高中數學教師推薦高中學生課外讀物

蘭陽女中 陳敏皓老師

“Access is the king, content is the king.”（容易取得是關鍵，內容決定一切。）這是《商業周刊》（BUSINESS WEEKLY）第808期所闡述的一個重要觀念，筆者想引用此段話來當文章的開頭。以下所介紹的書籍都是學生所容易取得的，更重要的是內容是非常適合高中學生的。

近年來數學科普書籍日益繁多，國內外許多大學數學系教授為了往下紮根，紛紛出了值得高中學生閱讀的數學書籍，雖然許多所創造出的內容表徵（representation）差異頗大，但是絕大部份都沒有脫離高中數學的學習範圍，因此高中老師就責無旁貸擔任推薦人的角色了，這些書都有一個共同特色就是強調思考歷程，利用數學的方法論來使問題更加嚴謹，期許高中學生能從中學習到更多的數學知識，並且也著重數學歷史背景與人文架構，¹讓讀者減輕不少閱讀壓力，也藉著數學人文思想方向來省思數學與人類之間的調和關係。筆者目前從事高中數學教育，在課堂上也常推薦許多優良課外書供學生自習之用，本篇文章乃筆者將高中學生所合適的數學科普書籍分年級論述，希望就推薦書籍的內容與歷史層面做簡要的分析與介紹，如果能因此激起高中學生閱讀一些原著的興趣，那筆者就倍感欣慰了。

壹、 高一部份

高一上有一部份是討論「無窮等比級數」的概念問題，通常學生是會利用公式 （S代表無窮等比級數，r代表公比，a代表首項）求解，但由於是第一次接觸到無窮的概念（國中未提），難免無法很快理解真正的意涵，我通常建議學生去閱讀《幹嘛學數學？》中第十八章〈級數的總和〉，作者逐步推論的方式慢慢引導學生去『做』（而非去『想』），讓學生由自己的計算過程中得到需要的「無窮」、或「無限小量」（infinitesimal）的概念，也花一點篇幅述說級數的用途與無窮概念的重要性。²

相信教過高一數學的老師們都一定對於學生學習「三角函數」的成果不敢茍同，我想很重要的因素在於目前國三已經刪除「三角函數」這個單元，學生必須在很短暫的時間內學習許多定義、性質，甚至證明，所以若有適當的課外輔助題材，那麼將強化學生學習動機，例如我常推薦學生閱讀《數學的發現趣談》，書中的〈從畢氏定理到餘弦定律〉、〈餘弦定律的追尋〉、〈畢氏定理的故事〉、〈談Heron公式〉等單元都是值得細細品味的文章，看蔡聰明教授親切且簡潔的切入主題，讓讀者在不知不覺中便獲得數學知識與常識，書中常用實驗、觀察、猜測、檢驗、證明等方式來述說一個定理或性質，將整個探索過程，匯流而成一個數學支流，進而貫通整個數學領域。同時，作者的人文素養佳也是本書的特色，他常舉一些名人的數學學習過程來勉勵學子，例如：愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）在他的《自傳註記》（Autobiographical  Notes）中寫道：

小時候，有一位叔叔告訴我畢氏定理。經過許多努力，我自己終於利用相似三角形的道理（作一條輔助線），證明了這個定理。在這個過程中，我發現一個直角三角形的邊與邊之比由一個銳角完全決定。³

然而此書也試著用數學家的魅力來澄清一些學習的觀念，例如一般學生最害怕“數學證明”，然而數學家羅素（B. Russell）卻認為：「在數學中最令我欣喜的是事情能夠被證明（What delighted me most about mathematics was that things could be proved.）」，這是一句多麼強而有力的話！

然而除了《數學的發現趣談》這一本好書外，針對高一下學生所學習的〈指數與對數函數〉（index and logarithm function）、〈三角函數〉單元，就不得不提起毛爾教授（Eli Maor）的《毛起來說e》（e：The Story of A Number）與《毛起來說三角》（Trigonometric Delights），先談第一本書《毛起來說e》，書中有詳細的介紹對數的歷史淵源，及創始者蘇格蘭數學家納皮爾（John Napier，1550－1617）的故事，同時說明為什麼納皮爾要創造對數，⁴及對數在數學中的重要性，正如數學史家卡約里（Florian Cajori）在《數學史》(A History of Mathematics) 中所言：

