Sylow p-subgroups 之間的關係

Theorem 4.5.1 (Second Sylow's Theorem) 令 p 是一質數. 若 G 是一個 finite group, 而 P 是 G 的一個 Sylow p-subgroup.

若 H 是 G 的一個 p-subgroup, 則存在 a $\in$ G 使得

H $\displaystyle \subseteq$ a^.P^.a^-1.
若 P' 是 G 的另一個 Sylow p-subgroup, 則存在 a $\in$ G 使得

P' = a^.P^.a^-1.

証明. (1) 我們考慮前面所述 H 對 S = {a^.P | a $\in$ G} 的 group action. 假設 | G| = pⁿm, 其中 p $\nmid$ m. 因 P 是 G 的 Sylow p-subgroup, 由定義知 | P| = pⁿ. 故由式子 (4.16) 知 | S| = | G|/| P| = m. 然而 p $\nmid$ m, 故知 p 不能整除 | S|, 也就是說

| S| $\displaystyle \not\equiv$ 0(mod p).

(4.18)

由假設 H 是一個 p-group, 故由 Proposition 4.1.4 和前一式子 (4.18) 知

| S₀| $\displaystyle \equiv$ | S| $\displaystyle \not\equiv$ 0(mod p).

也就是說 p 不能整除 | S₀|. 這告訴我們 S₀ 是非空的集合; 否則 | S₀| = 0, 這和 p 不能整除 | S₀| 矛盾. 既然 S₀ 是非空的, 所以存在 a $\in$ G 使得 a^.P $\in$ S₀. 故由式子 (4.17) 知 a^{-1 .}H^.a $\subseteq$ P. 這告訴我們 H $\subseteq$ a^.P^.a^-1.

(2) 當 P' 是 G 中另一個 Sylow p-subgroup, 我們直接套用 (1) 的結果知存在 a $\in$ G 使得 P' $\subseteq$ a^.P^.a^-1. 然而 Lemma 1.5.2 告訴我們 | P| = | a^.P^.a^-1|, 且又由定義 | P'| = | P|, 故得 | P'| = | a^.P^.a^-1|. 所以得證 P' = a^.P^.a^-1. $\qedsymbol$

Theorem 4.5.1 告訴我們若在 G 找到一個 Sylow p-subgroup P, 則所有的 Sylow p-subgroup 都是 a^.P^.a^-1, 這種形式. 如果 P 剛好是 G 的一個 normal subgroup, 則知任意的 a $\in$ G 都符合 a^.P^.a^-1 = P, 換句話說 G 只有一個 Sylow p-subgroup. 反之, 若 P 不是 G 的 normal subgroup, 則存在一個 a $\in$ G 使得 a^.P^.a^-1 $\ne$ P. 然而 Lemma 1.5.2 告訴我們 a^.P^.a^-1 是 G 的一個 subgroup, 且 | a^.P^.a^-1| = | P|, 換句話說 a^.P^.a^-1 是 G 中另一個不等於 P 的 Sylow p-subgroup. 故此時 Sylow p-subgroup 並不唯一. 我們證得:

Example 4.5.3 我們知 | A₄| = 4!/2 = 2^{2 .}3. 我們考慮 A₄ 的 Sylow 2-subgroup 和 Sylow 3-subgroup. 已知 A₄ 中有一個 order 4 的 normal subgroup

N = {I,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}.

因為 N 是 A₄ 的 Sylow 2-subgroup, 故知 A₄ 中不會有其他 order 為 4 的 subgroup. 而 (1 2 3) 在 A₄ 中產生的 cyclic subgroup 是 order 3, 故 $\langle$ (1 2 3) $\rangle$ 是 A₄ 的一個 Sylow 3-subgroup. 同理 $\langle$ (1 2 4) $\rangle$ 是另一個 Sylow 3-subgroup. 所以知 $\langle$ (1 2 3) $\rangle$ 不可能是 A₄ 的 normal subgroup.