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虛擬學具
GGB Manipulatives
  • 學生能透過觀察單位圓上的角度變化與終邊位置理解 $-\theta$ 之角度轉換關係式。
    • 情境說明：
    小因是某間遊樂園的負責人，為迎接情人節到來，想要在遊樂園的摩天輪上排演浪漫燈光秀。(如畫面所示為一個單元圓)
    只要當摩天輪從 $A$ 點開始出發，以逆時針方向旋轉至各點達到某位置時，到達 $P$ 點位置時，$Q$ 點與 $P$ 點的車廂都會同時點亮七彩燈光。為達到燈火秀完美設計，小因必須掌握各點車廂的水平、鉛直與旋轉角度三者間的關係，請依下列操作步驟來協助小因完成任務。
    實驗說明：
  • 拖曳 角度滑桿 $\alpha$，可改變 $\angle AOP$ 的大小。
  • 勾選 顯示 $\angle AOP$ 度數 ，會顯示 $\angle AOP$ 的有向角度
  • 勾選 顯示 $\angle AOQ$ 度數 ，會顯示 $\angle AOQ$ 的有向角度
操作步驟：
  1. 拖曳 角度滑桿 $\alpha$ 並勾選 顯示 $\angle AOQ$ 度數，使得 $\angle AOP = 30\degree$，觀察 $P$、$Q$ 兩點的坐標。
    由圖可知 $\angle AOQ = $
    $P$、$Q$ 兩點的 $x$ 坐標關係是 ，$y$ 坐標關係是
  • 依據廣義角的三角比定義：
    若 $P\left(x,y\right)$ 為標準位置角 $\theta$ 終邊上異於原點的點，且 $\overline{OP} = r = \sqrt{x^2 + y^2}$，則： $$\cos \theta = \frac{x}{r}，\sin \theta = \frac{y}{r}，\tan \theta =\frac{y}{x}，$$ 本操作介面的摩天輪是一個單位圓(半徑為 $1$)。
  1. 拖曳 角度滑桿改變 $\angle AOP= \alpha$ 及勾選 顯示 $\angle AOQ$ 度數 ，觀察 $P$、$Q$ 兩點坐標及關係，完成下列表格：
    $\angle AOP$ $\angle AOQ$ $P$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOP$) $P$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOP$)
    $45\degree$
    $60\degree$
    $\angle AOP$ $\angle AOQ$ $Q$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOQ$) $Q$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOQ$)
    $45\degree$
    $60\degree$
  1. 當摩天輪車廂到達 $P$ 點 ($\angle AOP = 45\degree$) 時。
    1. $\cos \angle AOQ$ 與 $\cos \angle AOP$ 有何關係？
    2. $\sin \angle AOQ$ 與 $\sin \angle AOP$ 有何關係？
    3. 若假設 $\angle AOP = \theta$，則
      $\angle AOQ =$
      $\cos \left( -\theta \right) = $
      $\sin \left( -\theta \right) = $
  • 學生能透過觀察單位圓上的角度變化與終邊位置理解 $\left( 180\degree \pm \theta \right)$ 之角度轉換關係式。
    • 情境說明：
    小因是某間遊樂園的負責人，為迎接情人節到來，想要在遊樂園的摩天輪(如畫面所示為一個單元圓)車廂安排浪漫燈光音樂秀。
    只要當車廂從 $A$ 點開始出發，以逆時針方式旋轉，到達 $P$ 點位置時，$P$ 點、$R$ 點與 $S$ 點的車廂會同時撥放浪漫音樂。
    為達到燈火秀完美設計，小因必須掌握各點車廂的水平、鉛直與旋轉角度三者間的關係，請依下列操作步驟來協助小因完成任務。
    實驗說明：
  • 拖曳 角度滑桿 $\alpha$，可改變 $\angle AOP$ 的大小。
  • 勾選 顯示 $\angle AOR$ 度數 ，會顯示 $\angle AOR$ 的有向角度
  • 勾選 顯示 $\angle AOS$ 度數 ，會顯示 $\angle AOS$ 的有向角度
操作步驟：
  1. 請拖曳 角度滑桿 $\alpha$ 並勾選 顯示 $\angle AOR$ 度數 ，使得 $\angle AOP = 30\degree$，觀察 $P$、$R$ 兩點的坐標。
    由圖可知 $\angle AOR = $
    $P$、$R$ 兩點的 $x$ 坐標關係是 ，$y$ 坐標關係是
  2. 請拖曳 角度滑桿 $\alpha$ 並勾選 顯示 $\angle AOS$ 度數 ，使得 $\angle AOP = 30\degree$，觀察 $P$、$S$ 兩點的坐標。
    由圖可知 $\angle AOS = $
    $P$、$S$ 兩點的 $x$ 坐標關係是 ；$y$ 坐標關係是
  • 依據廣義角的三角比定義：
    若 $P\left(x,y\right)$ 為標準位置角 $\theta$ 終邊上異於原點的點，且 $\overline{OP} = r = \sqrt{x^2 + y^2}$，則： $$\cos \theta = \frac{x}{r}，\sin \theta = \frac{y}{r}，\tan \theta = \frac{y}{x}，$$ 本操作介面的摩天輪是一個單位圓(半徑為 $1$)。
  1. 拖曳 角度滑桿改變 $\angle AOP= \alpha$ 及勾選 顯示 $\angle AOR$ 度數，觀察 $P$、$R$ 兩點坐標及關係，完成下列表格：
    $\angle AOP$ $\angle AOR$ $P$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOP$) $P$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOP$)
    $45\degree$
    $60\degree$
    $\angle AOP$ $\angle AOR$ $R$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOR$) $R$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOR$)
    $45\degree$
    $60\degree$
  2. 拖曳 角度滑桿改變 $\angle AOP= \alpha$ 及勾選 顯示 $\angle AOS$ 度數，觀察 $P$、$S$ 兩點坐標及關係，完成下列表格：
    $\angle AOP$ $\angle AOS$ $P$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOP$) $P$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOP$)
