數學文本與問題意識

                                                     台師大數學系 洪萬生教授

        本學期『數學史』課程結束前，為了檢驗選修學生是否理解『問題意識』之重要性，特別複印文本一份，請他們提出有意義的數學問題與歷史問題各一個。茲先引述此一文本如下：

        Proposition 20: Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.（命題20：任置若干數根，數根必不盡於此）

        Let A, B, C be the assigned prime numbers;

I say that there are more

prime numbers than A, B, C.

        For let the least number

measured by A, B, C be    

taken,                                     

and let it be DE;

let the unit DF be added to DE. 

        Then EF is either prime or not. 

        First, let it be prime;

then the prime numbers A, B, C, EF have been found which are more than A, B, C.

        Next, let EF not be prime;

therefore it is measured by some prime number.                    [VII. 31]

        Let it be measured by the prime number G.

        I say that G is not the same with any of the numbers A, B, C.

        For, if possible, let it be so.

        Now A, B, C measure DE;

therefore G also will measure EF.

        But it also measures EF.

        Therefore G, being a number, will measure the remainder,

the unit DF:

which is absurd.

        Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, C.

        And by hypothesis it is prime.

        Therefore the prime numbers A, B, C, G have been found which are more than the assigned multitude of A, B, C.   

Q. E. D. [Heath 1956, vol. II, p. 412]

                此一命題正是歐幾里得《幾何原本》(The Elements) 第九冊第二十個定理。眾所周知，本書第七、八、九三冊內容是『數論』(arithmetica)，其中第七冊就包括了鼎鼎大名的『輾轉相除法』(Euclidean algorithms)，為自然數（希臘人稱為 (whole) number）的因數與倍數之關係，提供了討論的起點。不過，上述定理的特殊表達形式，不僅數學家很少察覺，即使數學史家也常常輕忽待之，實在有一點說不過去。

        究其原因，數學教科書（不管高中或大學階段）的通用形式固難辭其咎也，這是因為此一定理都被寫成：『存在有無限多個質數』(There are infinitely many prime numbers)，以是，讀者一旦從純粹知識論的角度來研讀《幾何原本》，就很難體會古希臘數學家處處迴避『無限』的無奈與苦心。其實，『無限』即使只當副詞使用，也不曾出現在《幾何原本》之中，譬如平行線之定義，就以下列形式給出：

Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction. [Heath 1956, vol. I, p. 154]

顯然，“indefinitely” 再怎麼推敲，都不好按 “infinitely” 的意義來翻譯，何況後者的使用，根本經不起伊利亞學派 (Eleatics) 哲學家如Parmenides 與 Zeno的挑剔。

        另一方面，仔細考察此一『歐式證法』，我們可以發現時髦的『教科書證法』完全脫胎自於此 － 實質上都利用『歸謬法』！不同之處僅在『修辭』而已：後者『假設』結論不能成立，亦即只有有限多個質數，前者則不須作此假設，將指定的質數寫出即可。從數學認知的角度來看，《幾何原本》的命題表達形式，似乎很容易讓我們聯想到上述『歐式證法』，至於『教科書證法』在作結論無法證出的假設時，似乎無法引導我們必然寫下那有限多個質數。因此，貼近文本就此一例子來說，受惠的不僅歷史研究而已，對學習數學知識本身而言，有時也帶來非常深刻的啟發！

        最後，謹引錄此一文本的中譯，它出自李善蘭 (1811-1882) 與偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合譯的《幾何原本》後九卷，儘管他們根據的英文母本不詳，然而，我們還是可以讀出譯文的忠實程度（請注意：其中『數根』即「質數」也）。