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 享受π的樂趣..........洪萬生03101998
 典型在夙昔：複變大師 Lars V. Ahlfors (1907-1996)...洪萬生04021998
 HM看板:BSHM會訊37期...洪萬生08271998
 新到期刊介紹：HM Vol. 25, No. 2.....洪萬生08271998
 Example for WGB2 of the ICMI Study on the Role of History of Mathematics
  in the Learning and Teaching of Mathematics....洪萬生08271998
【費瑪最後定理】導讀....洪萬生08271998
 康熙皇帝與符號代數.....洪萬生08271998
  全真道觀與金元數學.........洪萬生10141998
HPM98馬賽行............洪萬生12051998

享受π的樂趣    

        二十幾年前，筆者曾經在【科學月刊】上發表『中國π的一頁滄桑』一文，獲得很多朋友的謬賞，這對初筆者念玆在玆的數學普及理想，不無鼓舞的作用。試想要是當時的熱情沒有得到任何掌聲，或許筆者的學術生涯因此改觀。事實上，筆者年輕時由於一心想效力數學知識的通俗化，因而似乎極自然地一頭栽入數學史領域尋求資源與靈感。沒想到現在竟然把『數學史』這個手段當成目的，為數學史而數學史起來了。 

         即使如此，筆者仍然不敢或忘年少普及數學知識的志業。這些年來，雖然無法經常撥冗撰寫普及性的文字，但遇有同好者著作，總是見獵心喜。最近筆者曾推薦 Ian Steward 的【大自然的數學遊戲】（中譯本由天下文化公司出版）給台灣師大數學系大四選修『數學史』的同學閱讀，結果獲得極大的迴響（筆者將在另文中介紹幾篇心得報告），可見認真規劃、言之有物的普及讀物，還是很容易找到知音的。 

        去年（1997）年底，我前往美國新奧爾良（New Orleans）開會，在舊金山國際機場轉機時購得 David Blatner 的 The Joy of π （New York: Wallker and Company, Inc., 1997, xiii + 130 pp. ISBN 0-8027-1332-7）。在仔細閱讀過一些章節之後，發現它內容豐富、趣味盎然而且平易近人，實在是不可多得的一本數學普及讀物。 

        譬如說吧，Blatner就以十分平和的語調，介紹了十九世紀末美國印第安州議會所為一位『化圓為方者』（circle squarer）背書的故事。所謂『化圓為方』，是指給定一個圓，以幾何作圖（geometric construction）的方法求作一個等面積的正方形。它與『三等分任意角』、『倍立方體』並列為古希臘三大作圖題。到了十九世紀三十年代之後，這三個問題拜近代數學發展之賜，才一一被證明為不可能。也因此『化圓為方者』就專門用來指稱那些昧於現代數學知識背景的『數學狂怪』（mathematical crank）。這樣的人可以說無所不在，即使是現在國內，我們相信有些數學教師還會鼓勵學生對任意角作三等分。 

         十九世紀美國這位『化圓為方者』的名字叫 Edwin J. Goodwin，是一位鄉村醫生。在1888年，也就是在『化圓為方』被德國數學家 Lindemann 證明為不可能的六年後，他宣稱獲得上帝的教誨而解決了『化圓為方』問題。更不可思議的，顯然由於他的遊說，1897年該州下議會議員 Taylor Record 竟然將它提案為第246號法條。一旦通過，這個法條將允許該州任何人有權利無償地使用 Goodwin 的『發現』，至於其他州，那就必須付費了。由於沒有任何一位州議員知道該法案的數學內容是怎麼回事，所以州議會不久就以67比0無異議通過。不過，令人驚奇的是，法案竟然附帶保證說 Goodwin 的計算結果是正確的，因為它還得到【美國數學月刊】（American Mathematical Monthly）的認可。該雜誌的確出版了 Goodwin 的論文，但該法案並沒有說明雜誌編輯曾指出這是應作者要求。【美國數學月刊】（美國數學學會的官方刊物）的處理態度或許並不令人意外，因為當時有一位州教育督學就非常熱衷極力促成該法案的通過。沒想到投票隔天，當地地方報紙就評論說是有史以來印第安那州議會所通過的最奇怪法案。幸好普度大學（Purdue University）數學教授 C. A. Waldo 立刻拜會州議會就此事提出質疑，而報紙也趁機炒作，逼迫州上議會終於在1897年2月12日投票，作出無限期擱置討論的決議。 

