這次數B一般認為與數A有明顯區隔。除了11年級數學B特有內容外，配合情境的題目較多。至於數學內容確也沒有如數A深入，甚至若能靈活運用概念，不墨守陳規，計算也不複雜。由於沒有太多需要深入探討的，這裡就簡單說明各題的解法。而針對修習數A的學生，進一步的探討就放在『附註』。考生表現的統計資料，就等大考中心公佈後，再以後記的方式評論。
說明：本題評量利用相對誤差概念評量絕對值及百分比。當標準值為 $S$，數值 $N$ 與 $S$ 的差距 $|N-S|$ 稱為絕對誤差，而絕對誤差在標準值所占比率就是相對誤差。所以給了相對誤差百分比，再乘上標準值，就可得絕對誤差。一般商品若標示 $S\pm k$，是指絕對誤差在 $k$ 以內；若標示 $S\pm r\%$ 則指相對誤差在 $r\%$ 以內。本題便是問有多少個整數 $N$ 符合 $95\pm 5\%$。換回絕對誤差就是 $95\times \dfrac{5}{100}=4.75$（其實知道大於 $4$ 且小於 $5$ 即可），也就是說 $N$ 需滿足 $95\pm 4.75$，亦即 $|N-95|\lt 4.75$。不難算出共有 $4\times 2+1=9$ 個。其實因為 $80$ 的 $5\%$ 為 $4$，所以當 $S$ 為整數且 $80\lt S\lt 100$，則滿足 $S\pm 5\%$ 的整數都是 $9$ 個。出題者還算有善意，若 $S$ 不是整數，答案就可能不一樣了。例如滿足 $94.7\pm 5\%$ 的整數共有 $10$ 個（即 $90\sim99$）。注意：有可能區間範圍比較小但包含的整數比較多！
說明：說實話本題僅評量對數的定義（連對數律都不用），提及自然對數與連續複利僅為突顯數B專有內容，並不需用實際了解其意義。若懂得對數律，一般會將 $100e^{{3n}/{100}}=135$ 等式兩邊取對數得 $\ln100+\dfrac{3n}{100}=\ln 135$，不過最後還要移項再用對數律還原。本題可能是為了配合計算機操作以及數B並不強調對數律（疑惑？）；反而不用對數律比較快得到正確選項。亦即等式兩邊先除以 $100$ 得 $e^{3n/100}=\dfrac{135}{100}$，再利用自然對數的定義得 $\dfrac{3n}{100}=\ln\left(\dfrac{135}{100}\right)$。所以 $n=\dfrac{100}{3}\ln\left(\dfrac{135}{100}\right)$。計算後約為 $10.0035$，老師不妨回頭問學生這個計算結果的意義：定存 $100$ 萬元，年利率為 $3\%$ 使用連續複利，若要達到本利和 $135$ 萬元，需存 $10$ 年（$10$ 年前 $100$ 元的牛肉麵，現在賣多少元？）。目前銀行年利率約 $1.7\%$，若考慮通膨，定存算是好投資嗎？
說明：評量矩陣運算性質以及反矩陣概念。在今年115數A第5題的說明中，提及近年來評量矩陣運算常常評量的兩個概念。本題就是評量其中一個：若二階方陣 $A,B$ 相乘得 $AB=C$，則 $A$ 右邊乘上 $B$ 的第 $1$ 行就是 $C$ 的第 $1$ 行；而 $A$ 右邊乘上 $B$ 的第 $2$ 行就是 $C$ 的第 $2$ 行。了解這個性質，因為題目已告知 $A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 且 $A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，馬上可得 $A\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$。所以由反方陣的定義知 $A$ 的反方陣為 $\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}$。
我們也很鼓勵老師介紹反方陣也有類似反函數的看法。也就是說，當 $B$ 為 $A$ 的反方陣時，由 $A\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha'\\\beta'\end{bmatrix}$ 可知 $B\begin{bmatrix}\alpha'\\\beta'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}$。所以若設 $A$ 的反方陣為 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}$，則由 $A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 知 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$。又因 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}$，因此得 $\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$。同理，由 $A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 知 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$，故得 $\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。所以 $A$ 的反方陣為 $\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}$。