現代微積分的神奇力量源自三項發明：阿拉伯符號、小數、對數。

可見為學習對數下了最佳註解，所以，當學生閱讀《毛起來說e》前半部後，便可以幫助學生迅速進入學習狀況，書中同時介紹如何「利用對數做計算」（這通常是學生較弱的地方），此外還說明 的意義與「二項式定理」（binomial formula）的關係，⁵這個地方，大概就需要數學程度較好的學生才能理解。

至於《毛起來說三角》，也是由毛爾教授所寫的。該書是完全針對三角函數所寫的專書，如同《毛起來說e》一樣，它也得到許多數學家與科學史家的讚譽。⁶但是，它絕非是一本三角學的教科書，作者試著從歷史發展的脈絡下來介紹三角學相關的課題，以及與其他理工學科之間的關係。毛爾教授首先找尋到古埃及的三角測量問題，進而引入「角」、「弦」之間的互換方式，接著讓六個三角函數粉墨登場，待釐清正弦定理、托勒密定理、二倍角公式等後，才真正進入複數平面的世界中，並且詳實引述棣美弗如何利用複數極式來解代數問題（例如：解 ）。英國詩人波普（Alexander Pope）曾在他的作品《人的禮讚》中向棣美弗表示敬意：

是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確，

不靠量尺準繩就設計出圖樣？

值得一提的是在閱讀《毛起來說三角》的過程中，作者巧妙地穿插數學史典故，例如：第13頁所提的「古埃及的數學娛樂」、⁷第37頁的「普林頓322：最早的三角函數表？」、⁸第53頁介紹數學家「雷吉蒙塔努斯」⁹、第73頁的「維埃塔與四十五次方程式」¹⁰、第104頁的「打敗牛頓的棣美弗」等，¹¹這些數學史資料都是十分引人入勝的。

貳、高二部份

日前有一本針對「機率論」所寫的專書，就是由弘智文化所出版的《機率的樂趣》（The Pleasures of Probability），¹²此書很有系統地利用真實生活情況所提供的樣本空間，轉換成抽象概念的數學模式（mathematical model），隨後採用機率理論來解決生活周遭所遇到的難題。同時利用淺顯易懂的文字娓娓道來隨機變數、條件機率、貝氏定理、¹³獨立事件、期望值、馬可夫鍊等重要機率概念，¹⁴相信學生再熟稔此書之後對於「機率論」必有更深一層的認知，因此，使用《機率的樂趣》來當作學習機率的補充教材，是非常適當的。可惜，作者未能詳述巴斯卡（Blaise Pascal，1601-1665）與費瑪 (Pierre de Fermat，1601-1665) 之間因通信而建立「機率論」的過程，實屬憾事。¹⁵

    另一本介紹敘述統計的專書就是《統計，改變了世界》（The Lady Tasting Tea－How Ststistics Revolutionized Science in the Twentieth Century），光聽書名就曉得這一定是必讀的書，很難以想像統計學能運用在不同領域－物理化學、農業研究、藥物學、臨床醫學、流行病學、製造學、經濟學、品管學、民意調查等，包含之大，令人無法抗拒學習「它」的魅力！學生可以從書中知道標準差的意義、四分位差的重要性、及如何利用敘述統計來進行決策分析。現今人們面臨的敘述統計問題，可利用數學觀念區分成三個面向：隨機（randomness）、機率（probability）、統計（statistics），我們應該先釐訂問題類型而後加以解決之道，可見在高二下所學習到數學知識範疇是非常具有「實用性」。因此，未來科學家將逐漸開始以新的典範（paradigm）來運作，而這些典範就是現實世界的統計模型，在邁入新的世紀之初，幾乎所有的科學都已經轉而運用統計模型了，所有人都無法將統計學這門學問置身事外。