         類似上述這類極具啟發性的故事之論述，可以說是本書的特色之一。此外，本書定位既然是數學普及讀物，所以它的『軟性』包裝就大有語不驚人不休的氣概，譬如在它的夾克上，我們就可以讀到很多『花邊訊息』-- （1)  的前一百萬小數位數包括了99,959 個0、99,758個1、100,026個2、100,229個3、100,230個4、100,359個5、99,548個6、99,800個7、99,985個8以及100,106個9；（2) 日本人Hiroyuki Goto 在1995年2月花了9小時背誦了 的位數達42,000位數，創造了歷史記錄；（3) 123456789的順序第一次出現在 的第523,551,502位數上；（4)  的前144個位數加起來等於666，而144恰好等於(6+6)×(6+6)；（5) 大象的高度（從足到肩）等於 2× ×象足的直徑。此外，本書的內文也處處嵌入一些令人驚奇的『花絮』-- 譬如『 的十億個位數若以平常的形式印刷，則它的長度將長達1,200哩』；再如『如果妳/你運用Gregory-Leibniz 級數來計算 的近似值，結果當你/妳努力計算了500,000項之後，只會得到30位數。不幸，它不會全部正確 -- 事實上，在所得到的 3.13159065358979324046264338326 中，兩個0及最後的6都錯了。』最後這一則應該算是『數學花絮』，不懂一點微積分是分享不的，因為其中就涉及無窮級數收斂快慢的問題了。 

        由此可以證明，本書作者Blatner擁有十分豐富的數學與電腦的背景知識，也正是如此，本書才能呈現風趣、華麗外表之下的實質內容，試看它的目錄： 

 序：圓與方 
 導言：為何π? /π的意義的歷史 
 Chudnovsky 兄弟的貢獻 
 π這個符號 
 π的個性 
 化圓為方者 (the circle squarers) 
 如何記住π的近似值 
 後語 
 
我們就可以發現：作者盡其所能地在趣味的包裝中，『滲透』了數學的歷史、文化與知識。儘管在敘述 的滄桑史時，作者把一些中國古代數學家的名字拼錯了，但這無損於他的史識。事實上，在他的『導言』中，作者就清楚地指出像 的探索這種『知識獵奇』的歷史興味： 

 吾人渴望了解 經常不是與實際多算一些小數位有關，而是想要針對下列問題尋求答案：像π這麼簡單如圓周與直徑的比何以會表現出這麼複雜的情狀。π的追求植根於吾人對心靈與世界這兩者的探險精神上，也基於吾人不斷想試驗人類極限的不可言狀衝動上。這就彷彿登頂聖母峰一樣，吾人攀爬因為它就在那裡。 

是的，自從π分別被 Legendre、Lindemann 於1794年、1882年證明是無理數、超越數之後，不僅古希獵的著名幾何作圖題『化圓為方』確定不可能之外，追求π近似值的更多小數位數也必須賦予新的意義。這種處境在本事愈來愈高強的電子計算機開始介入π值的逼近時，似乎更顯得迫切。譬如說吧，1949年，計算機ENIAC花了70小時才計算到808位。1955年，計算機NORC則只花了13分鐘就計算到2037小數位。四年之後，也就是1959年，已經到達一萬多位數了，當年巴黎IBM704計算到16,167小數位。六十年代開始進入十萬位數。1961年，紐約的IBM7090花了8.72小時計算到100,200小數位。1966年，巴黎的IBM7030計算到250,000小數位。隔年，同樣是巴黎的CDC6600計算到500,000小數位。到了1973年，巴黎的Jean Guilloud與M.Bouyer運用了CDC7600計算到一百萬位數，共花了23.3小時。這是1970年代 僅有的一次逼近，此後，這個舞台就全部由日本人與Chudnovsky兄弟來主導了。 

