由 Group 的定義所得的性質

在 Group 的定義中既然我們對其有些特殊的要求, 當然很自然的想看看能否因為這些要求推得一些性質. 簡單的來說我們檢驗一個集合是否為一個 group 只需檢查其是否符合 (GP1) 到 (GP4) 這四項要求, 然而會不會因為符合了這四項要求而讓 group 有其他更多更有用的共通性質呢？答案是有的. 事實上這四項要求就讓 group 有很豐富的結構性質. 將來我們會更進一步的討論這些衍生出來的重要性質. 在這一節我們只討論幾項直接用定義得到的基本性質.

首先我們注意到在 group 的定義中 (GP3) 的性質提到存在一個 identity, 而我們也提到用 e 來表示它. 有警覺性的同學馬上會注意到 something is wrong. 甚麼問題呢？我們並不知道 identity 是否唯一怎們可以這麼快就給它一個代號. 還好, 雖然在 (GP3) 並沒有提及唯一性, 不過以下我們可以發現它的唯一性會自動成立.

在數學中證明一個東西的存在性及唯一性是非常重要的課題, 將來大家會不時的碰到這一類的問題. 一般的同學在碰到存在唯一的證明時往往分不清楚哪個是證明存在哪個是證明唯一, 所以我們將很小心的談論這類的問題.

(GP3)的性質很明顯的就是所謂的存在性. 怎樣用它來得到唯一性呢？一般的直覺證明唯一就是說找不到另外一個元素符合這個性質, 但這是很難直接證明的. 所以幾乎在證明唯一性時我們都用反證法, 也就是說假設找到兩個相異的東西有這個性質我們要證明這是矛盾的. 矛盾這個辭的由來相信大家都知道：有個人在賣矛和盾. 他一下子說他的矛無堅不催可以刺穿所有的盾牌； 一下子又說他的盾堅固無比沒有矛可以刺穿它. 所以有人就問說那你的矛刺你的盾後會怎樣呢？我們就用這以子之矛攻子之盾的方法來證明矛盾. 也就是如果 e 和 e' 是 G 中兩個相異的元素且都符合 identity 的性質, 那麼 e ^. e' 會是什麼呢？

Proposition 1.2.1   若 G 是一個 group, 則 G 中只有唯一的元素會符合 identity 的性質.

証 明. 假設 e 和 e' 是 G 中兩個相異的元素且都符合 identity 的性質, 則考慮 e ^. e'. 因為 e 是 identity 所以 e ^. e' = e'. 另一方面由於 e' 也是 identity 所以 e ^. e' = e. 因此我們得 e = e', 此和原假設 e$\ne$e' 矛盾, 故 G 中僅有一個元素會是 identity. $\qedsymbol$

注意在以上的証明中 e 是乘在左邊而 e' 是在右邊, 也就是說在 (GP3) 中 identity 的性質若只要求對所有的 a $\in$ G 要符合 e ^. a = a (或只要求 a ^. e = a) 則 identity 的唯一性並不一定會對. 所以要謹記 identity 必須要符合 e ^. a = a 且 a ^. e = a.

我們很自然會問：那給定 G 中的任一元素 a, 其 inverse 是否也唯一呢？用類似的方法, 我們有以下之結果：

Proposition 1.2.2   若 G 是一個 group, 則給定 G 中任一元素 a, 在 G 中只有唯一的元素 b 會符合 a ^. b = b ^. a = e.

証 明. 假設 G 中有兩相異元素 b 和 b' 符合 a 的 inverse 之條件. 也就是 a ^. b = b ^. a = e 且 a ^. b' = b' ^. a = e. 則

b = b ^. e = b ^. (a ^. b') = (b ^. a) ^. b' = e ^. b' = b'

此與 b$\ne$b' 矛盾, 故得証. $\qedsymbol$

注意以上之證明我們用到 (GP2) 及 (GP3), 另外 inverse 必須是乘在兩邊都會成 identity. 如果我們對 inverse 的條件只要求 a ^. b = e (或只要求 b ^. a = e) 那麼 inverse 的唯一性定不一定會成立. 所以要謹記若 b 為 a 之 inverse, 則必須符合 a ^. b = e 且 b ^. a = e.

在此再次強調由於 Proposition 1.2.2, 給定一元素 a 我們將記 a^-1 為其 inverse.

事實上 group 有比以上兩個 Propositions 更強的性質：

Theorem 1.2.3   若 G 是一個 group, 給定 G 中任意元素 a 和 b, 則方程式 a ^. x = b 在 G 中有解且其解唯一. 同理, 方程式 y ^. a = b 在 G 中也有唯一解.

証 明. 這就是一個證明存在及唯一的典型例子.

要證明存在性, 我們只要在 G 中真的找到一個元素 c 使得 a ^. c = b. 很容易就知道若令 c = a^{-1 .} b, 則由於 a^-1 $\in$ G 且 b $\in$ G, 由 (GP1) 我們知 c $\in$ G. 然而,

a ^. c = a ^. (a^{-1 .} b) = (a ^. a^-1) ^. b = b

故知 c 是 a ^. x = b 在 G 中的一個解.

好了, 我們找到一個解了如何證明唯一呢？一個同學經常犯的錯誤是說：因為 a^-1 是唯一的所以解 a^{-1 .} b 是唯一的. 這裡出錯的原因是：要證明唯一性就是要你說明為何此解一定是 a^{-1 .} b. 上述的證法並沒有真正回答這個問題. 前面提過要直接證明唯一性是頗困難的, 我們還是用反證法比較好.

假設 c 和 c' 是 G 中方程式 a ^. x = b 的兩個相異的解, 則由 a ^. c = a ^. c' 我們可得 a^{-1 .} (a ^. c) = a^{-1 .} (a ^. c'). 由於 a^{-1 .} (a ^. c) = (a^{-1 .} a) ^. c = c 及 a^{-1 .} (a ^. c') = (a^{-1 .} a) ^. c' = c' 我們得 c = c'. 此與 c$\ne$c' 矛盾, 故得証. $\qedsymbol$

Remark 1.2.4   前面提過, 若我們不知道 G 是否是一個 group 時若要說 G 中的某一元素 a 是 G 的 identity, 我們必需驗證對所有的 g $\in$ G 皆有 g ^. a = a ^. g = g. 不過若已知 G 是一個 group, 那麼 Theorem 1.2.3 告訴我們說: 如果要說明 a 是 G 的 identity, 我們只要在 G 中找到一個元素 b 使得 a ^. b = b (或 b ^. a = b) 就好. 不必驗證 G 中所有的元素 g 都要滿足 g ^. a = a ^. g = g.

利用 Theorem 1.2.3 我們很快的有以下的很基本但也很重要的等式：

Corollary 1.2.5   若 G 是一個 group, 給定 G 中任意元素 a 和 b, 則

(a^-1)^-1 = a    and    (a ^. b)^-1 = b^{-1 .} a^-1.

証 明. 由於 (a^-1)^-1 須符合 a^{-1 .} x = e, 然而已知 x = a 符合此方程式, 故由 Theorem 1.2.3 的唯一性知 (a^-1)^-1 = a.

同理 (a ^. b)^-1 須符合 (a ^. b) ^. x = e, 然而已知 x = b^{-1 .} a^-1 符合此方程式, 故由 Theorem 1.2.3 的唯一性知 (a ^. b)^-1 = b^{-1 .} a^-1. $\qedsymbol$