說明：評量經緯度、球面坐標以及圓弧。雖然最後一項弧長問題對數A跨考生應無難處，但前兩項因數A課程無任何關於球的內容，若沒有額外花時間了解，對這一題應是一籌莫展。我們可以利用以南北極的軸線為法向量的平面來切割球面。每個平面與球面的截痕皆為圓，其中切到軸線中點的平面與球面的截痕是最大的圓稱為赤道，且其半徑等於球的半徑，設為 $r$。赤道面上方（即北極所在部份）平面所截的圓稱為北緯線（下方稱為南緯），且若平面與赤道面距離為 $r\cos\theta^\circ$，就稱為北緯 $\theta^\circ$ 緯線。換言之，若將赤道面置於空間坐標的 $xy$ 平面，則北緯 $\theta^\circ$ 所在的平面就是 $z=r\cos\theta^\circ$，而此北緯線會是半徑為 $r\sin\theta^\circ$ 的圓。 將此圓 $x$ 軸正向定為東、西經 $0^\circ$，逆時針轉 $\delta^\circ$ 的位置稱為東經 $\delta^\circ$；而順時針轉 $\delta^\circ$ 的位置稱為西經 $\delta^\circ$。東、西經除了在 $0^\circ$ 交會外，也在 $180^\circ$ 交會。
題目中甲船沿著北緯 $60^\circ$ 線向西航行，表示它在半徑為 $r\sin60^\circ=\dfrac{1}{2}r$ 的圓上順時針從西經 $169^\circ$ 到東、西經 $180^\circ$（轉了 $11^\circ$）再多轉 $9^\circ$ 到達東經 $171^\circ$。總共轉了 $20^\circ$（弧長為 $\dfrac{r}{2}\times\dfrac{20}{180}\pi$）。而乙船沿著赤道向東航行，表示它在半徑為 $r$ 的圓上逆時針從東經 $140^\circ$，再多轉 $\delta^\circ$ 後會與甲船航行同樣的弧長。因乙船航行所轉的半徑是甲船的兩倍，所以要和甲船航行同樣弧長，$\delta^\circ$ 只要是甲船所轉的 $20^\circ$ 的一半（即 $r\times\dfrac{\delta}{180}\pi=\dfrac{r}{2}\times\dfrac{20}{180}\pi$），所以乙船逆時針多轉 $10^\circ$ 會到達東經 $150^\circ$。
附註：由球心在原點之球面上的經緯度計算空間坐標，是課綱數B所需學習內容。其實有些學生在平面坐標與極坐標的轉換上可能就有困難，在球面坐標與空間坐標轉換的學習上應該就更困擾了。建議如課綱所提，在熟悉經緯度後以經緯度的概念轉換。也就是如前述，知道球的半徑後先考慮 $z$ 坐標與緯度的關係。再由緯度得到緯線的半徑。最後由緯度半徑得到經度與 $x,y$ 坐標的關係。
說明：評量指數概念。事實上可能還想評量取對數，解不等式；不過只要直接再乘三次就可知道答案，根本評量不出高中課程內容。比較好的想法可能是看出每兩次就要多除掉一個 $2$，所以第七次投注就是要將 $\dfrac{3}{2}$ 乘六次再多除以 $2$ 三次，即 $(\dfrac{3}{2})^6\times (\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{3^6}{2^9}$。不過這個想法是錯的，若出題者狠心一點問多一點的次數，就會發現並沒有每兩次多除掉一個 $2$ 這樣的規律性（參見附註）。為了讓題目簡單只問少數幾次，除了失去原來想評量的目的且讓錯誤想法也能得到正確答案，應該是本題最大的瑕疵。
較正確的看法是：雖然是照程序每次大於 $2$ 就要除以 $2$；不過因為乘除是可以交換的，我們不必每一次都去決定要不要除以 $2$，可以在最後一步再決定要除以多少個 $2$。因已知 $(\dfrac{3}{2})^2>2$，所以操作 $6$ 次，$3^6$ 至少要除以 $2^9$，但可能不夠多，所以還要檢查 $\dfrac{3^6}{2^9}$ 是否小於 $2$，否則就要再多除以一個 $2$（選項中沒有 $\dfrac{3^6}{2^{10}}$，或許是出題者的善意）。因為 $3^6=81\times 9=729$ 確實介於 $2^9=512$ 和 $2^{10}=1024$ 之間，所以答案確為 $\dfrac{3^6}{2^9}$。
附註：若再多算幾次，在第八次就要多除以 $2$，因為 $\dfrac{3^7}{2^{10}}=\dfrac{2187}{1024}>2$。然後在第十、十二次也都多除以 $2$ 後，第十三次又要再多除以 $2$。事實上 $\dfrac{3^{12}}{2^{18}}\approx2.03$ 很接近 $2$，音樂所謂12平均律與這有關；我們只談數學，此題的概念其實和科學記號有關。當一正數 $X>1$ 時，將之一直除以 $10$ 直到第 $n$ 次的值 $a$ 滿足 $1\le a\lt 10$，就用 $a\times 10^n$ 表示 $X$ 的科學記號。我們可以如法泡製，將 $10$ 改為 $2$，也就是將 $X$ 一直除以 $2$ 直到所得的值大於或等於 $1$ 且小於 $2$。本題就是要將 $3^n$ 寫成 $a\times 2^m$，其中 $1\le a\lt 2$。我們趁這個機會看看 $n,m$ 的關係是否有規律性。
因為我們好奇何時要多除以 $2$，所以將 $m$ 寫成 $n+k$，也就是要算 $k$ 使得 $1\le(\dfrac{3}{2})^n\times \dfrac{1}{2^k}\lt 2$。科學記號用以 $10$ 為底的常用對數處理，這裡很自然的會用以 $2$ 為底的對數 $\log_2$ 處理。整個不等式取對數可得 $n(\log_23-1)-1\lt k\le n(\log_23-1)$。因 $k$ 為整數，利用今年數A的高斯符號（向下取整），知 $k=[n(\log_23-1)]$。利用程式算了一下，列表如下：\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline k&0&1& 1& 2& 2& 3& 4& 4& 5& 5& 6& 7& 7& 8& 8& 9& 9& 10& 11& 11\end{array}\] 可以看出沒有規律性。
說明：評量二元一次不等式與點到直線距離。直線 $4x+3y=12$ 將坐標平面分成 $4x+3y\lt 12$ 與 $4x+3y\gt 12$ 兩部份。將點 $(5,5)$ 代入 $4x+3y$ 得 $35$，故知點 $(5,5)$ 在 $4x+3y\gt 12$ 這一側，所以領海應該在 $4x+3y\lt 12$ 這一側。因此只要將選項 (1),(2),(3) 的直線上取一點檢查哪一個與 $4x+3y-12=0$ 的距離為 $12$ 即可。也可將與 $4x+3y-12=0$ 的距離為 $12$ 的直線求出，即設其上的點為 $(x,y)$ 利用點到直線距離公式 $\dfrac{4x+3y-12}{\sqrt{4^2+3^3}}=\pm12$，得 $4x+3y=72$ 或 $4x+3y=-48$。由前知要選滿足 $4x+3y\lt 12$ 的直線，所以答案為 $4x+3y+48=0$。