         在八十、九十年代，有關π逼近的歷史記錄各有三次。前者首先由日本T. Tamura和Y. Kanada揭開序幕，1983年，他們兩人利用HITAC M-280花了30小時，計算了一千六百萬位數。接著，1988年Kanada利用Hitachi S-820花了6小時，計算到201,326,000位數。然後是熱鬧的1989年，先是Chudnovsky兄弟找到480百萬位數；Kanada計算了536百萬位數；Chudnovsky再推進到十億位數。到了1995年，Kanada又推到六十億位數。隔年，Chudnovsky兄弟再攀八十億位數。最後是1997年的記錄，Kanada和他的新合作者Takahashi利用Hitachi SR2201，只花了29小時多一點就創造了π逼近的歷史新高：五百一十億位數。 

        隨著計算機的超高效能的應用， 逼近的小數位數有更多的神秘規律陸續向我們展示。有關π十進位小數展開式的『類型』（pattern）究竟如何刻劃，這是一百多年前不可能的夢想，如今拜計算機之賜，我們對它終於有了比較踏實的了解。如此看來，有心享受π的樂趣，恰當地對待數學與電算機科學的結合，的確是當務之急了。 
 

 
 
 

 典型在夙昔：複變大師 Lars V. Ahlfors (1907-1996)   

        筆者年輕時曾追隨林義雄老師學習複變函數論，碩士論文的研究主題正是芬蘭學派 Ahlfors 等人所開創的擬保角映射 (Quasiconformal mapping)。後來雖然改行轉向數學史，但受惠於林老師的教誨以及（實 / 複變）函數論的啟發，仍然是筆者迄今所累積的最重要學術資產之一。事實上，林老師本人也算是芬蘭學派的後裔，因為他的師傅 Sario 正如同 Ahlfors 一樣，也是芬蘭人，後來兩人都移民美國。 

       關於 Ahlfors，絕大部分數學系的學生都領教過他的複變經典 Complex Analysis，這本書寫得言簡意賅，缺乏一點數學慧根，是很難窺其堂奧的。不過，Ahlfors 強調他在該書中，使用了很多諸如 "clearly"、"obviously"、"evidently" 等等副詞，目的並不是在故弄玄虛，而是試驗讀者是否真正了解。請看他在該書第一版（1953）的敘言： 

儘管如此，Ahlfors 的上課風格（哈佛大學數學系 Math 213）卻全然不同，在指出某個命題是 "obvious" 之後，他會和藹地地掃瞄全班，接著他會刻意把"Well"唸成多音節作開端，然後提出進一步的解釋或例證。 

       以上這一段軼聞出自Clifford Earle的短文，它與Baoul Bott, Dennis Hejhal, James Jenkins, Troels Jorgensen, Albert Marden, Robert Osserman 等人所寫的，一起由 Steven G. Krantz 編成懷念Ahlfors的文章 -- "Lars Valerian Ahlfors (1907-1996)" (Notices of the AMS Vol. 45 (1998), No. 2, pp. 248-255)。這些數學家與 Ahlfors 或是摯友或是師徒，都提供了 Ahlfors 少為行外人所知的一面，讓我們分享了一代數學大師的風範。 

       譬如說吧，Hejhal就回憶他十五歲（1964年）就讀芝加哥Lane Technical HIgh School時，因自修複變函數論而數學老師推薦借給他 Ahlfors 的 Complex Analysis。在他作了一些習題之後，Hejhal發現了一個錯誤，就鼓起勇氣寫信向 Ahlfors 請教。沒想到他竟然接到 Ahlfors 的回信並稱呼他是 Dr. D. A. Hejhal，小小年紀的他在惶恐之下，立即寫信表明他只是一位中學生而已。就這樣這一對忘年之交開始了長時間的通信，直到1972年 Hejhal 獲得博士學位之後，Ahlfors 邀請他到哈佛遊學一個月，他們才有機會見面。 

        Hejhal 也指出Ahlfors 從來就沒有想要影響他，而只是鼓勵、幫助他，看著他研究興趣轉到哪兒，就順勢推他一把。Ahlfors 唯一強烈希望 Hejhal 接受的建議（在他們通了兩三封信後）是：到芝加哥大學數學系的協助與指導。於是， Hejhal 拿了一封 Ahlfors 寫給他的信去拜訪系主任，結果他見到了代理主任 Herstein，後者立刻給他一張便條聲明他可以使用芝大鼎鼎大名的 Eckhart Hall 圖書館，而且可以把書借出（以Herstein的名義）。後來 Hejhal 進入芝加哥大學就讀，再轉往史丹福大學攻讀博士學位，接受 Polya、Bergman、Schiffer、Royden、Cohen、Zalcman等人的指導。 