    $45\degree$
    $60\degree$
    $\angle AOP$ $\angle AOS$ $S$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOS$) $S$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOS$)
    $45\degree$
    $60\degree$
  1. 當摩天輪車廂到達 $P$ 點 ($\angle AOP = 60\degree$) 時。
    1. $\cos \angle AOR$ 與 $\cos \angle AOP$ 有何關係？
    2. $\sin \angle AOR$ 與 $\sin \angle AOP$ 有何關係？
    3. 若假設 $\angle AOP = \theta$，則
      $\angle AOR = $
      $\cos \left( 180\degree -\theta \right) = $
      $\sin \left( 180\degree -\theta \right) = $
  2. 當摩天輪車廂到達 $P$ 點 ($\angle AOP = 60\degree$) 時。
    1. $\cos \angle AOS$ 與 $\cos \angle AOP$ 有何關係？
    2. $\sin \angle AOS$與$\sin \angle AOP$有何關係？
    3. 若假設$\angle AOP = \theta$，則
      $\angle AOS = $
      $\cos \left( 180\degree +\theta \right) = $
      $\sin \left( 180\degree -\theta \right) = $
  • 學生能透過觀察單位圓上的角度變化與終邊位置理解 $\left( 90\degree +\theta \right)$ 和 $\left( 90\degree -\theta \right)$ 之角度轉換關係式。
    • 情境說明：
    在情人節那天，小因、小材和小王三人帶自己的伴侶一起去搭乘遊樂園的摩天輪(如畫面所示為一個單元圓)觀賞一場浪漫燈光秀。
    當小因的車廂從 $A$ 點開始出發，以逆時針方式旋轉到達 $P$ 點位置時，此時小材的車廂位置在 $M$ 點、小王的車廂位置在 $N$點。
    若小因想知道其與小材、小王的車廂位置關係，請試著依下列操作步驟來協助小因解決問題吧。
    實驗說明：
  • 拖曳 角度滑桿 $\alpha$，可改變 $\angle AOP$ 的大小。
  • 勾選 顯示 $\angle AON$ 度數 ，會顯示 $\angle AON$ 的有向角度
  • 勾選 顯示 $\angle AOM$ 度數 ，會顯示 $\angle AOM$ 的有向角度
操作步驟：
  1. 請拖曳 角度滑桿 $\alpha$ 並勾選 顯示 $\angle AOM$ 度數，使得 $\angle AOP = 30\degree$，觀察 $P$、$M$ 兩點的坐標。由圖可知 $\angle AOM = $
    $P$、$M$ 兩點的 $x$ 坐標關係是 ，$y$ 坐標關係是
  2. 請拖曳 角度滑桿 $\alpha$ 並勾選 顯示 $\angle AON$ 度數 ，使得 $\angle AOP = 30\degree$，觀察 $P$、$N$ 兩點的坐標，由圖可知 $\angle AON = $
    $P$、$N$ 兩點的 $x$ 坐標關係是
    $y$ 坐標關係是
  • 依據廣義角的三角比定義：
    若 $P\left(x,y\right)$ 為標準位置角 $\theta$ 終邊上異於原點的點，且 $\overline{OP} = r = \sqrt{x^2 + y^2}$，則： $$\cos \theta = \frac{x}{r}，\sin \theta = \frac{y}{r}，\tan \theta = \frac{y}{x}，$$ 本操作介面的摩天輪是一個單位圓(半徑為 $1$)。
  1. 拖曳 角度滑桿改變 $\angle AOP= \alpha$ 及勾選 顯示 $\angle AOM$ 度數 ，觀察 $P$、$M$ 兩點坐標及關係，完成下列表格：
    $\angle AOP$ $\angle AOM$ $P$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOP$) $P$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOP$)
    $30\degree$
    $60\degree$
    $\angle AOP$ $\angle AOM$ $M$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOM$) $M$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOM$)
    $30\degree$
    $60\degree$
  2. 拖曳 角度滑桿改變 $\angle AOP= \alpha$ 及勾選 顯示 $\angle AON$ 度數 ，觀察 $P$、$N$ 兩點坐標及關係，完成下列表格：
    $\angle AOP$ $\angle AON$ $P$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AOP$) $P$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AOP$)
    $30\degree$
    $60\degree$
    $\angle AOP$ $\angle AON$ $N$ 點 $x$ 坐標 ($\cos \angle AON$) $N$ 點 $y$ 坐標 ($\sin \angle AON$)
    $30\degree$
    $60\degree$
  1. 當摩天輪車廂到達 $P$ 點 ($\angle AOP = 60\degree$) 時。
    1. $\cos \angle AOM$ 與 $\cos \angle AOP$ 有何關係？
    2. $\sin \angle AOM$ 與 $\sin \angle AOP$ 有何關係？
    3. 若假設 $\angle AOP = \theta$，則
      $\angle AOM =$
      $\cos (90\degree + \theta) = $
      $\sin (90\degree + \theta) = $
  2. 當摩天輪車廂到達 $P$ 點 ($\angle AOP = 60\degree$) 時。
    1. $\cos \angle AON$ 與 $\cos \angle AOP$ 有何關係？
    2. $\sin \angle AON$ 與 $\sin \angle AOP$ 有何關係？
    3. 若假設 $\angle AOP = \theta$，則 $\angle AON = $
      $\cos \left( 90\degree - \theta \right) = $
      $\sin \left( 90\degree - \theta \right) = $