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某地區 12 歲以上人口中吸煙的比率為 28%。 今將 12 歲以上人口區分為中老年、青壯年及青少年三類， 所佔比率各為 30%、45% 及 25%。已知中老年與青壯年人口中吸煙的比率各為 25% 與 30%，請問青少年人口中吸煙的比率為多少？ 選出正確的選項：

(1) 24%        (2) 28%        (3) 32%        (4) 36%         (5) 40%

說明:這是機率統計中有關比率的問題, 大部分同學對此類問題應都沒有問題. 特別要討論這個題目是因為想趁此機會談一些有關比率的概念. 雖然比率我們常用百分比來表示, 大家常將它視為分數來運算. 嚴格來說若談比率就不應把它當成有理數來運算. 例如棒球中每位選手的打擊率指的是該球員打出的安打數對其出場打擊的次數所佔的比率. 若一位球員第一場球賽打擊率為 40%; 第二場球賽的打擊率為 20%, 我們並不能依這些數據得知他兩場比賽合起來的打擊率為何, 除非我們知道他這兩場比賽各出場幾次. 例如若兩場皆出場 5 次, 那麼他第一場的安打數是 5×(4/10) = 2 而第二場的安打數是 5×(2/10) = 1 所以兩場合起來的打擊率是 (2 + 1)/(5 + 5), 即 30%. 但如果第一場出場 5 次, 第二場出場 10 次, 那麼他第一場的安打數是 5×(4/10) = 2 而第二場的安打數是 10×(2/10) = 2 所以兩場合起來的打擊率是 (2 + 2)/(5 + 10), 即約 27%. 由此可以看出光由兩場各別的打擊率是無法得知兩場合起來的打擊率, 這就是剛才提到比率是無法如有理數直接運算的意思. 不過這樣的說法也有例外, 也就是當兩場打擊率都相同時, 不管兩場比賽的出場次數為何, 合起來的打擊率依然不變. 這是因為若兩場的打擊率皆為 r, 而分別出場 m 和 n 次, 則合起來的打擊率是

$${\frac{rm+rn}{m+n}}$$ = r.

讓我們回到題目. 如果中老年、青壯年及青少年的人數分別為 a, b, c 而吸菸比率分別為 r₁, r₂, r₃, 則依定義此地區 12 歲以上人口中吸煙的比率為

$${\frac{r_1a+r_2b+r_3c}{a+b+c}} {\frac{a}{a+b+c}} {\frac{b}{a+b+c}} {\frac{c}{a+b+c}}$$ (96.6)

而 a/(a + b + c), b/(a + b + c), c/(a + b + c) 依定義分別為此地區老年、青壯年及青少年所佔 12 歲以上人口比率, 所以若知各類的吸菸比率及所佔人口比率就可得合起來的吸菸比率. 此題是不知其中一類(即青少年)的吸菸比率想由已知全區的吸菸比率反推其比率, 感覺起來較不合情境, 不過數學題目常這樣考我們已經見怪不怪了. 所以此題只要設 r₃ 為未知數, 將相關的數據 ( r₁ = 25/100, r₂ = 30/100, a/(a + b + c) = 30/100, b/(a + b + c) = 45, c/(a + b + c) = 25/100, r = 28/100) 代入式子 (96.6) 解方程式求 r₃ 即可. 比較擔心的是同學沒想到或忘了式子 (96.6) 可化成各類人口比率的形式, 而想先得到各類人口數再依比率的定義求解, 就會誤以為條件不足 (因不知此地區 12 歲以上人口數). 其實此時只要再設一個未知數, 即 12 歲以上人口數為 N, 則可得此地區老年、青壯年及青少年的人口數分別為 a = 30N/100, b = 45N/100, c = 25N/100, 再利用比率的定義依然會發現 N 是可以消掉的. 大家經常將要解的東西設為未知數, 其實設未知數不是要求解的東西的專利, 有時設未知數有類似畫輔助線的功效, 很多問題可以迎刃而解. 另外值得一提的是比率問題也可以用機率的觀點解讀. 若同學對條件機率了解的話, 此題可看成已知從 12 歲以上人口中抽出吸煙者的機率為 28% 而又知從 12 歲以上人口中抽出中老年、青壯年及青少年的機率為 30%、45% 及 25%. 最後已知從中老年與青壯年中抽出吸煙者的機率各為 25% 與 30%, 求從青少年人口中抽出吸煙者的機率為多少. 若假設從青少年人口中抽出吸煙者的機率為 p, 利用條件機率的觀點大家很容易列出

$$\bigl($$$${\textstyle\frac{30}{100}}$$×$${\textstyle\frac{25}{100}}$$$$\bigr)$$ + $$\bigl($$$${\textstyle\frac{45}{100}}$$×$${\textstyle\frac{30}{100}}$$$$\bigr)$$ + $$\bigl($$$${\textstyle\frac{25}{100}}$$×p$$\bigr)$$ = $${\textstyle\frac{28}{100}}$$,

而求得 p.