        Ahlfors 不僅樂於助人，與人為善，對於他自己在數學上的不朽貢獻始終謙沖為懷，令人印象深刻。譬如在他七十歲的慶生會上，他就說：我寧願到有魚的地方垂釣，而不是一心一意想釣大魚! 1936年第一屆Fields Medal 頒給他和 Jesse Douglas，他回憶道： 
 

   這一塊獎牌在第二次世界大戰期間竟然幫助他從芬蘭逃到瑞典，實在令人難以想像。請看他自己的告白： 
 

            Ahlfors 與太太 Erna 婚姻美滿，一輩子恩愛不渝。他興趣廣泛，從文學、音樂到繪畫，可以無所不談，是一位十分好客的主人。他待人溫暖、真誠，對他的研究生或年輕的數學家而言，Ahlfors 既是role model 也是mentor。他生於1907年4月18日，1928年他從著名數學家Ernst Lindelof 學習數學，獲 Helsingfors 大學博士學位。1935年，他應聘到哈佛教書一直到1977年退休，始終是哈佛人。退休後他仍然工作不綴，學習新的數學理論，至死方休（1996年10月11日去世）。他在下列領域中都作出決定性的貢獻：meromorphic curves、value distribution theory、 Riemann surfaces、conformal geometry、extremal length、quasiconformal mappings 與、Kleinian groups。     

　       

 HM看板：BSHM會訊37期     

        正如以往會務報導，BSHM始終努力將它們的觸角，伸入國際學術界。譬如，會員之一的數學史家Ivor Grattan-Guines於1994年暑假曾應我邀請，來台參加台灣師大數學系所舉辦的『數學史與數學教學之關聯』工作坊，回英國後即在此會訊上撰文報導此一學術活動。此外，像該會訊"Notes and Comments"這一欄，就經常出現非常令人驚奇的報導，譬如本期就是介紹牛津英文字典中的數學名詞(Mathematical terms in the QED)。查閱QED(Oxford English Dictionary)中的數學名詞，常可滿足語源學的好奇心，不信的話，不妨試試"Algebra"這個字，看看它的緣起與歷史。不過，對現代數學名詞而言，Cayley與Sylvester所研究的代數名詞佔了相當的篇幅，主因是QED首版印行前，英國這兩位偉大數學家的全集剛好問世。而Sylvester在QED中被引述的次數就超過七十次以上，證明他所鑄定的數學名詞相當多。 

          本期還有一欄介紹葡萄牙的數學史教學與研究，由Carlos Correia de Sa與Maria Fernada Estrada合撰。在本文中，作者指出數學史活動在過去十年葡國所以看得到，全是National Seminar of History of Mathematics (Seminario National de Historia da Mathematica, SNHM)與Association of Teachers of Mathematics (Associacao de Professores de Mathematica, APM) 以及Minho， Oporto與Coimbra等大學的研究與教學活動所共同撐起來的。SNHM是葡萄牙數學會的一個部門，曾舉辦過十場全國性的數學史研討會，推動數學史研究，功不可沒。 

         另一方面，APM則主要扮演普及數學史的功能。它們每年都舉辦數學教師年會，該會在這幾年的活動中，尤其提供數學史的相關課程與工作坊，甚至邀請外國數學史家與會，為推動數學史的教學與研究，樹立了十分成功的典範。附屬於APM，由Eduardo Veloso教授所創設的「歷史與數學教育工作坊」(GTHEM)，更是表現卓著，他曾經招集了一批數學教師，共同編寫數學史料如何用在課堂上的手冊等等，很值得我們效法。 

         Veloso任教於Minho大學，曾於一九九六年七月下旬接受HPM委託，負責在該校舉辦ICME-8的HPM衛星會議。筆者當年應邀參加，對於兩百多位APM會員（全國共5000多位）與會，印像十分深刻。希望筆者承辦HPM Taipei 2000時（預定2000年8月9-14日在台灣師大數學系舉行），也可以吸引大多數本地中小學數學教師共襄盛舉，為HPM在台灣揭開新頁。有志之士，盍興乎來! 

