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Ring 的基本定義

Ring 的結構比 Group 豐富, 它必須有兩種運算. 一般我們分別用「+」和「^.」表示此二運算. 其中在 + 的運算下我們要求是一個 abelian group, 而 ^. 的運算僅要求封閉性和結合率. 當然了如果這兩種運算沒有甚麼關聯, 那就沒甚麼意思了. 我們需要分配率 (distributive laws) 來將它們連結在一起.

Definition 5.1.1 一個集合 R 中如果有 + 和 ^. 兩種運算且符合以下性質, 則稱之為一個 ring:

(R1): 對任意的 a, b $\in$ R 皆有 a + b $\in$ R.
(R2): 對任意的 a, b, c $\in$ R 皆有 (a + b) + c = a + (b + c).
(R3): 在 R 中存在一元素定之為 0 滿足對任意的 a $\in$ R 皆有 a + 0 = 0 + a = a.
(R4): 給定 R 中任一元素 a, 在 R 中皆存在一元素 b 滿足 a + b = b + a = 0.
(R5): 對任意的 a, b $\in$ R 皆有 a + b = b + a.
(R6): 對任意的 a, b $\in$ R 皆有 a^.b $\in$ R.
(R7): 對任意的 a, b, c $\in$ R 皆有 (a^.b)^.c = a^.(b^.c).
(R8): 對任意的 a, b, c $\in$ R 皆有 a^.(b + c) = a^.b + a^.c 且 (b + c)^.a = b^.a + c^.a.

(R1) 到 (R5) 告訴我們 R 在加法 (+) 運算下是一個 abelian group. 所以在 group 中的一些基本理論我們都可以直接套用. 比方說 0 是 R 中唯一符合 a + 0 = 0 + a = a 的元素 (Proposition 1.2.1), 以及給定 a $\in$ R 只存在唯一的 b $\in$ R 滿足 a + b = b + a = 0 (Proposition 1.2.2). 依習慣我們將此 b 記做 - a. 還是要強調一下這裡的 0 並不一定是大家常看到整數或實數上的 0, 而 - a 也僅表示為 a 的加法之 inverse, 並沒有一般正負號的意義.

我們列出一些 group 的性質方便以後直接引用.

Lemma 5.1.2 假設 R 是一個 ring, 則:

對任意的 a $\in$ R, - (- a) = a.
若 a, b $\in$ R 則存在一個唯一的 c $\in$ R 滿足 a + c = b.

証明. 請參考 Theorem 1.2.3 及 Corollary 1.2.5. $\qedsymbol$

再次強調 - (- a) = a 的性質僅表示 - a 在加法之下的 inverse 為 a, 並沒有 `負負得正' 的意思.

(R6) 和 (R7) 說明 R 中乘法 (^.) 這個運算本身的要求. 注意這裡我們並未要求乘法的 identity 必須存在. 不過若一個 ring 對於乘法其 identity 存在的話, 即使在乘法之下 R 不一定會是一個 group 但利用和 Proposition 1.2.1 相同的証明我們可知此 identity 必唯一. 習慣上我們會用 1 來表示這一個乘法上的 identity (注意: 這裡的 1 並不一定是大家常看到整數或實數上的 1). 如果一個 ring R 其乘法的 identity 存在, 那麼我們就會特別說明而稱 R 是一個 ring with 1.

另� (R6) 和 (R7) 也沒要求 a^.b = b^.a. 如果一個 ring R 中對所有的 a, b $\in$ R 皆滿足 a^.b = b^.a, 我們也會特別說明而稱 R 是一個 commutative ring (注意: 不是 abelian ring 這個名稱). 在大學的基礎代數中我們會比較專注於 commutative ring with 1 這一種 ring.

最後 (R8) 就是結合 ring 的加法和乘法的橋樑. 也是因為它讓 ring 擁有很多澈G的性質, 我們在下一節會看到一些利用 (R8) 所得的 ring 的性質. 這裡要注意的是 ring 不一定是 commutative ring, 所以對於兩邊的分配率我們都要要求.

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Administrator 2005-06-18