說明：評量機率與條件機率的概念。題目問了兩個事件 $E_1,E_2$ 在發生其中一事件的條件下也發生另一事件的條件機率比值，即 $\dfrac{P(E_2|E_1)}{P(E_1|E_2)}$。學生常誤解 $P(E_2|E_1)$, $P(E_1|E_2)$ 這兩個條件機率一樣（選項中有 $1$ 或許就是想評量這一點）。事實上一般人也常有此誤解，例如疾病篩檢藥劑即使準確率很高，但並不代表篩檢是陽性的人真正罹病的機率有那麼高。因為一個是在罹病之下篩檢出陽性的條件機率；另一個是篩檢出陽性之下罹病的條件機率。另一方面若清楚條件機率的定義由 $P(E_2|E_1)=\dfrac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_1)}$ 且 $P(E_1|E_2)=\dfrac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_2)}$，可得 $\dfrac{P(E_2|E_1)}{P(E_1|E_2)}=\dfrac{P(E_2)}{P(E_1)}$。也就是說，本題只要分別計算「至少有兩個福袋中獎的機率」、「福袋A中獎的機率」，再相除即可，不必算兩個條件機率後再相除。
福袋A中獎的機率 $\dfrac{3}{4}$ 已經給了，所以只要算至少有兩個福袋中獎的機率。直接算機率為 $P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)(1-P(C))+P(A)P(C)(1-P(B))+P(B)P(C)(1-P(A))$，因為 $P(C)=1-P(C)$，所以機率為 $P(C)(P(A)+P(B))=\dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3})=\dfrac{17}{24}$。因此得 $\dfrac{p}{q}=\dfrac{17/24}{3/4}=\dfrac{17}{18}$。
說明： 雖然題目說在每個實數函數值相同，但不可能代每個實數檢驗。不知為何題目不直接說是相同的函數？不管如何，代值運氣好代到的值不同就可以確定是不同函數，但若代幾個點都相同，還是無法確定是否為相同的函數。例如選項(2)若代任意的整數，都會和原函數取值相同，但它們是不同的函數。所以依圖形來判斷才是正確的方向。本題雖為評量正弦函數的圖形，但因為只是判斷圖形是否相同，不必真正畫圖來比較，完全用概念就可處理。
正弦函數的特性就是“振幅”與“週期”，這兩個特性其中之一若有不同，圖形就不可能相同。振幅就是 $\sin$ 前面係數的絕對值，原來的函數 $y=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x+\pi)+3$ 的振幅為 $3$，選項(1)的振幅為 $6$，所以不會是同一個函數。注意選項(5) $y=-3\sin(\dfrac{\pi}{5}x)+3$ 雖然 $\sin$ 前面係數為 $-3$，但振幅選取絕對值，所以它和原函數振幅相同，目前還不能判定是否相同。接著看週期，週期與 $x$ 的係數（稱為角頻率，數B應可忽略此名詞）有關，如果 $x$ 的係數為 $a$，則週期為 $\Big|\dfrac{2\pi}{a}\Big|$。所以只要 $x$ 的係數絕對值不同，週期就不同。原函數 $y=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x+\pi)+3$ 其 $x$ 的係數為 $\dfrac{\pi}{5}$（週期為 $10$），而選項(2)其 $x$ 的係數為 $\dfrac{\pi}{5}+2\pi$（週期為 $\dfrac{10}{7}$），兩者不同，所以也不是同一函數。接著看 $y$ 方向的移動，正弦函數最明顯的就是有一個軸（稱為平均軸），若整個 $\sin$ 之後沒有加上任何實數，圖形的軸為 $y=0$（即 $x$ 軸），圖形沿著此軸上下波動。當整個 $\sin$ 之後加上實數 $d$，表示軸往上（當 $d$ 為正）或往下（當 $d$ 為負）移動了 $|d|$ 單位。例如本題 $y=-3\sin(\dfrac{\pi}{5}x)+3$ 的軸就是往上移動到 $y=3$，但選項(4)就是往下移動到 $y=-3$，所以二者不相同（注意：比較 $y$ 的偏移不加絕對值，因移動方向相反）。從這三個看法，我們很快的排除選項(1)(2)(4)。 最後就是檢查 $x$ 方向是否有偏移，若一致就是同一函數，否則就相異。選項(3) $y=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x-\pi)+3$ 和原函數的差異僅有在 $x$ 之後一個是加 $\pi$、另一個是減 $\pi$。我們可以將選項(3)改寫成 $y=3\sin((\dfrac{\pi}{5}x+\pi)-2\pi)+3$，也就是它和原函數僅差多加減 $2\pi$ 的倍數。利用 $\sin(\theta\pm2n\pi)=\sin(\theta)$，我們明確的知道 $3\sin(\dfrac{\pi}{5}x-\pi)+3=3\sin((\dfrac{\pi}{5}x+\pi)-2\pi)+3=3\sin((\dfrac{\pi}{5}x+\pi))+3$，所以它們是一樣的函數。同樣的道理選項(5)可改寫成 $y=-3\sin(\dfrac{\pi}{5}x+\pi-\pi)+3$。利用 $\sin(\theta\pm(2n+1)\pi)=-\sin(\theta)$，我們明確的知道 $-3\sin(\dfrac{\pi}{5}x)+3=-3\sin((\dfrac{\pi}{5}x+\pi)-\pi)+3=3\sin((\dfrac{\pi}{5}x+\pi))+3$，所以它們是一樣的函數。總結來說，當正弦函數 $x$ 後面所加的常數（稱為相位角）若改變了 $2\pi$ 的倍數，由於週期的關係，看不出 $x$ 方向有偏移，所以函數圖形不變。除此之外，就會發生偏移；不過當相位角改變了 $(2n+1)\pi$，因圖形變成正負相反，所以將 $\sin$ 前的係數多乘上 $-1$，就會讓它還原了。