參、高三部份

高三自然組中的數學「微積分」，通常是讓學生又愛又討厭的，愛的是它是如此神奇，居然可以藉著簡單的微分動作（即藉由求導函數以求得切線斜率，或藉此求得函數的極值（極大、極小值），同時，也可以很快算出物體運動時的瞬時速度；討厭的是那些惱人的數學專有名詞與符號體系（symbolism），真是令人吃不消，例如：專有名詞中的可數與不可數（countable and uncountable）、連續性與不連續性、存在性與否（existence or not）、收斂與發散等；符號體系如lim（極限）、∞（無窮大）、∫（積分）、ε（任意小）、 （存在）、 （對於所有）、 （微分）等，都會讓學生望而卻步。但是，如果學生能先閱讀《微積分之旅》（A Tour of the Calculus），由作者伯林斯基（David Berlinski）帶領下，緩緩了解微積分組成的基本要素，親近微積分形成的歷史脈絡，從芝諾（Zeno, 490？-430？BC）、笛卡兒（Rene Decartes, 1596-1650）、萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-176）、牛頓（Isaac Newton,1643-1727）、白努力（Jakob Bernoulli,1654-1705）、歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）、黎曼（Bernhard Riemann,1826-1851）等數學家的貢獻下，始有號稱是「人類奇蹟」的微積分的問世。¹⁶

高三數學乙下冊中第二章、〈幾何圖形〉，主旨是討論平面或空間的幾何圖形，先從基本圖形出發，進而探討連續圖案，尤其是以正多邊形鋪成平面的「勻稱連續圖案」，學生可以參考《阿草的數學聖杯》的〈學篇〉、〈學篇〉，尤其是〈學篇〉中的對稱（鏡射）、平移、三種運動、旋轉、平移對稱、旋轉對稱、鏡射再鏡射、平面鋪磚等單元都是非常高三社會組學生閱讀的題材，而這些「尋求數與形的規律」，可以透過通性、風格、式樣、花樣、形態、圖像、結構、特色、模式等，或多或少許多規律可尋，而這些廣泛的規則，可將稱之為「胚騰」（pattern的音譯與意譯）。¹⁷曹亮吉教授希望藉此書讓學生認識數學、了解數學，進而親近數學、喜歡數學，誠如序言所提：「希望這本書能帶給讀者尋找數學聖杯的喜悅與衝動。」¹⁸

    此外，學生常常問老師一個問題：「老師，為什麼要學這麼多的問題？」通常我會引用《幹嘛學數學？》封面的一段話：「每三個高所得的工作中，有兩個需要比算術更高深的數學。」如果您覺得這句話的銅臭味太重，不妨引用約翰．納許的一段話：¹⁹「有人問他，不斷從事學術研究的動力究竟是什麼？納許說：『他的動力來自對事物的無知，這和一般人以工作成就或是金錢收入為動力是不』同的。」」如果你是對數學史、科學史有興趣的同學，你絕不能錯過洪萬生教授的《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》，其中幾篇文章都將引導你進入數學史的天地中，²⁰一個值得遨遊的新天地！而近年來有關於數學史的專書，就不得不提及《費馬最後定理》（Fermat's Last Theorem），雖然「費馬最後定理」已經於1995年由劍橋大學教授安德魯．懷爾斯（Andrew Wiles）證明完成，但是，不論是費馬那本著名的頁邊筆記，²¹或是加羅瓦（Évariste Galois, 1811-1832）的美麗與哀愁的故事，²²或是懷爾斯教授圓一個小時候夢想的點滴，都是學生可以利用課餘時間欣賞的題材。²³

至於學生學習數學過程中，有一個數值是最吸引人、最令人忘我就是圓周除以直徑的比率，也就是圓周率π，如果你看過《神奇的π》（The joy of π），你就不得不佩服作者大衛．布拉特納（David Blatner）的深厚數學素養（mathematical literacy）與鉅細靡遺的數學史資料。作者以有趣的方式來陳述數學家對於圓周率π的狂熱，沒有看過此書的人，很難想像有人竟然會花一輩子的精神，去求圓周率π的小數精確位數值；看過此書的人，將對圓周率π另眼相看，它的魅力絕不容小覷。最後再談及《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事》（Euclid's Window：The Story of Geometry from Parallel Line to Hyperspace），你可以視它為小說來閱讀，讀起來既無進度壓力，也無考試的重擔，你可以沏一壺茶或品嚐一杯香濃咖啡，同時神遊在幾何學的世界中，這種享受是言語無法形容的！

