Sylow p-subgroup 的存在性

回顧一下: 若 | G| = pⁿm, 其中 p 是一個質數且 p$\nmid$m. 如果 H 是 G 的一個 p-subgroup 且其 order 為 pⁿ, 則我們稱 H 是 G 的一個 Sylow p-subgroup. 第一個 Sylow 定理是說 G 中一定存在一個 Sylow p-subgroup. 事實上我們將證明比這更強一點的定理.

Theorem 4.4.2 (First Sylow's Theorem)   若 G 是一個 group 且 | G| = pⁿm, 其中 n$\ge$1, p 是一個質數且 p$\nmid$m.

1. 若在 G 中存在一個 subgroup H 其 order 為 p^r 其中 1$\le$r$\le$n - 1, 則在 G 中可找到一個 subgroup K 其 order 為 p^{r + 1} 且 H 是 K 的 normal subgroup.

2. G 中存在一個 subgroup P 其 order 為 pⁿ, 也就是說 G 中存在 Sylow p-subgroup.

証 明. (1) 我們考慮如前面提的 action 將 H 作用在 S = {a ^. H | a $\in$ G}. 式子 (4.10) 告訴我們

| S| = | G|/| H| = pⁿm/p^r = p^{n - r}m.

故由 r < n 知

$$\equiv$$ (4.14)

由於 H 是 p-group, 利用 Proposition 4.1.4 和式子 (4.14) 知

$$\equiv \equiv$$ (4.15)

不過由 Lemma 4.4.1 知 H 是 N(H) 的 normal subgroup, 所以我們可以考慮 G' = N(H)/H 這一個 quotient group. 因為 | G'| = | N(H)|/| H|, 故式子 (4.12) 告訴我們 | G'| = | S₀|. 所以利用式子 (4.15) 知 p 整除 | G'|. 對 G' 使用 Cauchy 定理知在 G' 中存在一個 subgroup K' 其 order 為 p. 然而 G' = N(H)/H 利用 Correspondence 定理 (Corollary 2.7.3) 知 N(H) 中存在一個 subgroup K 符合 H $\subseteq$ K 且 K' = K/H. 故

| K| = | K'| ^. | H| = p ^. p^r = p^{r + 1}.

又因為 H $\subseteq$ K $\subseteq$ N(H), 且 H 在 N(H) 中 normal, 所以當然 H 在 K 中 normal (見 Remark 2.4.2 (1)).

(2) 我們要利用 (1) 來證明 Sylow p-subgroup 是存在的. 首先因 p 整除 | G| 故由 Cauchy 定理知 G 中存在一個 subgroup H₁ 其 order 為 p. 如果 n = 1, 則證明完成. 否則因 1$\le$n - 1 利用 (1) 得到 G 的 subgroup H₂ 其 order 為 p². 如此一直下去直到我們得到一個 G 的 subgroup 其 order 為 pⁿ. $\qedsymbol$

Theorem 4.4.2 告訴我們可以由一個小一點的 p-subgroup H 往上找到大一點的 p-subgroup K 且 H 是 K 的 normal subgroup. 而 Proposition 4.3.4 是說我們可以由一個大一點的 p-subgroup k 往下找到小一點的 p-subgroup h 且 H 是 K 的 normal subgroup. 希望大家能分辨其不同.