《數理精蘊》（二）內容摘要

《數理精蘊》之〈線部比例〉文本研讀內容摘要

陳彥宏
台灣師範大學數學系研究生

一、研讀文本

《御製數理精蘊》下編共四十卷，分首部、線部、面部、體部與末部五部分。本次研讀以卷三至卷七線部比例為主：卷三線部一內容有正比例、轉比例、合率比例、正比例帶分、轉比例帶分；卷四線部二為按分遞折比例，又分為二八差分、三七差分、四六差分、遞折差分與加倍減半差分；卷五線部三為按數加減比例，又分為遞加遞減差分、超位加減差分、互和折半差分、首尾互準差分；卷六線部四內容是和數、較數比例；卷七線部五為和較比例，各卷分別揀選數題如下：

1. 卷三

正比例第一、第八題

轉比例第一題

合率比例第一、六、七、十一題

正比例帶分第三、第五題

轉比例帶分第二題

2. 卷四

二八差分第五題

遞折差分第三題

加倍減半差分第三題

3. 卷五

遞加遞減差分第二、七、十題

超位加減差分第五、第九題

互和折半差分第一題

首尾互準差分第一、三、九題

4. 卷六

和數比例第一、第十題

較數比例第一、第十題

5. 卷七

和較比例第一題

二、研讀內容摘要

《數理精蘊》下編卷三首先提出對比例的看法：

然乘除之間，四率之理，已默寓其中。如因乘命法曰人幾何，每人得物幾何，求總物幾何，則是每一人得物幾何，與幾何人共得物幾何，相比而成四率，乃自小而得大者也。如歸除命法曰物有幾何，命幾何人分之，每人得物幾何，則是共人幾何共物幾何，與每一人得物幾何，相比而成四率，乃自大而得小者也，蓋因命數以一人為法，故乘與除各省其率耳，是雖名為乘除，而實為相比之四率也。

顯然，編者認為乘除二法基本上即是「比例四率」而已，另外，對於比例的功用

亦讚譽有加：

至於比例正法，則所該甚廣，大而推步七政天行，測量高深廣遠，小則量功命事，度大移小，無一非由比例而得。

同樣地，在焦循《加減乘除釋》卷七與羅士琳《比例匯通四卷》自序中，我們也

可以看到兩人對於比例的重視。首先，焦循在《加減乘除釋》卷七提到：

算之為術也，有乘除而後有子母，有子母，而後乘除之用系，亦巧之所由生也。…

以母子閒列為四，將由此知彼，則必比例之，於是有三率連比例、四率斷比例之術，惟舉此可以例彼，…算之至精極巧，不外此而已矣。…若當艱深隱伏之際，有不可以常法馭者，於無定之中，立為有定之率，以相比例，小之如孫子之蕩杯，用十二十三相例，大之如海島之重差，用餘句餘股相例，已至於弧三角之以角度例經緯度，…為法甚易，而為用甚神。

再者，羅士琳在其所著《比例匯通四卷》的自序當中也寫道：

數之所恃者，加減乘除耳，奇偶對待則加減之而巨細立成，奇偶縱橫則乘除之而綱目不紊，推其原不過以小比大、以寡比多、以虛比實、以假比真、以彼比此、以舊比新而已。此西人比例法之所以為最上乘也。苟能明乎比例之率，無論一十百千萬以至於無量數紛紜錯亂，皆可不旋踵而徹底澄清，又何尚乎九章哉？…庶學士大夫以及賈人胥吏，當權衡度量時，可恍然數之一道無非比例以生，蓋亦聖人所謂一以貫之云爾。

卷三的內容包含正比例、轉比例、合率比例、正比例帶分與轉比例帶分。各種比例皆舉例題介紹，其體例基本上以「設如…問…」的形式帶出問題，而以「法以…」提出解法，並適時於正文之下附加小字說明。整卷共計有正比例12題、轉比例10題、合率比例11題、正比例帶分6題、轉比例帶分4題，例題安排順序大致也由簡入繁。

【探討】

1. 《數理精蘊》下編卷二已完整地介紹分數之概念，故本卷所出現形如「幾分之幾」的字樣便是“真正的”分數，與上編提到的「幾分之幾」概念並不相同。

2. 轉比例帶分最末題原已求解得「一年又二十一分年之十九分半」，卻又將分數部分的「二十一分年之十九分半」化約成為「七分年之六分半」，應是為了與題目中的「一年又七分年之二」配合，便於進行比較之故。

卷四內容是按分遞折比例，又分為二八、三七、四六、遞折與加倍減半差分，其實就是今天所謂的「等比」問題，不過「公比」不同而已，卷首除介紹各種比例外，並教人如何針對不同差分設置「衰數」，例如：

二八差分者，…。有三色者，則以二與八與三十二為衰數，…。有四色者，則以二與八與三十二與一百二十八為衰數，…。至於五色以上者，皆以相連比例求各衰數。

整卷計有二八、三七、四六、加倍減半差分各7題，遞折差分6題，體例上與卷三大致相同，不同的是，除了加倍減半差分外，幾乎所有例題在「法」之後又會再提出「捷法」，而遞折差分的第3題與加倍減半差分第3、4兩題，則另提出「又法」以有別於「法」。

