丙丁戊的小邊相等。接著,他証明直角三角形的大邊與圓的周長相等:
圓周界曲線也;等邊眾界形之界度直線也。……如以圓之內外,各設多邊眾界形,分為千萬邊,則逼圓界,最近將合而為一。13
南秉吉利用圓的內接與外切的正多邊形,若分割足夠多邊數的正多邊形時,會與圓周相當地密合,因此,直角三角形的大邊與圓的周長會相等。14
經過比對,筆者發現南秉吉的〈圓面積圖說〉一文,幾乎與《數理精蘊》上編卷二第二十二條圓面積公式的論述一致
(見圖二)。但與劉徽關於『圓田術』的註解相較來說,兩者是不同的。首先,劉徽是利用「圓出於方」的想法,由正方形面積來証明圓面積公式,並說明π=3是圓內接正六邊形的近似值。再者,劉徽只利用圓的內接正多邊形來逼近圓周。此外,劉徽更利用他的論証方法,取一直徑為2尺的圓,由圓內接正六邊形出發,分割成圓內接正十二邊形,求出邊長,再反覆程序,直到分割出圓內接正一百九十二邊形為止,求出π的近似值157/500。15劉徽更在圓田術後的『又術』重新利用求出π的近似值。16有趣的是,南秉吉雖在他的『圓田術』的註解中,說明各家所求π的近似值
(祖沖之、劉徽等),但對在『又術』中,卻未給出更精密的近似值。
除了『圓田術』外,另一個值得注意的是『弧田術』的註解。劉徽認為『弧田術』的公式過於粗疏,也提出了他的精密逼近值之求法。17南秉吉沒指出錯誤,倒給了一個挺特別的註解,請參考下文的現代符號『翻譯』:
因為弧田是半圓形,所以,弧田面積=1/2圓面積。又當π=3時,
圓面積=3/4 (圓徑)2,(圓徑)2=4(半徑)2,從而
圓面積=3(半徑)2。
由此,可導出:當『弧=圓徑=2半徑;矢=半徑』時
弧田面積 = 3/2 (半徑)2 =1/2 (弧矢+矢2)。
可見,南秉吉是以π=3的情形,來註解弧田面積。
第四節 南秉吉註解的評價
由上節的論述,我們可以看出南秉吉在《九章術解》卷一呈現兩個特點:(1)為註解而註解;(2)以西方數學知識為註解的主要工具。就第一點來說,南秉吉在《九章術解》所著重的,是將各條術文解釋清楚。以弧田術為例,公式本身僅成立在π=3的特殊情形,並非正確的公式,南秉吉似乎未能察覺此點,給出一個能自圓其說的註解。此外,在術文的註解上,也不像劉徽會建立出一套理論架構,例如,在面積公式的註解上,劉徽對各個形狀面積公式有明顯的邏輯關係,用『以盈補虛』的概念加以貫穿。而南秉吉則是部分用劉徽的方法、部份用《數理精蘊》的方法。所以如此,當然與南秉吉註解時採取的態度有關,這正是第二點所要討論的。
南秉吉深受《數理精蘊》的影響無庸置疑,在註解每條術文時,南秉吉曾先找尋與《數理精蘊》是否互相對應的內容。若果肯定的話,他多半直接採擷相關內容,連文句用字都大同小異,圓面積圖說便是一例,也見於分數運算的術文註解上。不然,就會使用劉徽的註解,如圭田、邪田等面積公式;或是像平分術的註解,則採用戴震的說法。原本南秉吉利用《數理精蘊》的數學知識來詮釋《九章算術》的各條術文,值得史家至億。不過,由卷一的內容看來,除了將相關的題材騰抄當成註解外,卻不見南秉吉個人的創見或是心得。例如,圓田術選擇用《數理精蘊》內容來作為註解,它與劉徽的圓田術的優劣比較付之闕如,不免讓人懷疑南秉吉的數學素養。這個懷疑也在南秉吉對某些名詞定義上,掌握得不是很好可以看出。在『經分術』的定義上,南秉吉寫道
經分者,即零分除零分也。
零分在《數理精蘊》中係指真分數而言,但此處的除法運算並不限於真分數。另一個例子,則是在『環田術』上,經比對《九章術解》有一大段的術文被刪去,據筆者的推測,可能南秉吉誤為是劉徽的註解,而將之刪除。18