附註：給定一函數 $f(x)$，當 $k\gt0$，很容易理解 $y=f(x)+k$ 的圖形是將 $y=f(x)$ 圖形往上平移 $k$ 單位；而 $y=f(x)-k$ 的圖形是將 $y=f(x)$ 圖形往下平移 $k$ 單位。另一方面 $y=f(x-k)$，若代 $x=0$，得 $y=f(-k)$，表示在 $x=0$ 的取值是原先 $y=f(x)$ 在 $x=-k$ 的取值。也就是說 $y=f(x-k)$ 的圖形是將 $y=f(x)$ 的圖形往右平移 $k$ 單位。同理，$y=f(x+k)$ 就是將 $y=f(x)$ 的圖形往左平移 $k$ 單位。
比較正弦函數圖形，一般來說，確定其平均軸一樣以後，我們會依上、下平移的方式將之平移至平均軸為 $x$ 軸的位置，以方便討論是否 $x$ 方向有偏移。例如本題就可將原函數向下平移 $3$ 單位，得到 $y=f(x)=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x+\pi)$。接著就利用正弦函數的週期性知：當將函數圖形往左、右平移週期的整數倍，其圖形是不變的。由於 $y=f(x)$ 的週期為 $10$，若將此函數往右平移一個週期，即 $y=f(x-10)=3\sin(\dfrac{\pi}{5}(x-10)+\pi)=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x-\pi)$ 就是選項(3)向下平移 $3$ 單位的函數，因此和原函數圖形一樣。但若將圖形往左、右平移半個週期的奇數倍，雖然圖形改變了，不過僅是正負號相反，所以多乘上負號，就一致了。本題若將 $y=f(x)$ 向右平移半個週期，即 $y=f(x-5)=3\sin(\dfrac{\pi}{5}(x-5)+\pi)=3\sin(\dfrac{\pi}{5}x)$ ，再多乘 $-1$ 就是選項(5)向下平移 $3$ 單位的函數，因此和原函數圖形一樣。不過一般談論正弦波圖形，不會用前述正規圖形的平移方式來看 $x$ 方向的偏移。而是利用 $y=\sin x$ 的週期為 $2\pi$ 直接從 $y=\sin(ax+b)$ 的 $a,b$ 來看。即週期和 $x$ 的平移都利用 $a,b$ 和 $2\pi$ 的比率來決定 （這就是稱 $a$ 為角頻率, $b$ 為相位角的原因），即 $|\dfrac{2\pi}{a}|$ 就是週期，而 $\dfrac{b}{2\pi}$ 就是向左、右平移了多少週期。
說明：評量多項式，包括除法原理、餘式定理以及已分解多項式不等式。因為 $f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)=(2-x)\bigl((1-x)(2-x)(4-x)\bigr)$，所以 $f(x)$ 除以 $(1-x)(2-x)(4-x)$ 的商式為 $-x+2$、餘式為 $0$。選項(2)希望將 $f(x)$ 表為 $x-2$ 形式的多項式，也就是將 $(1-x)(2-x)^2(4+x)$ 寫成 $a(x-2)^4+b(x-2)^3+c(x-2)^2=(a(x-2)^2+b(x-2)+c)(x-2)^2$。換言之，$(1-x)(4+x)=a(x-2)^2+b(x-2)+c$。 因 $c$ 為 $(1-x)(4+x)$ 除以 $x-2$ 的餘式，由餘式定理知 $c=(1-2)(4+2)=-6$。選項(3)因為 $(2-x)^2$ 在 $x=2$ 以外恆正，表示 $f(x)$ 和 $(1-x)(4+x)$ 在 $x\ne2$ 時為同號。因 $(1-x)(4+x)$ 最高次項係數為負，為凹向下的拋物線且與 $x$ 軸交於 $x=-4,1$，故知 $f(x)\gt 0$ 的解區間為 $(-4,1)$。選項(4)寫成相除形式，應是不必將 $f(x)$ 展開，而是代入比較各項大小。事實上 $\dfrac{f(2026)}{f(-2022)}=\dfrac{(-2025)(-2024)^2(2030)}{(2023)\,\,\,(2024)^2\,\,(-2018)}\gt1$。再由選項(3)知 $f(-2022)\lt0$，故選項(5)利用選項(4)乘上 $f(-2022)$ 大小號相反，所以應為 $f(2026)\lt f(-2022)$。很好奇，今年為 $2026$ 為什麼不比較 $f(2026)$ 和 $f(-2026)$？不過算了一下，應該就沒有那麼容易估算了！$f(2026)$ 依然小於 $f(-2025)$ 但 $f(2026)\gt f(-2026)$。
說明： 評量統計中的名詞與相關概念。名詞方面幾乎什麼都包了，情境上和去年114數A第12題很近，想把A濃度對身長的關係換算成B濃度對身長的關係，不過相對單純，僅牽涉到伸縮的問題。選項(1)問B濃度的標準差，所以先將A濃度的變異數 $225$ 換成A濃度的標準差 $\sqrt{225}=15$，再由B濃度均為A濃度 $\dfrac{1}{2}$，得到B濃度的標準差為 $\dfrac{15}{2}$。選項(2)僅評量考生是否將中位數與平均數混淆，即使身長的平均數與中位數相同且B濃度的平均數確為 $\dfrac{50}{2}=25$，但並不代表B濃度的中位數為 $25$。選項(3)可以利用相關係數的定義驗證B濃度與A濃度的相關係數為 $1$，不過這可以用B濃度與A濃度的數據點完全落在直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ 上，為絕對正相關來看出，所以這裡就不驗證了。選項(4) 評量A濃度對身長迴歸直線會通過身長平均數 $65$ 與A濃度平均數 $50$ 這個數據點，所以正確。選項(5)用到迴歸直線斜率公式，因為相關係數不變（即 $0.75$），而由(1)，B濃度與身長的標準差分別為 $\dfrac{15}{2}$、 $10$，故得B濃度對身長迴歸直線斜率為 $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{15/2}{10}=\dfrac{9}{16}$。