    總之，“Access is the king, content is the king.”高中數學老師在學生學習數學歷程中扮演一個「承先啟後」的角色。現在，我們所擁有的資源遠遠勝過十年前數倍，科普書的內容呈現方面也更體貼讀者。然而，若老師們忽略「介紹課外讀物」的重要性，那麼，學生的眼界勢必如井底之蛙、目光如豆，同時，容易因為數學成績的起伏而影響學習動機。另外，我們都太強調學校的「數學教育」，而沒有家庭的「數學教育」，筆者建議你敢快去看《數學小魔女》，²⁴作者曾說：「我的數學教育是從爸爸給的謎題開始的，在不知不覺之中，讓我有自信可以解決問題。」相信看完之後，你一定會對家庭的「數學教育」有另一番見解與認知。

附註

1. 例如直角三角形的斜邊稱為hypotenuse，原來在希臘文中是「用力拉緊」的意思，可參考《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事》第19頁。

2. 無窮概念的重要性在求曲線的斜率、及曲線下的面積就凸顯其重要性，詳情可參考《幹嘛學數學？》（Strength in Number）第28章、〈曲線有多斜？〉及第30章、〈求得曲線下的面積〉。

3. 參考蔡聰明，《數學的發現趣談》，台北，三民書局，2000年，第55頁。

4. 納皮爾於《對數的奇妙準則》（1614）中說：「要實際應用數學，我看最大的障礙就是在處理很大的數字的相乘、相除，或者求取二次或三次方根……因此我開始思考，有沒有什麼方法可以去除這些障礙。」，

5. e的近似值約等於2.71828，它在數學運算、金融數學、大自然數學中都扮演重要的角色。

6. 例如《大自然的數學遊戲》作者史都華（Ian Stewart）曾評論該書：「對於那些一直想知道三角學的起源、想知道三角有何用途的讀者，這本書可以帶給你許多啟發……」

7. 介紹古埃及人的絕妙數學乘法運算，及一些等比數學問題。

8. 巴比倫人利用泥版記載一些文明活動，現存的500,000塊泥版中約有300塊左右與數學有關，其中紐約哥倫比亞大學普林頓（Plimpton）編號322，因為泥版中有許多「畢氏三數組」而聞名。

9. 雷吉蒙塔努斯（Johannes Regiomontanus,1436-1476）將希臘數學發楊光大，尤其重要的是將托勒密所著的希臘文《大匯編》譯成拉丁文，並於1464年完成著名的《論各種三角形》，該書仿歐幾里得（Euclid, 330？-260？BC）的《幾何原本》體例，把托勒密、印度、阿拉伯的三角學做有系統整理。

10. 維埃塔（F. Viéta,1540-1603）一生中只利用閒暇時間研究數學，他把數學當成訓練智力的工具，他著有《解析技巧導論》，為代數符號的始祖；三角學方面，在1571年著有《三角形解法之數學準則》是西方第一人有系統運用三角函數解決平面與球面問題。甚至利用正弦函數（sinα）與代數關係解出四十五次方程式而聲名大譟。

11. 棣美弗（Albraham De Moivre,1667-1754）在機率論、代數與三角學非常有成就，就連在牛頓晚年，有人請教他重力問題時，他曾說：「去問棣美弗先生吧！他比我還懂這些東西。」

