Cauchy 定理

我們現在用前面介紹的 group action 證明 Cauchy's Theorem. 再次強調前面的 G 並沒有要求 abelian, 所以我們的証明適用於一般的 group.

Theorem 4.2.1 (Cauchy's Theorem)   若 G 是一個 group 且 p 整除 G 的個數, 其中 p 是一個質數, 則存在 a $\in$ G 滿足 ord(a) = p.

証 明. 我們利用前面介紹的 group action, 這裡我們令 m = p, H 是 S_p 中由 (1  2   ^...   p) 這一個 p-cycle 所產生的 cyclic subgroup. 而

S = {(a₁,..., a_p) $$\in$$ G^p | a₁ ^. a₂ ^... a_p = e}.

若 | G| = n 利用前面式子 (4.2) 知 | S| = n^{p - 1}, 故由假設 p | n 得 p 整除 | S|. 也就是說

$$\equiv$$ (4.5)

由 lemma 3.4.7 知 (1  2  ^...  p) 這一個 p-cycle 的 order 為 p, 故知 | H| = p. 也就是說 H 是一個 p-group. 因此利用 Proposition 4.1.4 和式子 (4.5) 知

| S₀| $$\equiv$$ | S| $$\equiv$$ 0(mod p).

也就是說 p 整除 | S₀|. 不過由式子 (4.4) 知 | S₀|$\ge$1, 再加上 p 整除 | S₀|, 也就是 | S₀| 是 p 的倍數且不是 0. 因此我們知

| S| > 1.

換句話說 S₀ 中除了已知的 (e, e,..., e) 這個元素外還有其他的元素. 由式子 (4.3), 我們知道在這些元素都是 (a, a,..., a) 這種形式, 且 a^p = e. 因此得 a$\ne$e 且 a^p = e, 也就是說 ord(a) = p. $\qedsymbol$

回顧一下從前我們先證明了在 abelian group 情形下的 Cauchy 定理, 再利用它證得 abelian group 的 Sylow 定理. 將來我們也會用這一般 group 的 Cauchy 定理證明一般 group 的 Sylow 定理.