尚書數學家顧應祥 

                                                                     台師大數學所教學碩士班 馬祖中正國中 王連發老師

一、前言

明代的數學，一般的評價都不高，有的人說：「中國古代傳統數學到明代幾乎失傳」，[1]有的人說「自明初至清初，約當公元1367年迄1750年，前後凡四百年。…… 是稱中算沈寂時期」，[2]有的人說：「在1400年間到1500年間，幾乎沒有一部值得注意的著作」。[3]而指標性的『天元術』之失傳，更顯示明代數學遠比宋、元落後。顧應祥在《測圓算術》的自序中所講的「但每條細草止以天元一互筭，而漫無下手之處」，更是明證。

但是，明朝數學的滄桑，應該回到明朝的脈絡中去討論才更有意義。因此，我們以這個指標性的人物 — 顧應祥為研究對象，來考察明朝數學一些真實風貌。

        本文是筆者的碩士論文摘要，以下就各章重點簡略陳述，請讀者不吝指教！

二、顧應祥小傳

顧應祥的傳記資料並不出現在正史之中，因此，我們必須從其他的資料中去拼湊出來。所幸，方志之中還存在有他的個人資料，可供我們參考研究。目前筆者收集所得大致如下：

1.          浙江省《湖州府府志》（人物志、藝文志）

2.          浙江省《長興縣志》（人物志、藝文志）

3.          （明朝）徐象梅的《兩浙名賢錄》

4.          （明朝）黃宗羲的《明儒學案》卷十四之（浙中王門學案四）

5.          （明朝）徐中行的《天目先生集》卷十五：〈資善大夫南京刑部尚書贈太子少保箬溪顧公應祥行狀〉

6.          《國朝列卿記》載有徐中行的〈資善大夫南京刑部尚書贈太子少保箬溪顧公應祥行狀〉

7.          （明朝）王世貞的《弇州山人四部稿》有〈明故資政大夫南京刑部尚書贈太子少保箬溪顧公墓誌銘〉

8.          （清朝）阮元的《疇人傳》

其實，以上的資料所本的，不外乎是收錄在徐中行的《天目先生集》中的〈資善大夫南京刑部尚書贈太子少保箬溪顧公應祥行狀〉一文。

        現在，根據上述這些文獻，我們試圖還原顧應祥的生平事蹟。

顧應祥，字惟賢，號箬溪或箬溪道人，[4]湖州長興人。[5]他生於明憲宗成化十九年九月二十五日[6]（西元1483年），幼年時候就喜歡讀書，其父親恬靜翁就親自教學[7]。明孝宗弘治十八年（西元1505年）他登進士第，與嚴嵩、湛若水同年[8]。武宗正德元年（西元150６年）年，奉旨擔任輶軒使者，參與編纂《明孝宗實錄》於南畿。

   明武宗正德三年編修完成，他改授饒州府推官。適值姚源洞盜匪作亂，樂平縣令汪和被抓去作了俘虜，當眾人無計可施時，顧應祥帶
著一老卒、騎著一匹老馬，前往盜賊城堡招安，後汪和脫險，賊亦散去[9]，自此之後顧應祥聲名大起。武宗正德六年辛未，他以臺諫徵召
至京師，上因其年少，遂先補為錦衣衛經歷。正德七年壬申，王陽明先生是年四十一歲，在京師擔任考功清吏司郎中。按《同志考》，是年
穆孔暉、顧應祥、鄭一初、方獻科、王道、梁谷、萬潮、陳鼎、唐鵬、路迎、孫瑚、魏廷霖、蕭鳴鳳、林達、陳洸、黃綰、應良、朱節、
蔡宗兗、徐愛等人，一同受業於王陽明。[10]

    武宗正德十二年，吏部推薦顧應祥為大理卿，可是，他力辭不就，因改任廣東嶺東道僉事（正五品）。此時，王陽明擔任都察院左僉
都御史、巡撫南、贛、汀、漳等處。顧應祥在王陽明的指揮之下，先後討平汀、漳山寇、海寇、郴、桂的賊寇，半年問打了三次勝仗。正德
十四年寧王宸濠叛亂，顧應祥又奉派擔任江西按察副使，負責巡察南昌地區，但是尚未到任，叛亂己平定，他隨即撫循瘡痍，招集流亡，盡
全力做好善後事宜。[11]

