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在與水平面成 10^o 的東西向山坡上，鉛直（ 即與水平面垂直）立起一根旗竿。 當陽光從正西方以俯角 60^o 平行投射在山坡上時，旗竿的影子長為 11 公尺，如下圖所示（ 其中箭頭表示陽光投射的方向，而粗黑線段表示旗竿的影子）。

試問旗竿的長度最接近以下哪一選項？

(1) 19.1 公尺    (2) 19.8 公尺    (3) 20.7 公尺    (4) 21.1 公尺    (5) 21.7 公尺

參考數值: sin 10^o $\thickapprox$ 0.174, sin 20^o $\thickapprox$ 0.342, cos 10^o $\thickapprox$ 0.985, cos 20^o $\thickapprox$ 0.940, $\sqrt{3}$ $\thickapprox$ 1.732

說明:本題是一個基本的三角問題, 只要知道要探討哪一個三角形, 運用適當的三角性質(如正弦定理)就能處理.

為方便起見我們令旗杆底為 A, 旗竿影子的頂點設為 B, 而旗杆頂點設為 C. 由於題目已知旗竿的影子長, 而問旗竿的長度, 很自然的我們就是要探討 $\vartriangle$ABC. 我們沿用一般習慣的符號設定, 直接用 A, B, C 表示三角形 ABC 三個內角的角度, 而分別用 a, b, c 表式角 A, B, C 的對邊 (即 $\overline{BC}$,$\overline{CA}$,$\overline{AB}$) 的邊長, 如下圖所示.

接下來我們將 $\vartriangle$ABC 所知的訊息列出, 由題意知 c = 11, 而 A = 90^o - 10^o = 80^o 且 C = 90^o - 60^o = 30^o, 依此我們可得 B = 180^o - (A + C) = 70^o. 題目就是要我們依這些訊息求出 b 值. 這可用很多方法處理, 這裡我們想利用由邊角關係確認一個三角形的看法處理 (對此不熟悉的同學, 建議參考``97 學年指考數學乙''選填題 C 的解說). 這是一個 ASA (或 AAS) 的問題, 即知道三角形的三個角和某一邊長. 故利用正弦定理 ( a/sin A = b/sin B = c/sin C) 較合適. 由正弦定理可得

b = $${\frac{\sin B}{\sin C}}$$×c = $${\frac{\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ}}$$×11 = cos 20^o×22 $$\thickapprox$$ 20.68.