證明 Cauchy's Theorem 所用的 group action

Cauchy's Theorem 有許多種的證明, 大部分都是用 group action 來處理. 而我們這裡要介紹的證明最簡明, 唯一的缺憾是所用的 group action 很特別. 不過我們曾提過, 我們不要把重點放在如何想到用這種 group action, 而是把重點放在如何利用這種 group action 所得的結果.

設 m $\in$ $\mathbb {N}$ 是一個正整數, 令 H 是 S_m 中由 (1  2  ^...  m) 這一個 m-cycle 所產生的 cyclic subgroup. 給定一個 group G, 我們考慮以下的一個集合 S:

S = {(a₁, a₂,..., a_m) $$\in$$ G^m | a₁ ^. a₂ ^... a_m = e}.

也就是說每一個 S 中的元素是由 m 個 G 中的元素所形成, 不過這 m 個元素是有次序性的, 而且按照這次序相乘的乘積是 identity.

現在我們要定義一個 H 對 S 的 group action. 任取 $\rho$ $\in$ H, x $\in$ S. 我們定義 $\rho$*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第 $\rho$(i) 個位置, 也就是將第 1 個位置的放在第 $\rho$(1) 個位置, ...依此類推. 例如若 $\sigma$ = (1  2  ^...  m), 任取 x = (a₁, a₂,..., a_m) $\in$ S. 我們有

$$\sigma$$*x = (a_m, a₁, a₂,..., a_{m - 1}).

也就是 $\sigma$*x 是將原來 x 的第一個位置的元素放在第二個位置, 第二個位置的放在第三個, 依此類推, 最後因為 $\sigma$ 是將 m $\mapsto$ 1, 故 $\sigma$*x 是將原來 x 第 m 個位置的元素放到第一個位置.

要證明 (H, S,*) 是一個 group action, 我們首先證明 (Act3). 若 $\rho$,$\tau$ $\in$ H, 對任意的 x $\in$ S, $\rho$*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第 $\rho$(i) 個位置; 而 $\tau$*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第 $\tau$(i) 個位置. 因此 $\tau$*($\rho$*x) 是將原來 $\rho$*x 的第 $\rho$(i) 個位置的元素放在第 $\tau$($\rho$(i)) 個位置. 但 $\rho$*x 的第 $\rho$(i) 個位置的元素是原來 x 的第 i 個位置的元素, 因此知 $\tau$*($\rho$*x) 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第 $\tau$($\rho$(i)) 個位置. 而按照定義 ($\tau$ ^. $\rho$)*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第 ($\tau$ ^. $\rho$)(i) = $\tau$($\rho$(i)) 個位置. 因為這是對所有的 i $\in$ {1,..., m} 都對故得 $\tau$*($\rho$*x) = ($\tau$ ^. $\rho$)*x.

接下來證明 (Act1). 因為 H 是由 $\sigma$ = (1  2  ^...  m) 產成的 cyclic group, 故任意的 $\rho$ $\in$ H 都是 $\sigma^{j}_{}$ 這種形式, 其中 j $\in$ $\mathbb {N}$. 因此若我們證得對任意的 x $\in$ S 皆有 $\sigma$*x $\in$ S, 則由於 (Act3) 知 $\sigma^{2}_{}$*x = $\sigma$*($\sigma$*x) (別忘了我們已證明了 (Act3)), 故可得 $\sigma^{2}_{}$*x $\in$ S. 依此用數學歸納法就可得對任意的 j $\in$ $\mathbb {N}$ 皆有 $\sigma^{j}_{}$*x $\in$ S. 所以現在我們只要證明若 x = (a₁, a₂,..., a_{m - 1}, a_m) $\in$ S 則 $\sigma$*x $\in$ S. 前面我們已知 $\sigma$*x = (a_m, a₁, a₂,..., a_{m - 1}), 由於這些 a_i 皆在 G 中, 要證明 $\sigma$*x $\in$ S, 我們只要證明 a_m ^. a₁ ^. a₂ ^... a_{m - 1} = e 就可. 已知 x = (a₁, a₂,..., a_{m - 1}, a_m) $\in$ S, 因此 (a₁ ^. a₂ ^... a_{m - 1}) ^. a_m = e. 換句話說 a₁ ^. a₂ ^... a_{m - 1} = a_m^-1. 由於 G 是一個 group, a_m ^. a_m^-1 = a_m^{-1 .} a_m = e, 所以我們有 a_m ^. a_m^-1 = a_m ^. (a₁ ^. a₂ ^... a_{m - 1}) = e. 故知 $\sigma$*x $\in$ S.

最後我們證 (Act2). 若 I $\in$ H 是 H 的 identity, 則由定義知 I(i) = i, $\forall$ i $\in$ {1,..., m}. 所以由我們定的作用知 I*x 是將 x 的第 i 個位置的元素放在第 i 個位置. 換句話說對所有的 x $\in$ S, I*x = x.

好了, 我們已知 (H, S,*) 是一個 group action. 現在來看看 S 有多少個元素. 若 | G| = n, 如果 S 的元素只是要求是 (a₁,..., a_m) 這種形式, 由於每一個座標可以任填 G 中的元素, 所以 S 共有 n^m 個元素. 不過我們的 S 還有另一個條件就是 a₁ ^. a₂ ^... a_{m - 1} ^. a_m = e. 所以前面 m - 1 個座標我們可以任填 G 中的元素 a₁,..., a_{m - 1} 只要在第 m 個位置填上 (a₁ ^... a_{m - 1})^-1 就可. 因為每一個 S 的元素都可以用這種方法得到, 所以知

| S| = n^{m - 1}. (4.2)

最後我們來討論 S₀ 是由哪些元素組成. 若 x = (a₁, a₂,..., a_{m - 1}, a_m) $\in$ S₀, 表示 $\sigma$*x = x. 不過已知 $\sigma$*x = (a_m, a₁,..., a_{m - 1}), 故得

a_m = a₁,  a₁ = a₂,...,  a_{m - 1} = a_m.

換句話說

a₁ = a₂ = ^... = a_{m - 1} = a_m.

也就是說 S₀ 的元素必須是 (a, a,..., a) 這種形式, 但並不是任意的 a $\in$ G 都可以; 別忘了 S₀ $\subseteq$ S, 故 (a, a,..., a) $\in$ S 的條件告訴我們 a^m = e. 反之我們很容易檢驗若 x = (a, a,..., a), 其中 a^m = e, 則 x $\in$ S₀. 所以我們得

$$\in \in$$ (4.3)

最後我們強調因 e^m = e, 故 (e, e,..., e) $\in$ S₀. 也就是說 S₀ 是非空的, 即

$$\ge$$ (4.4)