說明：評量數B獨有的圓錐截痕，過去可能只要記一記幾種情況即可，今年還要配合邏輯推論，可能作答就更吃力了。不過從選項順序的安排，依橢圓、拋物線、雙曲線的順序，應該算有強烈提示。考了好幾次圓錐燈罩照在地面或牆面的燈影問題，一般可能依直覺，以固定平面而轉動燈來考慮各種變化情形。其實這類問題，反而是固定燈，轉動平面較容易判斷（因為圓錐截痕的判斷皆如此處理）。一開始考慮平面與軸線垂直的情形，此時兩燈罩光影皆為圓。接著固定軸線與平面交點開始轉動平面，此時兩燈罩光影皆為橢圓，其中大燈罩光影 $\Gamma$ 的橢圓較大且隨著平面的轉動越來越大，直到與燈罩邊緣平行時大燈罩光影變成拋物線。從前面所提大燈罩光影較大的看法可知，是大燈罩光影 $\Gamma$ 先變成拋物線（此時小燈罩光影 $\gamma$ 還是橢圓）。當平面繼續轉動過了大燈罩光影是拋物線的臨界狀況後，大燈罩光影 $\Gamma$ 變成雙曲線的一部分後 $\Gamma$ 就一直是雙曲線，而小燈罩光影 $\gamma$ 才依著從橢圓變成拋物線再變成雙曲線的順序變換。用燈影範圍大小較簡略的記法就是：『橢圓$\lt$拋物線$\lt$雙曲線』其中拋物線是臨界點且『$\gamma\lt\Gamma$』，如圖示：
。也可想像拋物線為 $0$，橢圓是小於 $0$ 的範圍，而雙曲線是大於 $0$ 的範圍，再將 $\gamma\lt \Gamma$ 擺在此數線上，就可以判斷了。
選項(1)大燈罩光影 $\Gamma$ 是橢圓（在小於$0$的範圍），所以小燈罩光影 $\gamma$ 可以確定是橢圓（因 $\gamma\lt\Gamma\lt0$）。選項(2) $\Gamma$ 是拋物線（在等於$0$的位置），所以 $\gamma$ 可以確定是橢圓（因 $\gamma\lt\Gamma＝0$）。選項(3) $\Gamma$ 是雙曲線（在大於$0$的範圍），無法判斷 $\gamma$（因 $\gamma\lt \Gamma$ 無法判斷其正負）。選項(4) $\gamma$ 是拋物線（在等於$0$的位置），所以 $\Gamma$ 可以確定是雙曲線（因 $0=\gamma\lt\Gamma$）。最後選項(5) $\gamma$ 是雙曲線（在大於$0$的範圍），所以 $\Gamma$ 可以確定也是雙曲線（因 $0\lt\gamma\lt\Gamma$）。
附註：其實修習數A的學生，在了解直線與平面的夾角（即直線與平面法向量所夾銳角的餘角）後，更容易了解前面所提圓錐截痕的變化（事實上前面所提的簡易看法就是利用夾角的概念轉譯）。設燈罩直圓錐面的母線（燈罩外側邊線）與軸線夾角為 $\theta$，且設燈罩軸線與地面夾角為 $\alpha$。當 $\alpha=90^\circ$（即軸線與地面垂直），燈影邊緣為圓。而當 $\theta\lt\alpha\lt 90^\circ$，燈影邊緣為橢圓。而若 $\theta=\alpha$，則燈影邊緣為拋物線。最後當 $\alpha\lt\theta$，燈影邊緣就會是雙曲線的一部分。現假設大、小燈罩母線與軸線夾角分別為 $\Theta$、$\theta$，依題設 $\theta\lt\Theta$。所以當大燈罩燈影邊緣 $\Gamma$ 為橢圓或拋物線時，表示 $\Theta\le\alpha$。因此由 $\theta\lt\Theta$ 知 $\theta\lt\alpha$，故小燈罩燈影邊緣 $\gamma$ 為橢圓。不過當 $\Gamma$ 為雙曲線，即 $\alpha\lt\Theta$，我們無法由 $\theta\lt\Theta$ 知道 $\alpha$ 與 $\theta$ 的大小關係。同理若 $\gamma$ 為橢圓，即 $\theta\lt\alpha$，則無法判斷 $\Theta$ 與 $\alpha$ 的大小關係；但當 $\gamma$ 為拋物線或雙曲線，則由 $\alpha\le\theta\lt\Theta$，可以確定 $\Gamma$ 為雙曲線。
說明： 評量遞迴、等比數列的概念，應是全卷數學素養需求最強的一題。看到有的老師用到轉移矩陣、極限概念處理，對考生來說可能就更不知所措了！其實最後選項問到 $100$ 項用極限處理相當不妥。極限概念是某項之後會落在誤差範圍內，在沒有驗證的情況下 $100$ 項未必足夠。用轉移矩陣讓學生理解其概念及實際應用很不錯；不過本題不必如此大費周章，按照選項順序作答應可完成任務。
一般這類調配溶液題目，會涉及濃度，不過本題僅著重於含糖量，我們只要管糖量變化即可。所以可以將題目解讀為『每次將A瓶的糖倒一半到B瓶，再將B瓶的糖倒一半回A瓶』。一開始A瓶 $100$g 的糖倒一半到B瓶，兩邊各有 $50$g。接著將B瓶 $50$g 的糖倒一半（即 $25$g）回A瓶，所以第 $1$ 次稀釋完A瓶的糖為 $a_1=50+25=75$g。選項(2)應該是提示糖的總量為 $100$g，所以每次不必去盯著B瓶的糖量，只要專注A瓶的糖量，就可知B瓶糖量。故第 $n$ 次稀釋完，因為A瓶的糖量為 $a_n$（之後不寫單位），所以B瓶的糖量應為 $100-a_n$。接下來我們就可寫下 $a_n,a_{n+1}$ 的關係式。因為第 $n$ 次稀釋完A瓶的糖為 $a_n$，要做第 $n+1$ 次稀釋，先將A瓶糖倒一半到B瓶，此時A瓶剩 $\dfrac{1}{2}a_n$ 的糖，所以B瓶有 $100-\dfrac{1}{2}a_n$ 的糖。接著將B瓶的糖倒一半回A瓶，所以 $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}\left(100-\dfrac{1}{2}a_n\right)$。選項(4)應該是提示如何處理選項(5)。先將上式化簡為 $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}a_n+50$，再嘗試是否找得到 $c$ 使得 $\langle a_n-c\rangle$ 為公比為 $\dfrac{1}{4}$ 的等比數列，即滿足 $a_{n+1}-c=\dfrac{1}{4}(a_n-c)$。移項後比較係數可得 $50=\dfrac{3}{4}c$，所以確實找到 $c=\dfrac{200}{3}$ 滿足要求。最後便是利用 $\langle a_n-\dfrac{200}{3}\rangle$ 為公比為 $\dfrac{1}{4}$ 的等比數列，知 $a_{100}-\dfrac{200}{3}=(\dfrac{1}{4})^{99}(a_1-\dfrac{200}{3})=(\dfrac{1}{4})^{99}(75-\dfrac{200}{3})\gt0$，所以 $a_{100}\gt \dfrac{200}{3}\gt60$。
