Another group action on left coset

前一節證明 First Sylow's Theorem 我們是用 H 對 G 中 H 的 left coset 作用. 這裡我們考慮 H 對 G 中令一個 subgroup P 的 left coset 作用.

若 G 是一個 finite group, H 和 P 是 G 的 subgroups. 令 S = {a ^. P | a $\in$ G} 是 G 中 P 的 left coset 所成的集合. 我們定義 H 對 S 的作用如下: 對任意的 h $\in$ H, a ^. P $\in$ S, 我們定義

h*(a ^. P) = (h ^. a) ^. P.

利用和前一節相同的證明可知 (H, S,*) 是一個 group action. 同樣的我們也知

$${\frac{\vert G\vert}{\vert P\vert}}$$ (4.16)

而什麼會是 S₀ 呢? 若 a ^. P $\in$ S₀, 則對於所有 h $\in$ H 皆有

(h ^. a) ^. P = h*(a ^. P) = a ^. P.

這告訴我們 a 和 h ^. a 在 P 的分類之下是同類的, 也就是 a^{-1 .} h ^. a $\in$ P. 因為這是對所有的 h $\in$ H 都是對的, 我們可以寫成 a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ P. 因此若 a ^. P $\in$ S₀ 則我們有 a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ P. 反之, 若 a 符合 a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ P, 則 a ^. P $\in$ S₀. 所以我們得到

$$\subseteq$$ (4.17)

這裡我們要說明一件事 (和 Sylow 定理無關只是要釐清觀念). 若我們如前一節收集 G 中的元素 a 符合 a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ P 成為一個集合 {a $\in$ G | a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ P}. 這一個集合並不一定會是 G 的 subgroup (缺封閉性), 而且 P 也不會包含於它 (除非 H $\subseteq$ P). 所以我們沒有如前面幾種 group action 去算 | S₀| 的式子. 不過沒有關係, 在證 Second Sylow's Theorem 時我們不需要直接算 | S₀|.