 

 新到期刊介紹：HM Vol. 25, No. 2    

        所謂HM是指Historia Mathematica，它是國際數學史委員會(International Commission on the History of Mathematics)的官方學報。在它的封面上，共列出十一種不同語言的名稱，中文與日文的漢字分別作【國際數學史雜誌】及【國際雜誌：數學史】，英文名稱則叫做"International journal of history of mathematics"。本刊每年出版四期，是國際數學史學界最具有權威性的學報之一，由它所刊登的論文之進路來看，總是可以看出目前數學史學的研究趨勢。 

          就以本期來說吧，它有兩篇論文與十九世紀最後一個二十五年間數學社群的國際化有關，分別是 
  Gary G. Cochell, "The Early History of the Cornell Mathematics Department: A Case Study in the Emergence of the American Mathematical Research Community"； 
  Adrian C. Rice and Robin J. Wilson, "From National to International Society: The London Mathematical Society, 1867-1900"。 
事實上，這幾年來，這一類的論文在本學報的出現頻率一直很高，可見數學社會史(social history of mathematics)的兩大課題，亦即數學專業化(professionalization)及制度化(institutionalization)，放在數學社群國際化的脈絡中，的確呈現了具體且有趣的歷史意義。這當然跟本刊主編Karen Hunger Parshall不無關連，她過去這幾年來不僅戮力於十九世紀末美國數學史領域，也多方鼓勵其他美國數學史家加投入相關的研究，成績頗為可觀，值得我們注意收藏 

          總之，這是一本很值得參考的學報。可惜，國內研究教學單位收藏本刊的圖書館並不多，讀者可以往中央研究院數學研究所、台大數學系、台灣師大數學系以及清華大學人社院等圖書館查閱。 

     

Example for WGB2 of the ICMI Study on the Role of History of Mathematics
in the Learning and Teaching of Mathematics  

    The so-called Pythagorean Theorem witnessed multiple discoveries in the history of mathematics.  In fact, it is the mathematical proposition that has been "demonstrated" in different civilizations.  The reason why we use "demonstrated" rather than "proved" in the last sentence is that by a “proof” (an English term equivalent to Greek “apodeixis”) we always mean one specific deductive procedure leading to a what to be concluded.  It should be traced back to Greek primary concern about methodology in order to secure the certainty of mathematics.  For example, the Pythagorean Theorem, namely, Proposition 47 in Book I of Euclid Elements, has been proved to be a logical consequence of its previous propositions in Book I as well as the postulates and common notions [Cf. Figure 1].  And this is an episode convincing 17th century English philosopher Thomas Hobbes that mathematics owned the status of certitude in its knowledge claim.   

    However, teacher should not regard this to be the only legitimate approach to mathematics in classroom, especially when multicultural concern comes to be an issue of education nowadays.  In fact, ancient mathematicians in both China and India usually used some other approach to explaining the reason why their formulas or algorithms work.  For example, the term “upapatti”, making its appearance very often in ancient Indian mathematical texts, bears the meaning close to that of a “convincing demonstration”.  Two arguments were associated with the “upapatti” in Bhaskaracharya’s (b. 1114 AD) Bijaganita, i.e., “kshetra” and “avyakta”, representing geometrical and algebraic approach respectively [Joseph 1994].  In what follows I like to cite the modern versions of the two demonstrations for the Indian “Pythagorean Theorem”.  

    For the illustration of the “upapatti” for the “avyakta” method, see Figure 2.  Since ΔCDB, ΔBDA, ΔCDA are similar, so a/c = d/a => d = a2/c and b/c = e/b => e = b2/c.  Therefore, c = d + e = (a2 +b2)/c => c2 = a2 + b2.  On the other hand, for the illustration of the “upapatti” for the “kshetra” method, see Figure 3.  Let ya = c, bhuja = a and koti = b, then c2 = (b-a)2 + 2ab = a2 + b2.   

