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虛擬學具
GGB Manipulatives
    高中地理課提過，為了描述地理現象在地表上的位置，人們設計了經線和緯線的地理坐標系統。本學具目的是透過 GeoGebra 軟體的 3D 繪圖，將地球球面安置在空間坐標中，除藉此複習經緯線概念外，並學習將經緯度轉換成空間坐標。
    在數學的空間坐標中，與一定點 $O$ 距離為 $R$ 的所有點所形成的圖形稱為「球面」，我們用空間坐標中的球面來表示地球模型。
操作步驟：
  1. 勾選 控制區的 顯示球面 核取方塊，將地球球面置於空間坐標中，原點 $O$ 為球心。
  2. 拖曳 控制區右上方的 透明度 滑桿，可調整球面的透明度。
  3. 拖曳 3D 繪圖區空白處，可任意改變觀看視角。（電腦用滑鼠右鍵，觸控用雙指）
在 3D 繪圖區中，我們用球面為模型來表示地球，原點 $O$ 為球心。地球自轉的軸稱為「地軸」，是一條貫穿南、北兩極的直線，若令 $z$ 軸為地軸，則球面與 $z$ 軸相交的點，分別為「北極」$N$ 點及「南極」$S$ 點。假設球面半徑為 $R$，則：
  1. 「球心」$O$ 點的坐標應為？
  2. 「北極」$N$ 點的坐標應為？
  3. 「南極」$S$ 點的坐標應為？
    人們為了描述地表的位置，設計了經線和緯線的地理坐標系統，在接下來的實驗裡，我們利用空間坐標的球面來理解其幾何意義。
    首先，先來認識何謂經線。在地球表面上，以北極 $N$ 和南極 $S$ 作為直徑的兩個端點所畫出的每個半圓，都稱為「經線」。
    在 1884 年的國際子午線會議中，指定了通過倫敦 格林威治天文臺的經線為「$0$ 度經線」，又名「本初子午線」。$0$ 度經線以東的半球上之經線，稱為「東經線」；以西的半球上之經線，稱為「西經線」。
操作步驟：
  1. 勾選 本初子午線 核取方塊，我們令與 $x$ 軸正向相交的經線令為「$0$ 度經線」，也就是「本初子午線」。
  2. 勾選 指定經線 核取方塊出現指定經線後，拉動上方的 經度 滑桿來指定經度。
  3. 勾選 $0$ 度經線所在半平面 及 指定經線所在半平面 核取方塊，兩半平面所夾之兩面角的度數即為經度。
  4. 點選 $xy$ 平面視角 ，從北極上空正視地球球面，配合 經度 ，當經度取值為 $0°$ 至 $180°$ 之間，稱為「東經線」，取值為 $-180°$ 至 $0°$ 之間，稱為「西經線」。
在數學上，通過球心的平面與球面所截的圓稱為「大圓」；不通過球心的平面與球面所截的圓稱為「小圓」，假設球面半徑為 $R$，觀察並回答下列問題：
  1. 球面的「大圓」半徑為何？
  2. 球面的「小圓」半徑為何？
  3. 經線所在的圓是球面的「大圓」還是「小圓」？
  4. 若「$0$ 度經線」與 $x$ 軸正向交於 $X$ 點，其坐標應為？
  5. 將經度調整至 $120°$ 時，指定經線與 $xy$ 平面交於 $V$ 點，則繪圖區中哪個角也是 $120°$？
  6. 承上，點按 $xy$ 平面視角 按鈕，從北極點上空直視 $xy$ 平面，勾選 輔助長方體 核取方塊，由極坐標的概念可知 $V$ 的坐標為？
操作步驟：
  1. 勾選 全球經緯線 核取方塊，顯示全球經緯線。
  2. 勾選 城市 核取方塊，顯示全球重大城市。
  3. 使用 經度 滑桿來觀察各城市所在經度。
在數學上，通過球心的平面與球面所截的圓稱為「大圓」；不通過球心的平面與球面所截的圓稱為「小圓」，假設球面半徑為 $R$，觀察並回答下列問題：
  1. 觀察台灣台北市（Taipei）所在經度最接近下列哪一經線？