附註：對於修習數A的學生，不妨依本題的策略處理更一般狀況。設總量為 $K$，每次將A瓶倒 $1-p$ 倍到B瓶，再將B瓶的 $1-q$ 倍倒回A瓶。若第 $n$、$n+1$ 次後在A瓶的量分別為 $a_n$、$a_{n+1}$，則得 $a_{n+1}=pa_n+(1-q)(K-pa_n)$。此時可找到 $c=\left(\dfrac{1-q}{1-pq}\right)K$ 使得 $a_{n+1}-c=pq(a_n-c)$。
本題讓人聯想到98年指考數學乙非選第二題。該題本為評量轉移矩陣，不過我們試著用上面的結果處理第(2)(3)小題。原題如下：
小題(2)關心的是溶液的量。一開始A、B瓶分別有 $\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{1}{3}$ 公升的溶液，所以總共有 $1$ 公升的溶液。因此總量 $K=1$（以下忽略單位）。依題意，每次都倒一半所以 $p=q=\dfrac{1}{2}$。依此可得 $pq=\dfrac{1}{4}$ 且 $c=\left(\dfrac{1-q}{1-pq}\right)K=\dfrac{2}{3}$，故得 $a_{100}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4^{100}}(a_0-\dfrac{2}{3})$。但已知 $a_0=\dfrac{2}{3}$，故得 $a_{100}=\dfrac{2}{3}$ 且 $b_{100}=1-a_{100}=\dfrac{1}{3}$。
小題(3)關心的是酒精的量。一開始A、B瓶分別有 $\dfrac{2}{3}$、$0$ 公升的酒精，所以總共有 $\dfrac{2}{3}$ 公升的酒精。因此總量 $K=\dfrac{2}{3}$（以下忽略單位，並以 $a'_n$ 表示A瓶酒精量）。依題意，每次都倒一半所以 $p=q=\dfrac{1}{2}$。依此可得 $pq=\dfrac{1}{4}$ 且 $c=\left(\dfrac{1-q}{1-pq}\right)K=(\dfrac{2}{3})^2$，故得 $a'_{2}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{4^{2}}(a'_0-\dfrac{4}{9})$。但已知 $a'_0=\dfrac{2}{3}$，故得 $a'_{2}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{16}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{11}{24}$。現由前知第二次後$A$瓶溶液為 $a_2=\dfrac{2}{3}$ 故此時酒精占 $\dfrac{a_2'}{a_2}=\dfrac{11}{16}$，即 $68.75\%$。
說明：雖然題目敘述是以直線表示，但從圖示來看出題者應是想評量正弦定理。事實上若用坐標處理除了需知 $\tan75^\circ$（超出數B範圍）且還需求出兩直線交點，再算距離，多花了許多時間。本卷許多題目評量的素養不僅在情境方面，還包括不以制式方法思考（策略轉變），這可能太難為數B的考生了。
利用三角形三角和為 $180^\circ$ 就可得 $L_1$、$L_2$ 夾角為 $45^\circ$。因此利用 $L_2$ 與 $x$ 軸夾角為 $30^\circ$，就可由正弦定理知 $L_1$、$L_2$ 交點 $P$ 到原點距離滿足 $\overline{OP}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}\times 20=10\sqrt{2}\approx 14$。
說明：評量有系統的計數。今年數A、數B有關排列組合的題目相對友善，本題應是學生常見題型。可以先將有限制的分成兩組 $S_1=\{3,4\}$ 和 $S_2=\{5,6,7\}$。再將這兩組與 $1$, $2$ 一起排列，故有 $4$ 種相異物共 $4!=24$ 個排列情況。每個情況中 $S_1$ 又有 $3\,4$、$4\,3$ 兩種排法；而 $S_2$ 也有 $5\,6\,7$、$7\,6\,5$ 兩種排法。所以每一情況共可排出 $4$ 個不同的七位數。因為 $24$ 個情況都不可能排出一樣的數字，所以總共可排出 $4\times 24=96$ 個七位數。
說明：評量列聯表（或文氏圖）。只要依題目所附列聯表補齊，就能作答。因為無近視占 $\dfrac{1}{2}$，即無近視有蛀牙的比例（第一列第二行）加上無近視無蛀牙的比例 $p$ 應為 $\dfrac{1}{2}$，所以無近視有蛀牙的比例為 $\dfrac{1}{2}-p$。同理，無蛀牙有近視的比例（第二列第一行）加上無近視無蛀牙的比例 $p$ 應為無蛀牙所占的比例 $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，所以無蛀牙有近視的比例為 $\dfrac{2}{3}-p$。最後有近視有蛀牙的比例可用第一列的總和（即有蛀牙所占的比例）$\dfrac{1}{3}$，或用第一行的總和（即有近視所占的比例）$\dfrac{1}{2}$，也可用全部總和為 $1$，推得為 $p-\dfrac{1}{6}$。因此得到完整的列聯表： \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&有近視&無近視&總和\\\hline 有蛀牙&p-\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}-p&\dfrac{1}{3}\\\hline 無蛀牙&\dfrac{2}{3}-p&p&\dfrac{2}{3}\\\hline 總和&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&1\\\hline \end{array}最後依題目所述：有近視的學生中有蛀牙的比沒蛀牙的少，即 $p-\dfrac{1}{6}\lt\dfrac{2}{3}-p$。以及有蛀牙的學生中有近視的比沒近視的多，即 $p-\dfrac{1}{6}\gt\dfrac{1}{2}-p$。結合這兩個不等式，可得 $\dfrac{1}{3}\lt p\lt\dfrac{5}{12}$。