    According to Saraswati Amma, the Indian “upapatti” is different from Greek “apodeixis”:  
 

There was an important difference between the Indian proofs and their Greek counterparts.  The Indian aim was not to build an edifice of geometry on a few self-evident axioms, but to convince the intelligent student of the validity of the theorem so that the visual demonstration was quite an accepted form of proof.  Another characteristic of Indian mathematics makes it differ profoundly from Greek mathematics [is that] knowledge for its own sake did not appeal to the Indian mind.  Every discipline (sastra) must have a purpose. [Quoted Joseph 1994]

  

    To teachers sharing multicultural concern the “avyakta” approach to the Indian “Pythagorean Theorem” is interesting since a similar method is also found in ancient Chinese mathematics.  In the third century AD Chinese mathematicians Zhao Shuang and Liu Hui gave their commentaries to the Zhou Bi Suan Jing (The Mathematical Canon of the Gnomon of Zhou)and the Jiu Zhang Suan Shu (Nine Chapters on the Mathematical Art) respectively.  In showing how the “Pythagorean Theorem” works both of them present visual demonstrations similar to that of Bhaskaracharya.  In order to make a comparative study between Euclid’s, Bhaskaracharya’s as well as Zhao Shuang’s and Liu Hui’s “proof” of the “Pythagorean Theorem”, one also needs to know how the Chinese mathematicians really did for the proposition.  The Chinese “Pythagorean Theorem” was related to the treatment of the so-called “Gou Gu” problem, namely, given two sides of a right-angled triangle, to find the third side.  Note that literally “Gou”, “Gu” denotes the least and the medium side respectively.  It is due to this fact that the Pythagorean Theorem is also called the “Gou Gu” Theorem in Chinese mathematics textbook.   

    Let us first see how Zhao Shuang comments on the “Gou Gu” problem and its solution in his commentary to the Zhou Bi Suan Jing:   
 

The base and altitude are each multiplied by themselves.  Add to make the hypotenuse area.  Divide this to open the square, and this is the hypotenuse.   
In accordance with the hypotenuse diagram [“Xian Tu”, See Figure 4], you may further multiply the base and altitude together to make two of the red areas.  Double this to make four of the red areas.  Multiply the difference of the base and the altitude by itself to make the central yellow area.  If one [such] difference area is added [to the four read areas], the hypotenuse area is completed. [Here the translation follows Cullen 1995] 

   We leave readers to translate Zhao Shuang’s demonstration into modern algebraic notation.  Essentially it is very similar to that of Bhaskaracharya.  In fact, we can add one similar example, namely, Liu Hui’s explanation of how the algorithm for the “Gou Gu” problem works.   

   Now consider Liu Hui’s treatment of the “Pythagorean Theorem”.  In his commentary to Chapter Nine – the so-called “Gou Gu” Chapter -- of the Jiu Zhang Suan Shu, Liu Hui apparently explains why the method for the “Gou Gu” problem works.  Of course the algorithm is based on the “Pythagorean Theorem” – the area of the square on the hypotenuse is equal to the sum of the areas of the squares on the “base” “Gou” and the “leg” “Gu”.  And to this Liu Hui’s explanation is as follows: 
 

“Base”-squared makes the red square, “leg”-squared makes the azure square.  Let the Out-In mutual patching [technique] [be] applied according to the categories to which [these pieces] belong by taking advantage of the fact that what remains does not move and form the surface of the hypotenuse. [Here the translation follows Martzloff 1997, p. 296] 

Since Liu Hui’s original diagram had been lost by Southern Song dynasty (thirteenth century AD), perhaps the rational reconstruction by the late Qing mathematician Gu Guanguang would help us understand how the visual demonstration was actually proceeded. [See Figure 5, quoted Martzloff 1997, p. 297] 
  
    As to whether Zhao Shuang and Liu Hui did anything relevant to Greek sense of proof, Cullen comments that 

1. It may be misleading to call Liu Hui’s “suasive explanations” by the same name as the rather differently directed and structured rhetorical machinery provided by writers such as Euclid, for which we may reasonably use the modern term “proof”. 
2. Neither the text of the Zhou Bi nor Zhao Shuang’s commentary on it contains anything that could be called a “suasive explanation” of the Pythagorean theorem along the lines of Liu Hui, and a fortiori neither text contains anything that could be called a formal proof. [Cullen 1995]  

