數學符號的演進—以「   」為例

                                                     台師大數學系碩士班研究生 歐士福

一．前言

在數學學習與數學知識發展的過程中，符號的使用佔據相當重要的地位。或許我們也可以說，數學的發展，事實上也伴隨著符號系統的發展。當然，建立一個完整的符號系統，或多或少需要一點時間的累積。從古埃及的紙草到現代的數學書籍中，我們可以看到符號系統的建立，隨著數學的發展更趨於完備，也更趨於國際化。以下我們以「根號」為例，看看數學知識與符號系統，是如何地「攜手邁向未來」？

二．早期的符號形式

        平方根的符號在數學發展的過程中，很早就已經出現了。在古埃及的紙草文件之中¹，「    」即用以代表平方根。而在西元第七世紀時，印度的婆羅門笈多(Brahmagupta，生於598年) 利用文字縮寫的方式，將印度文字中，用以表示平方根的「caraní」一字，以「c」來表示。例如，ru 3 c 450 c 75用現在的符號來表示²，即為 。至於15世紀的阿拉伯，阿爾卡拉沙第 (Al-Qalasadi)將阿拉伯文“jidr”(即平方根) 中的第一個字母“    ”，用以表示平方根的符號。而他的用法是，將此符號放在所要求平方根的數字之上，有時會在符號和文字之間用一條水平線分隔之。(如圖一)

(圖一)

三．四種主流的形式

        大約在西元1100年代，由於貿易、旅遊與十字軍東征的影響，歐洲人與阿拉伯人有著非常頻繁的接觸，也因此，許多希臘和阿拉伯的數學書籍，開始漸漸傳入歐洲世界，並大量地將其翻譯為拉丁文。而就在此時，較完整的符號系統也開始建立，其中用以表示根號的符號，主要分為四類，分別是： (radix)， (latus)， 與分數指數。

        “ ”的首次出現，是在阿拉伯文版的《幾何原本》被翻譯成拉丁文時，而拉丁文中的radix即是「平方根」的意思。事實上， 這個符號的使用非常廣泛，它可以泛指為一般的「根」，有時候也被當成一次的未知數「x」。例如，在斐波那契 (Fibonacci, Leonardo of Pisa) 於1220年寫的一本數學書《Practica geomatriae》中， 同時用以表示平方根與一次的未知數。

法國數學家Nicolas Chuquet (1484) 也曾在他的著作《Le Triparty》中，使用 來表示根。例如，在他的手稿中，曾寫到：“ 16. as 4”，“ .16. si est . 2.”。而在德國數學家Johann Widman (1489) 的手稿中，我們發現到他同時使用  及ra來表示平方根。到了十六世紀時，義大利數學家佩西歐里 (Luca Pacioli, 1523) 對於  的用法又做了些改變。如圖二，我們可以看到，他以「 . cuba.」表示開三次方根、「 .」表示開四次方根，而「 v.」則用以表示雙重根號。

另一方面，德國的Johannes Scheubel (1551) 則與眾不同，他一方面採用了Widman的符號「ra」，一方面也使用了一個近似於現今根號的「 」。在他的書籍中，三次方根用「ra. cu.」或「 」表示，四次方根則用「ra. ra.」或「 」表示。

        十七世紀以後，數學家們漸漸地不再使用  來表示根號，取而代之的是「 」。然而，仍然有少數的數學家，例如Michael Rolle，還是使用了R來代表根號，例如，在他的手稿中， 即為 。而據推測，R最後一次用以代表平方根的符號，可能是在西班牙數學家Perez de Moya於1562年出版的數學書籍中，這本書一直到1784年為止，共刊印了十四版，意即，直到1784年，我們仍然可以在這本書中看到，R被用來表示平方根符號。

        拉丁文「latus」³，具有代表「根」的意義，是在西元二世紀時。一直到了十二世紀，有些數學家也開始使用這個字來表示根。然而「 」這個符號被用以代表根，是在Peter Ramus (1569) 的書中，他曾寫道：「 27 ad  12 gives 75」，意即， 。到了1592年，Lazarus Schoner編輯了Ramus的算數與代數的書籍，在書中Schoner使用“ c 4”來表示 ，而“ bq 5”則表示 ，取代了Ramus原本用的“ 5”。值得注意的是，在Schoner的用法中，5 的意義與 5是不一樣的，他們分別代表的是 和 。另外，著名的法國代數學家韋達 (Francois Vieta, 1540-1603)，他也屏棄了R與 ，而採用 這個符號來表示根號。事實上， 這個符號被用在根的運算，並不普遍。而且在對數發明之後， 大部份被用以代表對數符號。即使如此，Henry Briggs (1624) 這位將後半生致力於對數算術的數學家，仍然採用 來表示根號，例如，在他的書中，“Sic 8”即為 。

        「 」這個符號，源自於德國數學家Christoff Rudolff (1525) 的《Die Coss》書中，尤拉 (1707-1783) 曾經猜測，這個符號是由radix中的第一個字母“r”演變而來。然而，經過更仔細地研讀德國數學家的手稿後，現今的說法則大多認為， 是由 「點」(dot) 演變而來。因為在一些德國的數學書籍手稿中，曾經出現以“.”來表示平方根的符號，之後出現一種被視為點的變形符號「 」，也是用來表示平方根。然而，這些證據似乎不夠強大，對於這樣的說法，依舊令人存疑。

經過了一個世紀之後，Albert Girard (1595-1632) 於1629年時，曾經在他的書籍《Invention nouvelle》中，將指數放在根號的左上方，用以表示開三次方根，他的寫法如下：「 」。然而，對於開四次方根，他仍然使用「 」的符號來表示。到了1637年，法國數學家笛卡兒 (1596-1650) 在他的《幾何學》(Géométrie)書中，才首次將「 」與「―」 (線括號) 結合，而成了現今我們所熟悉的符號「 」。可是一直到1690年，Michael Rolle才首度採用了Girard的寫法，將指數寫在根號的左上方，其寫法如下：「 」。至此以後，「 」這樣的符號，漸漸成為主流，一直延用至今。

至於我們現今採用的分數指數表示法，是1676年時，牛頓 (1642-1727)在寫給皇家學會 (Royal Society) 秘書Henry Oldenburg的一封信中所提到。在信中，他向Oldenburg介紹了他發現的二項式定理，也首度採用負整數指數和分數指數的表示法。而牛頓的這項創舉，也為後世在書寫有關開方問題的數學式時，提供了相當大的便利性。

綜上所述，我們可以看出，要建立一套完整且穩定的數學符號系統，似乎不是那麼容易，有時還得靠點運氣！例如「 」在對數發明後，即被取代；而以「.」來表示根號，也並非明智之舉，尤其是遇到小數時，容易造成混淆。當然，除了根號以外，仍有許多數學符號的「演化」，充滿了歷史張力，值得我們「追本溯源」。然而，筆者才疏學淺，僅能以根號為例，來探討數學符號在數學發展過程中是如何的演進？如有未詳盡之處，還請多批評指教！

註解：

1. 古埃及的主要數學紙草文件有二，分別是莫斯科紙草與阿孟斯(Ahmes)紙草，其中根號的符號出現在阿孟斯紙草文件之中。

2. ru為印度文“rupa”的縮寫，用以表示數的絕對值(absolute number)。

3. 拉丁文中，“latus”即為“正方形的一邊(side of a square)”。

參考資料

Florian Cajori (1928). A History of Mathematical Notations. Chicago. Illinois: The Open Court Publishing Company.

Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York：Oxford University Press.