   嘉靖五年，他昇任陜西苑馬寺卿，掌管六監二十四苑之馬政[12]。嘉靖六年四月，他升任山東布政使司左參政，[13]隨即又升任按
察使。嘉靖九年（西元1530年）四月又升為右布政使，[14]十一月，再升為都察院右副都御史巡撫雲南。[15]先生極意經略，疏凡二十
餘章[16]。嘉靖十二年（西元1533年）正月，聞母楊淑人喪，未待朝廷派出職務代理人，他即返家奔喪，等到知道按例需要等候代理人時，
馬上回到雲南，並且上章自劾，遭革職返鄉。[17]是年夏天四月，他在滇南巡撫行堂寫下了第一本數學著作，亦即《勾股算術》。

遭罷職後返回故鄉，家居者十五年。在這十五年間，他坦徉菰城、峴山之間與尚書蔣瑤、劉麟共組苕溪詩社，準備終老於此。

嘉靖二十七年（西元1548年）因為都察院的薦舉，他再以都察院右副都御史巡撫雲南擔任原職。[18]時方議征元江，他『以那鑑孤豚，困獸不可急』，不宜急著進兵。適巧他又派升南京兵部右侍郎（嘉靖28年七月）而離開雲南。繼任的人執意出師而兵敗，導致布政使徐波石死亡。

嘉靖庚戌（西元1550年），他榮陞刑部尚書。以法律條令繁雜，因此將其刪改解釋，命郎官吳維岳、陸穩定為永例，撰寫了《律解疑辨》。[19]在朝廷之中，他獎拔于鱗、元美等人，因此，名重天下。[20]這一年，他寫了《測圓海鏡分類釋術》。此時嚴嵩擔任首輔，朝中之人皆懼其權勢。他因與嚴嵩為同年登進士第，故以耆舊自處，而導致嚴嵩不悅，才剛上任三個多月，就被調任南京刑部尚書。最後，他在癸丑年致仕，又十二年卒，年八十三。

顧應祥獨好讀書，未嘗無故一日不讀書。因此，九流百家皆識其首尾，而尤精於算學，相關著作有《測圓海鏡分類釋術》，《弧矢算術》與《授時曆撮要》等書。[21]其他的著作，還有在他高齡七十九時所編寫的《長興縣志》、[22]在他去世前一年所著作的《惜陰錄十二卷》等。[23]其後代整理了他的詩詞書信，編為《崇雅堂集》十四卷。

三、顧應祥的數學思想

明朝數學的退卻，導致整個數學學習大環境的不利，顧應祥自承：

賤子數學原無師承，只是鑽研冊子，得之中間多有不蹈舊格者，反若簡便至於立法之故必須指授者，往往未得於心。[24]

他又說到：

自幼性好數學，然無師傅，每得諸家算書，輒中夜思索至於不寐，久之若神告之者，遂盡得其術。[25]

顧應祥為童子時，常以小紙九片寫一、二、三、四、五、六、七、八、九，擺列成圖縱橫皆成十五，及長始見洛書圖與之暗和，可見天地之數與人心相通[26]。

從以上的敘述可知，顧應祥雖然拜王陽明為師，曾致力性理學探討，但是，數學卻始終是他的興趣所在。或許因為他的無師自通，對於比較簡單便捷的『天元術』，他反而未得於心。究其原因，當然也可能是如他所說，「議士著書，往往已秘其機為奇」，「蓋止用成數而不言立算古筭法」[27]。誠然，從元朝末年到明朝數學知識的停滯與斷層，的確使得顧應祥對『天元術』的理解產生了問題。由他自己的見證：「前元以算取士，必有明於其術者，回授其旨使吾輩生于其時相與議論於一堂之上，怒亦未必多讓耳」，[28]可知到了明朝的中葉十六世紀時，中國數學家對前朝比較精深的數學知識之理解，已經有了很大的侷限了。這絕非是顧應祥個人的責任，因為同時期的《九章算法比類大全》（吳敬撰），《算法統宗》（程大位撰）等著作，也已經隻字不提『天元術』了。甚至到了十九世紀中國數學家華蘅芳（1833∼1902）初讀李冶《測圓海鏡》（『天元術』的集大成之作）時亦格格不入，最後豁然開悟，遂寫下十分深刻的心得：

初學天元之人，每不知天元為何物，則心中存一意見，以為所求之數尚未知，何以能立一天元，遽謂即是此數，且所求之數或大至十、百、千、萬，安能概以一當之，此由於不知天元之一不是實數，乃是所求之數之個數也。以天元為一個所求之數，則天元可以任何大、任何小也。 [29]