說明：評量二次函數的極值。$g(x)$ 為二次多項式、$f(x)$ 為一次多項式，所以 $g(x)-f(x)$ 會是二次多項式。題目問其最大值，自然需先寫下此二次多項式。為了方便起見，我們令 $h(x)=g(x)-f(x)$。依題意 $g(1)=0$, $g(2)=2$ 以及 $g(5)=4$；另一方面，$f(1)=0$ 以及 $f(5)=4$。所以我們可確定 $h(1)=g(1)-f(1)=0$ 且 $h(5)=g(5)-f(5)=0$。由 $h(x)$ 為二次多項式加上因式定理知 $(x-1)$ 和 $(x-5)$ 皆為 $h(x)$ 的因式，可將 $h(x)$ 寫成 $h(x)=a(x-1)(x-5)$。因為已知 $g(2)=2$，我們只要知道 $f(2)$ 的值，就可得 $h(2)$ 的值，因而求得 $a$，也就確定 $h(x)$。然而 $y=f(x)$ 是通過 $(1,0)$ 且斜率為 $1$ 的直線（即 $y=x-1$），所以 $f(2)=1$。因此由 $h(2)=g(2)-f(2)=2-1=1$，知 $a(2-1)(2-5)=1$，解得 $a=-\dfrac{1}{3}$。也就是說 $h(x)=-\dfrac{1}{3}(x-1)(x-5)$。最後由 $h(x)$ 的對稱軸為 $x=\dfrac{1+5}{2}=3$，且二次項係數小於 $0$，知 $h(x)$ 在 $x=3$ 有最大值，即 $h(3)=-\dfrac{1}{3}(3-1)(3-5)=\dfrac{4}{3}$。
說明：評量空間坐標以及數B獨有的單點透視。數B強調以長方體或對坐標軸、坐標平面的投影，介紹空間坐標。或許是題目附圖，誤導了大家想以長方體方式處理，而忽略了投影概念。前面提過，本卷題目不難，但許多需要轉換看法處理，對數B的考生是極大的挑戰。其實題目附圖若僅顯示點 $(3,4,3)$ 對 $xy$、$xz$ 平面的投影，相信作答情況一定好很多。
利用投影概念，我們知道點 $(3,4,3)$ 沿著 $z$ 軸方向就會交 $xy$ 平面於點 $(3,4,0)$；反之，點 $(3,4,0)$ 沿著 $z$ 軸方向就會通過點 $(3,4,3)$。同理，點 $(3,0,3)$ 沿著 $y$ 軸方向也會通過點 $(3,4,3)$。所以坐標空間中在點 $(3,4,0)$ 畫一條與 $z$ 軸平行的直線 $L_1$，再在點 $(3,0,3)$ 畫一條與 $y$ 軸平行的直線 $L_2$， 則 $L_1,L_2$ 的交點就會是點 $(3,4,3)$。已知點 $(3,4,0)$ 畫在畫布上坐標為 $(\dfrac{13}{5},2)$，而與 $z$ 軸平行的直線畫在畫布上會與 $y$ 軸平行，所以 $L_1$ 畫在畫布上為直線 $\ell_1:x=\dfrac{13}{5}$。另一方面，點 $(3,0,3)$ 畫在畫布上坐標為 $(3,3)$，而與 $y$ 軸平行的直線畫在畫布上會通過點 $(0,15)$，所以 $L_2$ 畫在畫布上為 $(3,3)$ 和 $(0,15)$ 的連線 $\ell_2:y=-4x+15$。所以 $L_1,L_2$ 的交點 $(3,4,3)$ 畫在畫布上就是 $\ell_1,\ell_2$ 的交點 $(\dfrac{13}{5},\dfrac{23}{5})$。
附註：很多人疑惑本題附圖的長方體，畫在畫布到底長怎樣。這裡嘗試用說明中所提的概念，將每個頂點在畫布上的坐標求出。首先要提醒的是，要將空間的點畫在畫布上，當然不會是一對一的，許多點都會“疊”在一起。不管投影和單點透視都會有這個現象（數A學投影都沒學太好，數B學單點透視，真是太難為他們了）。例如，空間中包含視線的平面，畫在畫布上整個平面變成一條線（想像有一根柱子擋住視線，此柱之後延伸的整個平面都會被擋住，我們只看到柱子）。這些包含視線的平面，其中有一平面和地平面平行，稱為視平面。視平面用單點透視法畫在畫布上，整個平面變成一條線，稱為視平線。在與地平面平行的平面上，平行的直線用單點透視法畫在畫布上都會交於視平線上一點，稱為這些平行線的消失點；不平行的直線會有不同的消失點，但都會在視平線上（這樣成為多點透視，還好我們只談單點透視）。不過並不是所有平行直線都有消失點。空間中所有與視線垂直的平面，畫在畫布上是不會“變形”的（平行直線依舊保持平行、而垂直仍然保持垂直），只是會隨著距離遠近等比率縮小放大。這就是為什麼單點透視法畫長方體，面對畫者的面都會是長方形的原因。這裡嘗試用空間坐標描繪前面提的名詞。將地平面設為 $xy$ 平面（即 $z=0$），畫者站在原點，視線方向設為 $y$ 軸方向。若視線高度為 $h$，視平面就是 $z=h$。不只視平面畫在畫布上會是一直線，若將畫者與地面垂直之直線視為 $z$ 軸，畫者與視線所在平面，即 $yz$ 平面（$x=0$），畫在畫布上也是一直線。在此設定之下，因與 $xz$ 平面平行的平面 $y=k$ 都與視線（$y$ 軸方向）垂直，其上的平行線、垂直線依然保持平行、垂直。
