《勾股舉隅》、《幾何通解》文本研讀內容摘要

台北縣福和國中 黃清揚老師

一、作者簡介

梅文鼎（1633-1721），字定九，號勿庵，安徽宣城人。他生於明崇禎六年。他自幼受家庭教育，九歳（1641）熟五經，通史事，早年拜塾師羅王賓，15歳（1647）補博士弟子員。約在29歳時，梅文鼎跟隨倪觀湖（1616-？）學習明代頒用的《大統曆法》，收獲甚大，不久即完成《曆學駢枝》，這是他的第一部著作。縱觀梅文鼎的一生，除經人推薦曾參加編寫《明史•曆志》的工作之外，他終身鑽研數學和曆法，不曾有過任何官職。此外，他也得到不少朋友的幫忙和支持，晚年更得到康熙皇帝的讚譽，使得他的學術地位更加穩固。

 梅文鼎生平著述有百種之多，幾乎涉及到當時已傳入的西方數學的各個方面，並且也作到了初步的消化和闡發，其所著各書大多根據《幾何原本》（前六卷）、《同文算指》以及《崇禎曆書》。他去世之後，魏荔彤的兼濟堂刊刻了《梅勿庵曆算全書》，這是魏氏聘請梅文鼎的朋友、著名數學家楊作枚編輯整理的。梅文鼎之孫梅瑴成晚年認為這套書「仇校不精，編次紊亂」，於是做了增減合併，更名為《梅氏叢書輯要》（1761）。以下介紹收錄在《梅氏叢書輯要》中第十七卷的《勾股舉隅》及第十八卷的《幾何通解》，兩者著作的年代約在18世紀後期。

 二、《勾股舉隅》內容摘要

 勾股舉隅為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，全書一卷，其中的主要成就，是對勾股定理的證明和對勾股算術算法的推廣。書中首列「和較名義」，其次以兩幅「弦實兼勾實股實圖」來說明勾股定理（如下圖），其論說的根據是出入相補原理，

在問題的陳述上，本書以問題、法、論曰為主，法為算法，論曰為證明，若有另外的算法，則再加上「又法」及「論曰」，部分題目則給出了「又簡法」，即速算法。書中的每個問題皆附上圖形，圖形的目地主要是用來說明出入相補法。在內容上，本書大致上可分作兩部分，一為勾股算術，另一主要為勾股測量。前者共列14 題，後者則為6問。前者內容如下：

其中「勾股積與弦較較求諸數」（5）、「勾股積與弦較和求諸數」（6）、「勾股積與弦和較求諸數」（7）、「勾股積與弦和和求諸數」（8）、「勾股較、弦和和求諸數」（11）、「勾股較、弦和較求諸數」等六個問題在歷史上是首度出現。此外，梅文鼎對這些題目中所給的算式中，最重要的是

，

梅文鼎對其評價很高，他認為此式「乃立之根也。而其理皆具古圖中，學者所宜深玩。」這裡的「古圖」指的即是趙爽注《周髀算經中》之「勾股圓方圖」，對此式的證明也是利用此圖來完成的。

 值得注意的是，「弦與勾股和求勾股用量法」一題中所用的尺規作圖之方法，與徐光啟《勾股義》中「勾股求容圓」來作比較，可以發現梅文鼎在尺規作圖的概念已相當正確，顯示梅文鼎對《幾何原本》有一定深度的了解。另外，從梅文鼎在測量問題上所使用的出入相補法來看，其內容相當貼近楊輝乃至於劉徽的作法，有別於明末西方傳入的測量方法，這一點頗值得我們來作後續探究

 三、《幾何通解》內容摘要

《幾何通解》的主要訴求是「以勾股解《幾何原本》之根」，梅文鼎的作法是採用傳統的勾股方法來解《幾何原本》前六卷的部分命題，其內容大致如下：

其中，梅文鼎花了相當多的篇幅說明「理分中末線」（即黃金比例），其曰：「幾何不言勾股，然其理並勾股也，故其最難者以勾股釋之則明。惟理分中末綫似與勾股異源。今為游心立法之初，而仍出於勾股。」由此，可見梅文鼎對傳統勾股術的重視。

四、參考文獻

孔國平，〈會通中西的天算家梅文鼎〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁139-177。

梅文鼎，《幾何通解》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。

梅文鼎，《勾股舉隅》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。

劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論集》（南京：江蘇教育出版社，1990），頁182-218。

劉鈍，〈《勾股舉隅》、《幾何通解》提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷四（鄭州：河南教育出版社，1993），頁431-432。

錢寶琮，〈梅勿奄先生年譜〉，收入《李儼、錢寶琛科學史全集》第九卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁107-139。