The symmetric group of degree n

前面提過 A(S) 這一個 group 只和 S 的元素個數有關. 今若 S 有 n 個元素, 那麼我們不妨考慮 S = {1, 2,..., n} 這一個集合. 此時我們將 A(S) 也就是從 {1, 2,..., n} 到 {1, 2,..., n} 所有 1-1 且 onto 的函數所成的集合特別記做 S_n, 稱之為 the symmetric group of degree n. Cayley's Theorem 告訴我們所有 order 為 n 的 group 都會 isomorphic 到 S_n 的某一個 subgroup, 所以研究 S_n 顯得特別重要.

從 {1, 2,..., n} 到 {1, 2,..., n} 所有 1-1 且 onto 的函數到底有多少個呢? 相信大家在高中都已學過了. 先考慮 1 可以送到什麼? 結果有 n 種選擇, 不過因 1 已選擇去哪個數了, 因要求一對一, 2 只剩下 n - 1 個選擇. 由此繼續下去我們得知 S_n 的 order.

Lemma 3.4.2  

| S_n| = n ^. (n - 1) ^... 2 ^. 1 = n!.

一般談 S_n 我們是不談 n = 1 和 n = 2 的狀況: 因 S₁ 只有一個元素, 所以只有 identity. 而 S₂ 只有 2 個元素, 一定是 cyclic. 所以我們以後只談 n$\ge$3 的狀況.

要討論 S_n 我們當然要想個法子將其元素表示出來. 例如在 S₅ 中若 $\sigma$ 是將 1 $\mapsto$ 2, 2 $\mapsto$ 3, 3 $\mapsto$ 1, 4 $\mapsto$ 5 及 5 $\mapsto$ 4, 則我們可以用

$$\sigma \left(\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>33 }\right. \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>33 }\right)$$ (3.1)

來表示. 而

$$\tau \left(\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>35 }\right. \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>35 }\right)$$ (3.2)

表示 $\tau$ 將 1 $\mapsto$ 3, 2 $\mapsto$ 4, 3 $\mapsto$ 5, 4 $\mapsto$ 1 且 5 $\mapsto$ 2. 那麼 $\sigma$o$\tau$ 是甚麼呢? 因為 $\tau$ 將 1 $\mapsto$ 3, 而 $\sigma$ 將 3 $\mapsto$ 1 所以合成起來得 $\sigma$o$\tau$ 將 1 $\mapsto$ 1. 而 $\tau$ 將 2 $\mapsto$ 4, $\sigma$ 將 4 $\mapsto$ 5 故 $\sigma$o$\tau$ 將 2 $\mapsto$ 5. 同理一個一個計算下去我們可得

$$\sigma \tau \left(\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>37 }\right. \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \\ \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>37 }\right)$$ (3.3)

同理考慮 $\tau$o$\sigma$ 可得

$$\tau \sigma \left(\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>39 }\right. \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>39 }\right)$$ (3.4)

由式子 (3.3) 和 (3.4) 知 $\sigma$o$\tau$$\ne$$\tau$o$\sigma$ 所以 S₅ 不是 abelian. 事實上對於所有的 n$\ge$3, S_n 都不是 abelian.

當 $\sigma$,$\tau$ $\in$ S_n, 由於 $\sigma$, $\tau$ 都是函數, 其乘法就是函數的合成. 為了方便起見以後我們不再用 $\sigma$o$\tau$ 表示其合成而用 $\sigma$ ^. $\tau$ 取代.