另一方面，顧應祥也指出：

故其為術也亦玄，非心細而靜者，不能造其極也，若造其極則天地之高深、日月之運行如指諸掌矣，儒者罕通此術，遂以九九小伎目之謬矣。[30]

可見，他對於把數學視為九九賤伎，非常的不以為然。此外，他更認為：

外夷之人不為文義牽繞，故其用心精密如此，我中國之儒錯用心於無益之虛文，而於數學知之者鮮，寧不可惜哉。[31]

諦觀《四元玉鑑》所載平圓，立圓用徽術、密術之法固為詳細，然以愚觀之猶有未盡。初賤子之好算也，士夫聞之必問之曰：能占驗乎？答曰：不能，又曰：知國家興廢乎，曰：不能，其人莞爾曰：然則何為不得己應之，曰：將以造曆，其人愕然曰：是固有用之學也，殊不知歷算亦不過數中一事耳。[32]

從這些敘述，我們也可以知道，顧應祥對數學的價值與意義之體會，是頗有自信的。

其次，我們考察陰陽思想對顧應祥的影響。他認為「天地之所以神變化而生萬物者，陰陽而已。一陰一陽交互錯綜而變化無窮焉。聖人困其交互錯綜之不齊而置爲數術以測之。於是乎天地之高深，日月之出入，鬼神之幽秘皆可得而知之矣」[33]，也就是說，他認為天地間萬事萬物的變化規律均是從陰陽對立、相互依存、消長變化而造成的，而數術更是駕馭錯綜複雜、變化無窮的陰陽之根本。顯然，他強調把陰陽思想引入數學，並賦予其神奇的威力。[34]

此外，他還提到「九數之術，其大要不過一開、闔而己，開者除也，闔者乘也。乘以併之、除以分之，或先乘而後除、或先除而後乘，雖千變萬化不同，其實皆乘除也」[35]，亦即：數學中的乘、除運算，也成了天地問陰陽二氣聚散分合的數量表達與體現。這種由陰陽觀念引伸出來的每物必有對立物的思想，體現在宇宙中是有天必有地；體現在數學運算中，則有乘必有除、有加必有減 (即有正必有負)，有多必有少，因而，在數量上的變化可以與陰陽消長規律互相吻合。

最後，以勾股算術為主軸。從顧應祥的著作來看，他以勾股算術為起點，更以勾股算術貫穿全部的數學思想：「九數之中惟勾股一術最為玄妙，用以測高深望遠近，尤儒者所當知者」。[36]在中國數學史上，他更是第一位把「勾股」獨立出來編寫成一本書的數學家。「弧矢者……而其法不出乎勾股開方之術，以矢求弦則以半徑為弦，半徑減矢為股，股弦各自乘相減餘為實，平方開之得勾，勾即半截弦也」。[37]我們可以看出來，他的《弧矢算術》也仍然是以「勾股」為出發點。還有，「又以其所立通勾邊股之屬，各以類分」，則是《測圓海鏡分類釋術》的精神所在，其中我們可以知道它仍然是與勾股有非常密切的關連。看起來，顧應祥把全部的注意力都擺在對勾股術的研究上了。這也可以說：他的數學思想是以「勾股算術」為主軸來論述的。

四、顧應祥的數學著作簡介

《勾股算術》共有上、下二卷，前面有嘉靖癸巳 (1533年) 顧應祥在滇南巡撫任上所寫的自序。其中，他說明了撰寫這本書的動機。原來，他接觸《周髀算經》和《四元玉鑒》之後，對於

所謂勾股弦和較、黃中之說開闔折變，悉得古人立法之旨，求之于心，無不吻合，蓋有不假于思索者，恐其久而忘也。政務之暇，手錄其詳節，各為問答一二章附之，名曰《勾股算術》，俾后之學算者因此求之，庶有以得其要領云。[38]

於是，在正卷之前他特別撰寫〈勾股論說〉一篇，其中給出了四十個有關勾股形三邊與三邊和與差（五和、五較）之間的各種關係及互求公式。有了這些公式，可以較方便地計算各種勾股問題。這本書是有關勾股形的第一部數學專著，而＜勾股論說＞ 則是其總綱。其中，除勾股本身的問題外，還有些應用問題，總共分為三十八類，每類包括若干問題共七十八問，其中包括「方五斜七」的方斜術五問。