Concerning Liu Hui’s visual demonstrations in his commentary to the Jiu Zhang Suan Shu, Martzloff obviously bears a similar point:  
 

[T]he explanation of Pythagoras’ theorem may only suggest how to set about it and since the commentator’s excessively laconic text is clearly, on its own, not sufficient to reconstitute the details of the process, it follows that it is not only what the student will have read or heard that is important but the manipulation which he will have seen the master undertake.  The fact that these two- or three-dimensional figures of Chinese geometry often refer to actual concrete objects reinforces this interpretation. [Martzloff 1997, p. 72] 

Martzloff also suggests that the proof of Liu Hui “was similar in nature to the first known historical proofs, an example of which was given to Plato (well-known dialogue in which Socrates asks a slave how to double the area of a square).”  “Moreover, ” he continues, “visual elements remained an essential component of proofs in China for a long time, while in Greece these were abandoned at an early stage although figurative reference were retained.” [Martzloff 1997, p. 73] 

   Now we have five “proofs” for the “Pythagorean Theorem, namely, Euclid’s, two “upapattis” of Bhaskaracharya, Zhao Shuang’s as well as Liu Hui’s.  In using these “proofs” in the classroom, teacher can make contrast of them, emphasizing not only their methodologies but epistemologies as well.  In other words, teacher should try to stress that to prove is not only to convince but also to enhance understanding.  After saying what these “proofs” are all about, teacher can go on to urge students exploring their socio-cultural meaning.  In this connection, teacher is encouraged to introduce a critical re-evaluation of mathematics in different civilizations and thereby share with her / his students a sense of multicultural mathematics. [Nelson et al., 1993; Joseph 1994; Gerdes 1994]   
As for general information on the Pythagorean Theorem, teacher may like to refer to Loomis’s Pythagorean Proposition [Loomis 1968] in which over three hundred proofs have been put together.  Teacher who wants to introduce her / his class some related ethnomathematics should not ignore Gerdes’s African Pythagoras [Gerdes 1994].  Those who are critical of Eurocentrism and Hellenocentrism in the history of mathematics should try to learn something from [Guo 1995] as a counterbalance.  However, one should keep in mind that multicultural concern always means flexible and open-minded to mathematical culture of any origin.          
 

Bibliography 

Bunt, Lucas N. H., Phillip S. Jones, and Jack D. Bedient 1988. The Historical Roots of Elementary
     Mathematics, New York: Dover Publications. 

Crossley, J. N. and A. W. Lun 1994. “The Logic of Liu Hui and Euclid as Exemplified in Their Proofs
     of the Volume of a Pyramid,” Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal 3(1):
     11-28. 

Cullen, Christopher 1995. “How Can We Do the Comparative History of Mathematics? Proof in Liu
    Hui and The Zhou Bi,” Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal 4(1): 1-58. 

Dauben, Joseph W. 1993. “Mathematics: An Historian’s Perspective,”Philosophy and the History of
     Science: A Taiwanese Journal 2(1): 1-22.   

Davis, P. J. and R. Hersh 1980. Mathematical Experience, Boston: Birkhauser.     

Eves, Howard 1976. An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart and Winston.   

Gerdes, Paulus 1994. African Pythagoras: A Study in Culture and Mathematics, Instituto Superior
    Peagogico Mozambique.   

Guo Shuchun 1995. Gu Dai Shi Jie Shu Xue Tai Dou Liu Hui (Liu Hui – One of the Greatest Masters
    of Mathematics in Antique World), Taipei: Ming Wen Book Co., Ltd. 

Heath, Thomas L. 1956. The Thirteen Books of Euclid’s Elements, New York: Dover Publications,
    Inc.  

Joseph, George Gheverghese 1991. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,
    New York: Penguin Books.   

Joseph, George Gheverghese 1994. “Different Ways of Knowing: Contrasting  Styles of Argument in
    Indian and Greek Mathematical Traditions,” in Paul Ernest ed., Mathematics, Education and
    Philosophy: An International Perspective (London: The Falmer Press), pp. 185-204. 

