求 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$

我們首先探討 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ 的取值情形. 或許大家會疑惑當 a 是一個負整數時, 一定可以找到一正整數 b 使得 a $\equiv$ b(mod p), 因此利用 Lemma 5.3.2(2) 我們有 $\left(\vphantom{\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}\right)$ = $\left(\vphantom{\dfrac{{b}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{b}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{b}}{\,{p}\,}}\right)$, 所以只要探討正整數的情況就好了為何還要考慮負的情況呢? 沒錯, 一般來說我們只要知道正整數的情形就足夠了, 不過考慮負整數也有其方便性. 例如我們要求 $\left(\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right.$${\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right)$. 因為 97 $\equiv$ - 4 = (- 1)×2²(mod 101), 利用 Lemma 5.3.2 以及 Proposition 5.3.5 馬上可得 $\left(\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right.$${\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right)$ = $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}\right)$. 另一方面在 modulo p 之下是否有元素像複數中的 i 一樣滿足 i² = - 1 原本也就是一個有趣的問題. 所以了解 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ 之值事實上是必要的.

Euler's Criterion 雖然在算一般的 $\left(\vphantom{\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{a}}{\,{p}\,}}\right)$ 不是很好用, 不過在算 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ 就很好用了.

Theorem 5.4.1   假設 p 是奇質數, 則

$$\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$$$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$$ = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1, & \hbox{當 $p\equiv 1\pmod{4};$} \\ -1, & \hbox{當 $p\equiv -1\pmod{4}.$} \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ll} 1, & \hbox{當 $p\equiv 1\pmod{4};$} \\ -1, & \hbox{當 $p\equiv -1\pmod{4}.$} \\ \end{array}$$

証 明. 利用 Corollary 5.3.4 我們知

$$\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$$$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$$ $$\equiv$$ (- 1)^{${\frac{p-1}{2}}$}(mod p).

若 p $\equiv$ 1(mod 4), 表示存在 k $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 p = 4k + 1, 故得 (- 1)^{(p - 1)/2} = (- 1)^2k = 1. 因此得證 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ = 1. 若 p $\equiv$ - 1(mod 4), 表示存在 k $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 p = 4k - 1, 故得 (- 1)^{(p - 1)/2} = (- 1)^{2k - 1} = - 1. 因此得證 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ = - 1. $\qedsymbol$

要注意由於 p 是奇質數, 因此 p 在 modulo 4 之下要不然和 1 同餘要不然就和 -1 同餘, 所以 Theorem 5.4.1 給了 $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{p}\,}}\right)$ 完整的答案. 今後我們要知道 x² $\equiv$ - 1(mod p) 是否有解時, 只要看 p 在 modulo 4 之情形就可以知道答案. 例如剛才我們想知道 x² $\equiv$ 97(mod 101) 是否有解, 由 $\left(\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right.$${\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{97}}{\,{101}\,}}\right)$ = $\left(\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}\right.$${\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}$$\left.\vphantom{\dfrac{{-1}}{\,{101}\,}}\right)$ 以及 101 $\equiv$ 1(mod 4) 馬上知道 x² $\equiv$ 97(mod 101) 是有解的.