本題空間中的原點 $(0,0,0)$ 畫在畫布上為 $(0,0)$，而且空間中的 $y$ 軸，畫在畫布上會通過 $(0,15)$，由此知：空間中的 $y$ 軸畫在畫布上會通過 $(0,0)$, $(0,15)$，所以依然是畫布上的 $y$ 軸。再加上空間中的 $z$ 軸畫在畫布上也是 $y$ 軸，所以如前所說，整個 $yz$ 平面畫在畫布上都在 $y$ 軸上。也就是說視線會在 $yz$ 平面上。若設 $xy$ 平面為地平面，則可知視線方向應為空間中的 $y$ 軸方向。因為 $xz$ 平面與視線垂直，所以此平面上垂直的直線畫在畫布上依然垂直。因此空間中 $x$ 軸畫在畫布上會與 $z$ 軸畫在畫布上的 $y$ 軸垂直，亦即空間中與 $x$ 軸平行的直線，畫在畫布上也都與畫布上的 $x$ 軸平行。現在我們可以將題目圖示中其他頂點畫在畫布的坐標求出。因為空間中通過 $(3,0,3)$、$(3,4,0)$、$(3,4,3)$ 且與 $x$ 軸平行的三直線分別交 $yz$ 平面於 $(0,0,3)$、$(0,4,0)$、$(0,4,3)$，而 $(3,0,3)$、$(3,4,0)$、$(3,4,3)$ 畫在畫布上為 $(3,3)$、$(\dfrac{13}{5},2)$、$(\dfrac{13}{5},\dfrac{23}{5})$ 且 $yz$ 平面畫在畫布上為 $y$ 軸，故畫布上這三點沿著 $x$ 軸方向與 $y$ 軸的交點 $(0,3)$、$(0,2)$、$(0,\dfrac{23}{5})$ 就是將空間中 $(0,0,3)$、$(0,4,0)$、$(0,4,3)$ 分別畫於畫布的坐標。而空間中 $(3,0,3)$ 沿著 $z$ 軸往下交 $x$ 軸於 $(3,0,0)$，故畫在畫布上是將 $(3,3)$ 沿 $y$ 軸往下交 $x$ 軸於 $(3,0)$，所以 $(3,0,0)$ 畫在畫布上的坐標為 $(3,0)$。注意，空間中 通過 $(3,0,0)$ 和 $(3,4,0)$ 的直線與 $y$ 軸平行，而這兩點畫在畫布所得兩點 $(3,0)$ 和 $(\dfrac{13}{5},2)$ 其連線確實通過消失點 $(0,15)$。另外長方體中與 $xz$ 平面平行的兩個正方形的面，畫在畫布上分別是頂點為 $(0,0)$, $(3,0)$, $(3,3)$, $(0,3)$ 的正方形以及頂點為 $(0,2)$, $(\dfrac{13}{5},2)$, $(\dfrac{13}{5},\dfrac{23}{5})$, $(0,\dfrac{23}{5})$ 的正方形。確實畫在畫布上依然保持原形，沒有“變形”。依此結果，當視線往 $y$ 軸方向，題目附圖的長方體，利用單點透視法畫在畫布如圖：
去年114數B第7題也是用同樣的方式，將空間以單點透視畫在坐標平面。將視線方向設為空間坐標的 $y$ 軸方向。可設地平面為空間坐標的 $xy$ 平面。因空間中與 $y$ 軸垂直的平面畫在畫布上都不變形，所以與 $xz$ 平面平行的平面，畫在畫布上都不會變形。假設空間中 $xz$ 平面（$y=0$）的單位與畫在畫布上的坐標平面單位一致（即點 $(a,0,c)$ 畫在畫布為 $(a,c)$）。因為題目僅問柱子高度，與柱子所在空間坐標的 $y$ 坐標無關。不妨讓學生反求該題中畫在畫布的各個柱子，在原坐標空間中其柱底和柱頂的 $x,z$ 坐標為何？（Hint:求這些點在空間中投影到 $xz$ 平面的坐標）
說明： 18、19兩題，評量直線與圓。令 $A$、$B$ 兩點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$。由 $A$、$B$ 的中點為 $(4,0)$ 且 $A$、$B$ 連線為水平 $x$ 軸，故知 $A,B$ 連線線段的中垂線為通過 $(4,0)$ 的鉛垂線 $x=4$。
因為 $A,B$ 在以點 $P$ 為圓心的圓 $\Gamma$ 上，所以 $P$ 到 $A,B$ 兩點距離一樣，故知 $P$ 會在直線 $x=4$ 上。要確定 $P$ 的坐標，必需用到題目的另一個假設，即在圓 $\Gamma$ 上，點 $A$ 逆時鐘方向到點 $B$ 所成的圓弧是一個圓心角為 $90^\circ$ 的劣弧。若 $P$ 在 $x$ 軸或 $x$ 軸上方，則 $A$ 逆時鐘方向到 $B$ 所形成的圓弧是優弧，故不合。因此知 $P$ 點在 $x$ 軸下方。有許多方法可以得 $P$ 的坐標，由於題目要求說明直線 $PA$ 斜率為 $1$，我們就用斜率處理。設直線 $PA$ 斜率為 $m$，因 $P$ 在 $x$ 軸下方，故 $m\gt0$。因 $\overline{PA}=\overline{PB}$，即三角形 $PAB$ 為以 $AB$ 為底的等腰三角形。故直線 $PA$ 和直線 $PB$ 與 $x$ 軸的夾角相同但斜角一正一負，所以直線 $PB$ 的斜率為 $-m$。又因 $\Gamma$ 上 $AB$ 劣弧的圓心角為 $90^\circ$，即直線 $PA$、$PB$ 互相垂直，故知 $-m^2=-1$。解得 $m=1$，證明了 $P$ 在通過 $A(8,0)$ 且斜率為 $1$ 的直線 $y=x-8$ 上。再由 $P$ 也在線段 ${AB}$ 的中垂線 $x=4$ 上，解得 $P$ 的坐標為 $(4,-4)$。最後由 $\Gamma$ 的半徑為 $\overline{PB}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}$ 且圓心為 $P(4,-4)$，得 $\Gamma$ 的方程式為 $(x-4)^2+(y+4)^2=32$。
說明：評量基本向量的定義與概念。這裡需對向量與點的關係相當清楚，即使修習數A的學生都未必能正確掌握。
由點 $P$、$Q$ 坐標分別為 $(4,-4)$、$(2,8)$，知 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}=(-2,12)$。 依題設 $\overset{\large\rightharpoonup}{PR}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 等長且垂直，故知 $\overset{\large\rightharpoonup}{PR}=(12,2)$ 或 $(-12,-2)$。因 $(-12,-2)$ 是在 $(-2,12)$ 逆時鐘方向 $90^\circ$ 位置，所以得 $\overset{\large\rightharpoonup}{PR}=(-12,-2)$。也因此推得 $R$ 的坐標為 $(4,-4)+(-12,-2)=(-8,-6)$。