【探討】

1. 整卷雖探討「等比」問題，但有時無法從題意中得知「衰數」是依次遞減抑或依次遞增，例如比較二八差分第5題與三七差分第5題：

設如有田二千六百三十五畝，以麥穀豆麻四色遞次二八分種，問各田應得幾何？法以二分為麻衰、八分為豆衰、三十二分為穀衰、一百二十八分為麥衰，…

吾人可以看出「衰數」是由麥遞減至麻，不過，下面一題卻恰好相反：

設如有熟絲四百九十七兩七錢，按絹綾緞遞次三七分織，問各該絲幾何？法以九分為絹衰、二十一分為綾衰、四十九分為緞衰，…

其「衰數」是從絹遞增到緞，故必須透過「法」才能知道「公比」究竟為何。

2. 遞折差分例題4最後提到：

如捷法先除後乘須用通分，不然則斤數有奇零矣。

若依「捷法」，先將各「衰數」相加得「總數」二千九百五十二，除「總絲」三百六十九斤，得「每一分」八分之一斤，然後再乘以各「衰數」即得。按理來說，「每一分」斤是「有限小數」，並非除不盡的「奇零」。

卷五的內容為按數加減比例，即今日所謂的「等差」問題，分為遞加遞減差分16題、超位加減差分9題、互和折半差分4題及首尾互準差分12題，除了首尾互準差分第2題在「法」之後又提出「捷法」外，體例基本上與卷三相同。本卷在例題的「法」中已明確地提出各種「等差」問題的公式，包括了等差數列第項、等差中項的求法與等差級數求和公式。

【探討】

1. 各種差分定義與比較

遞加遞減差分	遞加者，其數自少而多，以漸而加也。遞減者，其數自多而少，以漸而減也。加減之數，遞次皆同。
超位加減差分	加減之中遞次分數不同。
互和折半差分	亦如遞次加減之理，但用法微異。遞次加減，知總物數，知總人數，併知遞加遞減之數，以求各數。互和折半，則亦知總物數、總人數，但知首一人比末一人之較數，而求遞加遞減之數以得各數。
首尾互準差分首尾互準差分	互和折半之變體。蓋互和折半，知總物數，知總人數，又知首一人比末一人之較數，因此較數而得各人分數。首尾互準，則不知總物數，但知總人數與首尾二人各分數，或但知首尾幾位共分數，由此互相準折而得各項分數與總數。

2. 首尾互準差分最末題：

設如有糧一千零九十二石，令七次遞減運送。定前二次與後五次運送之數相等，問每次運送幾何？

法以十八分為第一次比第七次所多之衰數，自第一次至第七次相隔六位，應以六分為衰數，是為每次遞加一分。今將六分用三因之為十八分，是為每一次遞加三分，故各衰五、四、三、二、一俱用三因，其比例仍同也。十五分為第二次比第七次所多之衰數。…

由其後解法來看，若一開始僅以六分為第一次比第七次所多之衰數，則過程中會出現分數，因此將「六分」用三因之得「十八分」，應該是為了避免出現分數、方便計算。然而，在卷五之前便已有出現分數的例子，為何在這裡要如此處理則仍待進一步研究。

卷六內容討論和數、較數比例，同樣舉例題說明，計有和數比例23題、較數比例18題，除和數比例前三題另提出「捷法」、較數比例前二題提出「另法」外，體例亦與卷三相同。值得一提的是，許多例題於求得解答後，會再進一步做驗算。

卷七的內容則是和較比例，共舉22例，幾乎所有例題在「法」之後都會再提出「又法」，並且解題過程與篇幅明顯較前四卷多出許多，不妨舉其中一題為例：

設如有錢四千九百九十五文，買栗棗共五千枚，只云栗九枚錢一十一文，棗七枚錢四文，問二色與價各得若干？

在我們看來，此題即是解「二元一次聯立方程式」（當然也能列一元一次方程式），

如假設共栗枚、棗枚，則

解得，，即栗3285枚、棗1715枚，因此栗共價4015文、棗

共價980文。比較卷七之內容

法先用互乘以齊其分。以栗九與棗七相乘得六十三，為乘出之總物分。即以六十三乘總錢四千九百九十五文，得三十一萬四千六百八十五文，為乘出之總錢數。又以棗七乘栗價十一文，得七十七文，為乘出之栗價，以栗九乘棗價四文，得三十六文，為乘出之棗價。

就是將第(2)式乘以63得到

然後以栗棗共五千枚，用栗價七十七文乘之，得三十八萬五千文，與乘出之總錢三十一萬四千六百八十五文相較，則總錢少七萬零三百一十五文。又以栗棗共五千枚用棗價三十六文乘之，得一十八萬文，與乘出之總錢三十一萬四千六百八十五文相較，則總錢多一十三萬四千六百八十五文。

上述即將第(1)式分別乘以77與36得

乃以栗價七十七文與棗價三十六文相減，餘四十一文為一率，一枚為二率，多一十三萬四千六百八十五文為三率，得四率三千二百八十五枚即栗數，於共五千枚內減之，餘一千七百一十五枚即棗數。如以少七萬零三百一十五文為三率，得四率一千七百一十五枚亦即棗數也。

雖然用的是「四率」，其實就是分別把(4)、(5)與第(3)式相消，得到

便可以求出與了。另外，文本提供了「又法」：

又法以棗七枚、栗九枚，共五千枚列於上，棗價四文、栗價十一文，共價四千九百九十五文列於下。乃以下棗價四文遍乘上棗七枚、栗九枚共五千枚，得棗二十八枚、栗三十六枚共二萬枚；又以上棗七枚遍乘下棗價四文、栗價十一文共價四千九百九十五文，得棗價二十八文、栗價七十七文共價三萬四千九百六十五文。兩下相較，則早數與棗價同為二十八彼此減盡，棗價（按：此處應為「栗價」之誤）比栗數多四十一，共價比共數多一萬四千九百六十五。爰以多四十一為一率、栗九枚為二率，多一萬四千九百六十五為三率，得四率三千二百八十五枚即栗數。

按此法，於是得到如文本中所列之圖形：