12. 機率，有人譯為或然率，在哲學上有人譯為蓋然率，不管如何譯法通俗為佳。

13. Thomas Bayes（1702-1761）是一位英國神學家兼數學家，利用機率的定義與想法，導出貝氏定理，即 （A,B為機率空間中的任何事件）。

14. 馬可夫鍊是利用事件於單位時間（離散情形）的狀態，運用於長時間的「時間鍊」，故名馬可夫鍊。

15. 針對機率論建立的過程，可參考拙作〈回溯機率小史〉，《人本教育札記》（2003年2月），第23-25頁。

16. 參考伯林斯基（David Berlinski）著、陳雅茜譯，《微積分之旅》，台北，天下文化出版社，2000年，第6頁。

17. 參考曹亮吉，《阿草的數學聖杯》，台北，天下文化出版社，2003年，第12頁。

18. 參考曾政清，〈文化、生活與數學學習－分享《阿草的數學聖杯》〉，《數學新天地》第四期，2003年6月。

19. 約翰．納許（John Nash）生於美國西維吉尼亞州，22歲獲得普林斯頓大學博士，30歲被《財星》（Fortune）雜誌列為新數學明星，31歲罹患精神分裂症，66歲獲諾貝爾經濟獎，創立的賽局理論（Game theory）為世人所重視。

20. 《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》中的〈誰發明了代數學？〉、〈從開四次方根談起〉、〈古代中國的幾何學〉等，都是值得細細品味的文章。

21. 費馬在珍藏的古拉丁譯本《數論》（Arithmetica）書中寫道：「除了平方之外，一個n次方數不能表示成兩個n次方數的和（ ），我已經找到了一個非常美妙的證明，然而這裡的篇幅不足以讓我寫下這個證明。」

22. 加羅瓦（Évariste Galois, 1811-1832）在中學時代就展露過人的數學才華，發展出完整的加羅瓦理論（Galois Theory）。他在1832年5月30日與人決鬥身亡，一生的故事宛如一齣美麗與哀愁戲劇。

23. 安德魯．懷爾斯（Andrew Wiles）從小就立志要證明「費馬最後定理」，在歷經7年的孤獨奮鬥之後，與兩位摯友的全力協助，終於完成一幅美麗的拼圖，順利證明出定理。

24. 《數學小魔女》一書的作者是1999年愛爾蘭、歐洲青少年科學家首獎得主Sarah Flannery，書的內容非常適合親子閱讀，或對高中女生更有說服力。其中有關「密碼學理論」更是國內高中數學教育所缺乏的。

參考書籍

        1. 蔡聰明(2000)，《數學的發現趣談》，台北：三民書局。

        2. 曹亮吉(2003)，《阿草的數學聖杯》，台北：天下遠見出版社。

        3. 毛爾教授（Eli Maor）(2000)，《毛起來說三角（Trigonometric Delights）》，胡守仁譯，台北：天下遠見出版社。

        4. 毛爾教授（Eli Maor）(2000)，《毛起來說e（e：The Story of A Number）》，胡守仁譯，台北：天下遠見出版社。

        5. 伯林斯基（David Berlinski）(2000)，《微積分之旅（A Tour of the Calculus）》，陳雅茜譯，台北：天下遠見出版社。

        6. Sarah Flannery、David Flannery(2001)，《數學小魔女》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。

        7. 曹亮吉        (1996)，《阿草的葫蘆－文化活動中的數學》，台北：遠哲基金會。

        8. 大衛．布拉特納（David Blatner）(1999)著，《神奇的π（The joy of π）》，潘恩典譯，台北：商業周刊出版股份有限公司。

        9. 斯坦（Sherman K.Stein）(1999)，《幹嘛學數學？（Strength in Number）》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。

        10. 阿米爾．艾克塞爾（Amir D.Aczel）(1998)，《費馬最後定理（Fermat's Last Theorem）》，林瑞雲譯，台北：時報文化出版社。

        11. 李奧納多．曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）(2002)，《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事（Euclid's Window：The Story of  Geometry from Parallel Line to Hyperspace）》，陸劍豪譯，台北：究竟出版社。

        12. 洪萬生(1999)，《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》，台北：九章出版社。

        13. Richard Issac(2002)，《機率的樂趣（The Pleasures of Probability）》，陳尚婷、陳尚瑜譯，台北：弘智文化事業有限公司。

        14. 亞伯特．賈夸（Albert Jacquard）(2002)，《睡蓮方程式－學習科學的樂趣（L’Equation du nénuphar－Les plaisirs de la science）》，陳太乙 譯，台北：究竟出版社。

        15. 薩爾斯伯格（David Salsburg）(2001)，《統計，改變了世界（The Lady Tasting Tea－How Ststistics Revolutionized Science in the Twentieth Century）》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。