《弧矢算術》卷一前，也有顧應祥自序一篇。在正卷前，則有〈弧矢論說〉和〈方圓論說〉二篇短文，分別討論弧矢和方圓的一般性問題。前者運用到了解四次方程方法；后者主要是研究『方五斜七』和圓周率，但對圓周率並沒有給出更好的近似結果，僅轉述 和 而已。其中更摻入一些『陰陽象數』的思想。全書的內容主要是討論弧、矢、弦、截弦和截積等之關係，主要是通過勾股定理，有些要歸結為解方程求出結果，其中有10個四次方程的解法是傳統的增乘開方法。就該書的主題而言是『弧矢計算』，可以說是這方面的一本專著，至於他，則可以說是這一方面的早期研究者。

《測圓海鏡分類釋術》十卷，前有古濠沐于嘉靖庚戌 (1550年) 序。正文之前有『測圓海鏡總率名號』，和〈勾股步率〉，分別為《測圓海鏡》之『總率名號』和『今問正數』。顧應祥對李冶《測圓海鏡》的全部問題，重新分類和進行注釋，[39]都用傳統的高次方程解法和算術方法求出結果，他的具體的解法，要比《測圓海鏡》詳細得多，還算是一部有些價值的資料。但是，他把原來書中的『天元術』內容全部刪去，並認為：

但其每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之術，使后學之士茫然無門之可入。輒不自揆，每章去其細草，立一算術，又以其所立通勾邊股之屬，各以類分。

可見，顧應祥仍然是建立在『勾股筭術』的基礎上。但也因為「但其每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之術」，而飽受後代算家與史家批評。

《測圓算術》四卷，前有顧應祥嘉靖癸丑 (1553年) 自序和同年龐嵩后序。全書是在《測圓海鏡》的基礎上，重新編錄的一部勾股容圓專著。在本書中，他同樣地刪去了『天元術』，而採用傳統的高次方程解法和算術求解。此書可以算是《測圓海鏡分類釋術》的簡易推廣版。是一部容圓問題的入門教材，只是無從得知讀者的反應如何了。

五、顧應祥與唐順之[40]

顧應祥與唐順之是中國明朝中葉的著名數學家。但他們兩人對『天元術』的茫昧不解，卻被認為是中國數學在十四世紀之後由盛而衰的一個見證。                          

唐順之抄錄了一份《測圓海鏡》給顧應祥，並且在給顧應祥的信中提到：「藝士著書，往往以秘其機為奇，所謂立天元一云爾，如積求之云爾，漫不省其為何語。」[41]至於顧應祥則謂：「細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元，既知其數，何用算為？似不必立可也。」[42]這兩則文件，都顯露了他們對天元術的茫然與不解。但是，『天元術』的再度被接受卻是到了清朝，西方代數學傳入中國以後才開始的，這是否意味著如果沒有西方代數學的傳入，天元術的被理解就沒這麼快了呢？

無論如何，二人維持著亦師亦友的論學關係。比如說吧，《測圓海鏡分類釋術》十卷是顧應祥根據唐順之的手抄本改寫而成的；《弧矢算術》也是由唐順之提供了他自己的（弧矢論），由顧應祥演之成書。[43]另一方面，唐順之也有「願從請益之語」，「問數學於顧箬溪，久之乃有獨得之處。」[44]儘管如此，他也對顧應祥的《測圓海鏡分類釋術》提出了一些中肯的建議：「然鄙見竊以為此書形下之數太詳，而形上之義或略，使觀之者尚不免有數可陳而義難知。及示人以鴛鴦枕而不度與人以金針之疑，僕意欲明公於緊要處提掇一二，作法源頭出來」。[45]顧應祥更請唐順之為《測圓海鏡分類釋術》做序，但因為唐順之晚年「因久病早衰，近年稍從事於槁形灰心，究意道家之說」，這篇序文終究未曾刊出。

六、結論

明朝數學的發展確實停滯，要遠比宋、元落後。但是，如果我們回到明朝歷史的脈絡中來看，顧應祥整理了勾股問題而做成了《勾股算術》，重新用自己的觀念整理了《測圓海鏡》的知識內容，而成為《測圓海鏡分類釋術》，他的背景是整個明朝士大夫率以空疏相尚，朱熹、王陽明的理、心之學爭鬥的學術環境。以一個做到尚書這樣大官的人而言，能夠對數學有這樣的認知與成就，或許可以說是歷史的異數吧！