  2. 觀察美國紐約市（NewYork）所在經度最接近下列哪一經線？
  3. 下列哪一城市的經度最接近「東經 $45\degree$」？
  4. 下列哪一城市的經度最接近「西經 $70\degree$」？
接著我們來認識「緯線」。在空間坐標中，垂直地軸（$z$ 軸）的平面與球面所截的圓，稱為「緯線」。
操作步驟：
  1. 勾選 指定緯線所在平面 核取方塊，顯示與地軸垂直的平面。
  2. 用 緯度 滑桿來移動平面位置。
  3. 勾選 指定緯線 核取方塊，觀察平面與球面所截之緯線。
在數學上，通過球心的平面與球面所截的圓稱為「大圓」；不通過球心的平面與球面所截的圓稱為「小圓」，假設球面半徑為 $R$，觀察並回答下列問題：
  1. 當垂直地軸（$z$ 軸）的平面愈靠近球心時，其與球面所截之緯線半徑會如何？
  2. 承上，緯線是球面上的「大圓」還是「小圓」？
    上述唯一的大圓緯線稱為「$0$ 度緯線」，也稱為「赤道」，此時赤道所在的平面稱為赤道面，亦即 $xy$ 平面。其餘的小圓緯線在赤道以北的稱為「北緯線」，其緯度取值為 $0\degree$ 至 $90\degree$ 之間，以南的稱為「南緯線」，其緯度取值為 $-90\degree$ 至 $0\degree$ 之間。
    勾選 城市 核取方塊，顯示全球重大城市，使用 緯度 滑桿來觀察各城市所在緯度。？
  1. 觀察中國北京市（Beijing）所在緯度最接近下列哪一緯線？
  2. 觀察澳洲雪梨市（Sydney）所在緯度最接近下列哪一緯線？
  3. 下列哪一城市的緯度最接近「北緯 $15\degree$」？
  4. 下列哪一城市的緯度最接近「南緯 $25\degree$」？
有了「經線」與「緯線」之後，地球上除了南、北極不談經、緯度外，其餘各地方都可以用經、緯度表示其位置。藉由接下來的實驗操作，我們來學習如何將球面的經緯度轉換成空間坐標。
操作步驟：
  1. 勾選 指定經線，並將 經度 調整為正 $120°$，則球面上的藍色半圓代表「東經 $120°$」。
  2. 勾選 指定緯線，並將 緯度 調整為正 $30°$，則球面上的紅色圓代表「北緯 $30°$」。
  3. 指定經線與指定緯線的交點 $P$ 點即為「東經 $120°$，北緯 $30°$」所在位置。
  4. 勾選 輔助長方體 核取方塊以顯示輔助用圖形。
  5. 調低或隱藏球面的透明度，以利觀察。
在半徑為 $R$ 的球面上，點 $P$ 位於球面「東經 $120°$，北緯 $30°$」的位置。若 $P$ 在赤道面的垂足為 $H$，此時 $\overline{OP}$ 與赤道面的夾角 $\angle{POH}=30\degree$ 即為 $P$ 的緯度。
  1. 調整視角觀察直角三角形 $\triangle{OPH}$，其斜邊 $\overline{OP}$ 恰為球半徑 $R$，則邊長 $\overline{PH}=$？
  2. 若 $P$ 在 $z$ 軸的垂足為 $C$，則他們的 $z$ 坐標皆為？
  3. 直角 $\triangle{OPH}$ 中，邊長 $\overline{OH}=$？
  4. 點按 $xy$ 平面視角 按鈕，從北極點上空直視赤道 $xy$ 平面，試問北緯 $30\degree$ 線的半徑為何？
  5. $P$ 在赤道 $xy$ 平面的垂足為 $H$，根據經度的定義，此時 $\angle{XOH}=120\degree$，由極坐標的概念可知 $H$ 的坐標為？
  6. 綜上，$P$ 點的空間坐標應為？
  7. 總結前面實驗活動及觀察記錄可知，在半徑為 $R$ 的球面上，位於「經度 $\alpha$，緯度 $\beta$」的球面 $P$ 點，其空間坐標為？