一些 cycles 的運算

我們曾經提過 cycles 如何相乘, 由於有一些型態的 cycles 的運算以後經常會出現, 在這裡我們將其整理出來以方便以後使用.

Conjugation 是一種運算, 若 a $\in$ G, 則對任意的 x $\in$ G, x ^. a ^. x^-1 就稱為 a 的一個 conjugate. 在 S_n 中, 若 $\sigma$ = $\sigma_{1}^{}$ ^... $\sigma_{r}^{}$ 是 $\sigma$ 的一個 disjoint cycle decomposition, 則對任意的 $\tau$ $\in$ S_n 我們有

$$\tau$$ ^. $$\sigma$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = $$\tau$$ ^. ($$\sigma_{1}^{}$$ ^... $$\sigma_{r}^{}$$) ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = ($$\tau$$ ^. $$\sigma_{1}^{}$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$) ^... ($$\tau$$ ^. $$\sigma_{r}^{}$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$).

因此要算出這一個 conjugate 我們只要算出每一個 cycle 的 conjugate 為何即可.

Lemma 3.4.10   若

$$\sigma$$ = (a₁  a₂  ^...  a_{k - 1}  a_k)

是 S_n 中的一個 k-cycle. 則對任意的 $\tau$ $\in$ S_n, $\tau$ ^. $\sigma$ ^. $\tau^{-1}_{}$ 是一個 k-cycle 且

$$\tau$$ ^. $$\sigma$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = $$\bigl($$$$\tau$$(a₁)   $$\tau$$(a₂)  ^...  $$\tau$$(a_{k - 1})   $$\tau$$(a_k)$$\bigr)$$.

証 明. 首先注意因 (a₁  ^...  a_k) 是一個 k-cycle, 這些 a_i 都相異, 再利用 $\tau$ $\in$ S_n 是 1-1 所以 $\tau$(a_i) 也都相異. 因此 ($\tau$(a₁)  ^...  $\tau$(a_k)) 確實是一個 k-cycle.

令 $\delta$ = $\bigl($$\tau$(a₁)  ^...  $\tau$(a_k)$\bigr)$, 要證明 $\tau$ ^. $\sigma$ ^. $\tau^{-1}_{}$ = $\delta$, 我們只要證明對所有 x $\in$ {1,..., n}, $\tau$($\sigma$($\tau^{-1}_{}$(x))) 和 $\delta$(x) 相同就好.

若 x $\not\in${$\tau$(a₁),...,$\tau$(a_k)} 則 $\tau^{-1}_{}$(x) $\not\in${a₁,..., a_k}, 故得 $\sigma$($\tau^{-1}_{}$(x)) = $\tau^{-1}_{}$(x). 因此

$$\tau$$($$\sigma$$($$\tau^{-1}_{}$$(x))) = $$\tau$$($$\tau^{-1}_{}$$(x)) = x,

然而 x $\not\in${$\tau$(a₁),...,$\tau$(a_k)}, 故 $\delta$(x) = x. 所以在這情況下它們的作用相同.

若 x = $\tau$(a₁) 則

$$\tau$$($$\sigma$$($$\tau^{-1}_{}$$(x))) = $$\tau$$($$\sigma$$(a₁)) = $$\tau$$(a₂)

且 $\delta$(x) = $\delta$($\tau$(a₁)) = $\tau$(a₂). 同理得對所有的 x $\in$ {$\tau$(a₁),...,$\tau$(a_k)}, $\tau$ ^. $\sigma$ ^. $\tau^{-1}_{}$ 和 $\delta$ 對 x 的作用都相同. 因此知在 S_n 中它們是相同的元素. $\qedsymbol$

Example 3.4.11   若 $\sigma$ = (1  2  3)(4  5), 而 $\tau$ = (3  4) 則

$$\tau \sigma \tau^{-1}_{} \tau \tau^{-1}_{} \tau \tau^{-1}_{}$$ =

$$\bigl( \tau \tau \tau \bigr) \bigl( \tau \tau \bigr)$$ =

= (1   2  4)(3   5)

另一種常見的運算是 S_n 中的一個 2-cycle 和另一元素的乘法. 我們看兩種基本的形式.

