Prime ideals

在 $\mathbb {Z}$ 中一個質數 p 有一個重要的性質, 即若 p | a ^. b 則 p | a 或 p | b. 注意, p | a 表示 a 是 p 的倍數, 因此用 principle ideal 的看法這表示 a $\in$ $\bigl($p$\bigr)$. 所以我們可以把質數的這個性質表示成: 若 a ^. b $\in$ $\bigl($p$\bigr)$, 則 a $\in$ $\bigl($p$\bigr)$ 或 b $\in$ $\bigl($p$\bigr)$. 因此我們將質數的這一性質推廣成以下這一種很重要的 ideal 的定義.

Definition 6.5.6   令 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個不等於 R 的 ideal. 如果 P 符合: 「對任意 R 中兩個元素 a 和 b 若 a ^. b $\in$ P, 則 a $\in$ P 或 b $\in$ P」, 那麼我們稱 P 是 R 的一個 prime ideal.

有時在證明問題不好直接證明屬於, 我們通常會例用若 a $\not\in$P 且 b $\not\in$P, 則 a ^. b $\not\in$P 這種論述來證明 P 是一個 prime ideal. 例如我們知道兩個奇數相乘不可能成為偶數, 因此馬上可以知道所有偶數所成的 ideal, 即 $\bigl($2$\bigr)$ 是 $\mathbb {Z}$ 的一個 prime ideal. 當然了從前面提過質數的性質我們知道任何質數產生的 principle ideal 皆是整數的 prime ideal.

接下來我們來看一個判斷 R 中的 ideal P 是否為一個 prime ideal 的好方法.

Theorem 6.5.7   若 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個 ideal, 則 P 是 R 的一個 prime ideal 若且唯若 R/P 這個 quotient ring 是一個 integral domain.

証 明. 首先回顧一下: 既然 R 是 commutative ring with 1, 對任意 R 的 ideal I, R/I 這個 quotient ring 也會是一個 commutative ring with 1 (其乘法的 identity 是 $\overline{1}$). 因此要說 R/P 是一個 integral domain, 我們只要說明 R/P 中沒有 zero divisor 即可.

盒眾] P 是一個 prime ideal. 對任意 R/P 的非 $\overline{0}$ 的元素都可以寫成 $\overline{a}$, 其中 a $\in$ R 但 a $\not\in$P. 要說 $\overline{a}$ 不是 R/P 中的 zero divisor, 等於是說對任意 R/P 中非 $\overline{0}$ 的元素 $\overline{b}$ 皆不可使得 $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ = $\overline{0}$. 然而 $\overline{b}$$\ne$$\overline{0}$, 表示 b $\not\in$P. 既然 a, b 都不屬於 P, 由 P 是 prime ideal 的假設, 我們得 a ^. b $\not\in$P. 也就是說

$$\overline{a}$$ ^. $$\overline{b}$$ = $$\overline{a\cdot b}$$$$\ne$$$$\overline{0}$$.

因此 R/P 是一個 integral domain.

反之, 若 R/P 是一個 integral domain, 即任取 $\overline{a}$, $\overline{b}$ $\in$ R/P 符合 $\overline{a}$$\ne$$\overline{0}$ 且 $\overline{b}$$\ne$$\overline{0}$, 都會有 $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$$\ne$$\overline{0}$. 換句話說: 如果 a $\not\in$P 且 b $\not\in$P, 則 a ^. b $\not\in$P. 故知 P 是一個 prime ideal. $\qedsymbol$

因為 R/$\bigl($0$\bigr)$ $\simeq$ R 故利用 Lemma 6.5.7 我們有以下這個有趣的結果:

Corollary 6.5.8   若 R 是一個 commutative ring with 1, 則 R 是一個 integral domain 若且唯若 $\bigl($0$\bigr)$ 是 R 的 prime ideal.