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虛擬學具
GGB Manipulatives
  • 在一個頗大的範圍內觀察函數 $y=f(x)$ 的圖形特徵，稱為「大域特徵」(或稱廣域特徵)。我們透過此學具來觀察三次多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的大域特徵。
操作步驟：
  1. 勾選 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。
  2. 勾選 一次項 $P_1 (x)=cx$、 二次項 $P_2 (x)=bx^2$、 三次項 $P_3 (x)=ax^3$ 等，可顯示或隱藏對應的函數圖形。
  3. 勾選 代入 $x$ 值，拖曳 $x$ 軸上的動點來調整 $x$ 值。
    以三次函數 $f(x)=x^3-6x^2+10x-5$ 為例，此時
    $f(x)$ 的一次項為 $P_{1}(x)=10x$
    $f(x)$ 的二次項為 $P_{2}(x)=-6x^2$
    $f(x)$ 的三次項為 $P_{3}(x)=x^3$
  1. 用按鈕 將繪圖區拉遠，在個頗大的範圍內觀察這幾個函數圖形，此時 $f(x)$ 的圖形與下列哪一函數較相似？
  2. 將 $x=10$、$x=100$、$x=500$ 分別代入各函數，並記錄其函數值：
    $x=10$ $x=100$ $x=500$
    $f(x)$
    $P_1(x)$
    $P_2(x)$
    $P_3(x)$
  3. 將 $x=-10$、$x=-100$、$x=-500$ 分別代入各函數，並記錄其函數值：
    $x=-10$ $x=-100$ $x=-500$
    $f(x)$
    $P_1(x)$
    $P_2(x)$
    $P_3(x)$
  4. 由以上數據可看出，當 $x$ 的絕對值逐漸變大時，$f(x)$ 的函數值與何者比較接近？
  1. 綜上觀察，三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的圖形，其「大域特徵」較近似於何者？
  2. 三次函數 $f(x)=-x^3+4x^2-x-5$ 的圖形，其「大域特徵」較近似於何者？
  3. 三次函數 $f(x)=2x^3+8x^2-3x-20$ 的圖形，其「大域特徵」較近似於何者？
  4. 三次函數 $f(x)=-2x^3+3x^2-2x+1$ 的圖形，其「大域特徵」較近似於何者？
  • 在一個頗小的範圍內觀察函數 $y=f(x)$ 的圖形特徵，稱為「局部特徵」。我們透過此學具來觀察三次多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 在 $x=h$ 處的局部特徵。
操作步驟：
  1. 勾選 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，以 $(x-h)$ 為除式將 $f(x)$ 變形為 $f(x)=A(x-h)^3+B(x-h)^2+C(x-h)+k$。
  2. 勾選 $T_1 (x)=C(x-h)+k$、 $T_2 (x)=B(x-h)^2 + k$、 $T_3 (x)=A(x-h)^3 + k$ 等，可顯示或隱藏對應的函數圖形。
  3. 勾選 代入 $x$ 值，拖曳 $x$ 軸上的動點來調整 $x$ 值。
    以三次函數 $f(x)=-x^3+4x^2-x-5$ 為例，以 $(x-2)$ 為除式將 $f(x)$ 變形為 $f(x)=-(x-2)^3-2(x-2)^2+3(x-2)+1$。此時
    $T_{1}(x)=3(x-2)+1$
    $T_{2}(x)=-2(x-2)^2+1$
    $T_{3}(x)=-(x-2)^3+1$
  1. 用按鈕 將繪圖區拉近，在 $x=2$ 附近的小範圍內觀察這幾個函數圖形，此時 $f(x)$ 的圖形與下列哪一函數較近似？
  2. 將 $x=2.2$、$x=2.1$、$x=2.05$ 分別代入各函數，並記錄其函數值：
    $x=2.2$ $x=2.1$ $x=2.05$
    $f(x)$
    $T_1(x)$
    $T_2(x)$
    $T_3(x)$
  3. 將 $x=1.8$、$x=1.9$、$x=1.95$ 分別代入各函數，並記錄其函數值：
    $x=1.8$ $x=1.9$ $x=1.95$
    $f(x)$
    $T_1(x)$
    $T_2(x)$
    $T_3(x)$
  4. 由以上數據可看出，當 $x$ 的值愈接近 $2$ 時，$f(x)$ 的函數值與何者比較接近？
  5. 綜上觀察，三次函數 $f(x)=-x^{3}+4x^{2}-x-5$ 的圖形在 $x=2$ 附近的「局部特徵」比較近似於何者？
  1. 將三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，以 $x-h$ 為除式將 $f(x)$ 變形為 $f(x)=A(x-h)^3+B(x-h)^2+C(x-h)+k$ 後，則 $f(x)$ 的圖形在 $x-h$ 附近的「局部特徵」比較近似於下列何者？
    2. 在上列敘述中，三次函數 $f(x)$ 的圖形在 $x-h$ 附近的「局部特徵」近似於一次函數 $y=C(x-h)+k$。因此我們稱 $f(x)$ 在 $x-h$ 處的「一次近似」為 $y=C(x-h)+k$。
    請利用學具中的 更改係數 按鈕，來設定 $f(x)$ 的係數及 $x=h$ 的值，並找出下列函數在指定之處的「一次近似」。
  2. 三次函數 $f(x)=-x^3+4x^2-x-5$ 在 $x=-2$ 處的一次近似為何？
  3. 三次函數 $f(x)=x^3-6x^2+12x-5$ 在 $x=1$ 處的一次近似為何？
  4. 三次函數 $f(x)=2x^3+8x^2-3x-20$ 在 $x=-3$ 處的一次近似為何？