總括來說,南秉吉企圖利用《數理精蘊》的數學知識重新註解《九章算術》的用心,值得我們肯定,例如分數運算的註解上,筆者就認為對初學者而言,南秉吉(或是《數理精蘊》)的說明顯得簡單,容易上手。但在消融《九章算術》本身的數學知識與《數理精蘊》的數學知識上,顯得有些力有未逮。以上是筆者針對《九章術解》卷一內容校勘、解讀所得的粗略看法,仍待其他各卷的分析後,才能有更加完整且全面呈現《九章術解》的真實風貌。
註解:
1. 宛田是什麼形狀?自清朝李潢《九章算術細草圖說》解釋成球冠形後,後繼學者多以此為圭臬。直到近來才有學者提出不同的看法,如李繼閔便認為宛田是『圓田』將其它『中央隆高』而成,形狀應如土堆、丘陵或墓冢之類。因此在《九章算術》方田章中,宛田術列於圓田術之後,便是認為此兩種形狀相近之故。請參閱李繼閔《《九章算術》及其劉徽注研究》(台北:九章出版社,1993),頁277-285。
2.
對於《九章算術》的版本問題可參見郭書春,《九章算術譯注》(瀋陽:遼寧教育出版社,1998),頁38-45。
3.
但此題的答案,《九章術解》不正確。
4.
朝鮮在正祖時期
(1777~1800),李承壎曾帶回《幾何原本》與《數理精蘊》,因此,南秉吉熟知《數理精蘊》的可能性極大。見李儼〈從中國算學史上看中朝交流文化〉一文,收入《李儼、錢寶琮科學史全集》(瀋陽:遼寧教育出版社,1998)第八卷,頁562-563。
5.
引自郭書春,《九章算術譯注》,頁203。
6.
引自南秉吉,《九章術解》,頁263。
7.
這樣的論述態度在南秉吉其他數學著作也可以看見,如《無異解》一書。參見洪萬生(2000)〈《無異解》中的三案初探:一個HPM的觀點〉一文,收入《科學教育學刊》第八卷第三期
(2000),頁215-224。
8.
引自南秉吉,《九章術解》,頁263-264。
9.
參見清˙康熙御制,《數理精蘊》(收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊,鄭州:河南教育出版社,1994),頁209-212。
10.
唯一的例外是『平分術』的註解,可能是在《數理精蘊》中找不到相對應的章節。據筆者比對的結果,南秉吉可能是用了戴震〈《九章算術》卷一訂訛補圖〉的內容,收於《九章算術》,孔繼涵《微波榭叢書》的版本。
11.
關於劉徽的數學體系,可參閱郭書春,《古代世界數學泰斗—劉徽》(台北:明文書局,1994),頁301-322。
12.
引自郭書春,《九章算術譯注》,頁203頁。
13.
引自南秉吉,《九章術解》,頁282。
14.
圓面積等於一特殊直角三角形的面積的觀點,最早是阿基米德對於圓面積公式証明所採取的策略。此處論述並不夠嚴密,可參閱阿基米德在《論圓的測量》(On
the Measurement of the Circle)書中對圓面積公式的証明。事實上,阿基米德也求出π的近似值。文本可見Ronald
Calinger (ed.), Classics of Mathematics(Englewood
Cliffs, New Jersey, 1995),
pp.137-141.
15.
參見郭書春,《古代世界數學泰斗—劉徽》,頁234-242。
16.
《九章算術》在『圓田術』中,也有二個近似公式,都是π=3時成立。分別是『徑自相乘三之四而一』及『周自相乘十二而一』。
17.
參見郭書春,《古代世界數學泰斗—劉徽》,頁243-247。
18.
被刪去的術文為:『密率術曰:置中、外周步數,分母、分子各居其下。母互乘子,通全步,內分子。以中周減外周,餘半之,以益中周。徑亦通分內子,以乘周為密實。分母相乘為法,除之為積步,餘,積步之分。以畝法除之,即畝數也。』