Lemma 3.4.12   令 $\tau$ = (a   b) 是 S_n 中的一個 2-cycle.

1. 若 $\sigma$ = (a  a₂  ^...  a_k) 是一個 S_n 中的 k-cycle, 其中 a₂,..., a_k$\ne$b, 則
   $$\tau$$ ^. $$\sigma$$ = (a  a₂  ^...  a_k  b)

2. 若 $\sigma$ = (a  a₂  ^...  a_k  b  b₂  ^...  b_l) 是一個 S_n 中的 k + l-cycle, 則
   $$\tau$$ ^. $$\sigma$$ = (a  a₂  ^...  a_k)(b  b₂  ^...  b_l)

証 明. (1) 當 $\sigma$ = (a  a₂  ^...  a_k) 時, 若 x $\in$ {1,..., n} 但 x $\not\in${a, a₂,..., a_k, b}, 則 ($\tau$ ^. $\sigma$)(x) = $\tau$(x) = x, 故 x 不回出現在 $\tau$ ^. $\sigma$ 的 disjoint cycle decomposition 中. 若 x $\in$ {a, a₂,..., a_{k - 1}}, 則 $\sigma$(x) $\not\in${a, b}, 故 ($\tau$ ^. $\sigma$)(x) = $\sigma$(x). 故可寫下

(a  a₂  ^...  a_k

而當 x = a_k 時 ($\tau$ ^. $\sigma$)(a_k) = $\tau$($\sigma$(a_k)) = $\tau$(a) = b, 故可繼續寫下

(a  a₂  ^...  a_k  b

最後因 ($\tau$ ^. $\sigma$)(b) = $\tau$($\sigma$(b)) = $\tau$(b) = a, 故可得一個 cycle

(a  a₂  ^...  a_k  b)

由於我們已考慮 $\tau$ ^. $\sigma$ 對所有 x $\in$ {1,..., n} 的作用故可得

(a   b)(a  a₂  ^...  a_k) = (a  a₂  ^...  a_k  b) (3.7)

(2) 同前面, 當 x $\not\in${a, a₂,..., a_k, b, b₂,..., b_l} 時, ($\tau$ ^. $\sigma$)(x) = $\tau$(x) = x, 故 x 不回出現在 $\tau$ ^. $\sigma$ 的 disjoint cycle decomposition 中. 若 x $\in$ {a, a₂,..., a_{k - 1}}, 則 $\sigma$(x) $\not\in${a, b}, 故 ($\tau$ ^. $\sigma$)(x) = $\sigma$(x). 故可寫下

(a  a₂  ^...  a_k

而當 x = a_k 時 ($\tau$ ^. $\sigma$)(a_k) = $\tau$($\sigma$(a_k)) = $\tau$(b) = a, 故可得一個 cycle

(a  a₂  ^...  a_k)

然而這還並不一定是 $\tau$ ^. $\sigma$ 因為還有 x $\in$ {b, b₂,..., b_l} 的情況未討論. 事實上同前一情況此時我們可得另一 cycle

(b  b₂  ^...  b_l)

因我們已考慮完所有的 x $\in$ {1,..., n} 故得

(a   b)(a  a₂  ^...  a_k  b  b₂  ^...  b_l) = (a  a₂  ^...  a_k)(b  b₂  ^...  b_l) (3.8)

$\qedsymbol$

Remark 3.4.13   在式子 () 中若在等式兩邊乘上 $\tau$ , 則因 $\tau^{2}_{}$ 是 identity, 我們有

$$\sigma$$ = $$\tau$$ ^. ($$\tau$$ ^. $$\sigma$$) = $$\tau$$ ^. (a  a₂  ^...  a_k)(b  b₂  ^...  b_l)

換句話說得到另一個有用的式子

(a   b)(a  a₂  ^...  a_k)(b  b₂  ^...  b_l) = (a  a₂  ^...  a_k  b  b₂  ^...  b_l) (3.9)