Katz, Victor J. 1993. A History of Mathematics: An Introduction, New York: HarperCollins College
   Publishers. 

Loomis, Elisha Scott 1968. The Pythagorean Proposition, Washington, D.C.: NCTM.    

Martzloff, Jean-Claude 1997. A History of Chinese Mathematics, Berlin Heidelburg: Springer-Verlag.  

Nelson, David, George Gheverghese Joseph and Julian Williams 1993. Multicultural Mathematics:
    Teaching Mathematics from a Global Perspective, Oxford University Press.   

Su, Huiyu 1998. From Ethnomathematics to Multiple–Cultural Concern in Mathematics Education,
    Master thesis, Department of Mathematics, national Taiwan Normal University.   

　      

【費瑪最後定理】導讀

 
         一九九六年七月下旬筆者應邀前往葡萄牙Braga參加第八屆HPM（數學史與數學教學之關聯的國際研究群）研討會，有機會觀賞英國數學史家David Lingard所放映的【費瑪最後定理】(Fermat's Last Theorem)影帶，印象十分深刻。尤其是主角懷爾斯(Andrew Wiles)談到他在一九九四年九月終於成功地修補邏輯漏洞時，神情非常激動，只見一個害羞的大男人突然音調哽咽，慌張地用手擋住攝影機鏡頭，真是令人難忘。這趟學術之旅是婉如生前唯一陪我隨行的一次，她在看過該影帶之後，提醒我務必前去欣賞，而懷爾斯這位偉大數學家面對鏡頭的感性，也是她推薦時特別提及的情節。 

         今年四月下旬，筆者應邀前往法國馬賽參加HPM的另一場學術會議。出發前，由於商務版的【費瑪最後定理】已經出版，遂在本系大四【科學教育】課堂上要求學生提交該書的心得報告。看到學生難得的閱讀興緻，筆者承諾將設法找到該錄影帶攜回介紹給她（他）們。在馬賽有幸再遇Lingard，遂請求他拷貝一份贈送。六月上旬，筆者如願收到，即刻安排演講時間，敦請本系紀文鎮教授主持影帶的放映及解說。 

         事實上，該影帶的導演正是商務版【費瑪最後定理】的作者印度裔英國人Simon Singh。筆者曾在馬賽看到此書的法文譯本，可見原書頗受囑目。另外，在美國， 則有Amid D. Aczel所著的Fermat's Last Theorem（1996），不過，它較前書多了副標題："Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem"。而它就是時報文化公司所出版的這一本書。這兩本英文原著都成為英美兩國的暢銷書實在是出版界的異數，不過，主流媒體如【紐約時報】對此一新聞的頭版報導，應該也扮演了推波助瀾之功。 

        比較這兩本書的撰著過程，Singh的前置作業看起來比較充分，因為他是英國BBC電視台的科學記者，上述【費瑪最後定理】影帶，即是他為該台【地平線】系列所導演的記錄片，所以，在處理該書一些故事情節時，顯得駕輕就熟。當然，由於懷爾斯也是英國人，因此，Singh擁有特權接近懷爾斯並充容地進行訪談，並不令人意外。再有，他也納入比較多樣的參考書目（雖然主要是英國出版的資料），讓有心的讀者可以滿足閱讀的需求。至於Aczel，則一直沒有機會訪問懷爾斯，只是一味地在他的同事、同行之間打轉。本書少了這位主角的現身說法，的確是一大憾事。不過，Aczel倒是在有限的篇幅之內，蠻詳細地介紹了谷山－志村猜想的是是非非，可以看出即使偉大數學家在面對盛名時，也難免像凡人一般地迂迴掙扎 -- 這是因為後來此一猜想成為費瑪最後定理證明的一把鑰匙的緣故。 

        再就寫作的風格來看，或許由於Singh是位科學記者，所以，他相當懂得如何把這一類書寫得花俏時髦。但是，他為了照顧一般讀者的閱讀興趣，而經常叉開話題，開懷暢談（甚至於因為他自己的物理專長，而扯到量子力學那邊去了），卻沒有適時地照顧全書的首尾一貫，造成不小的缺陷。此外，作者對數學史的研究成果也欠缺深刻的體會，所以，儘管他有意以畢達哥拉斯（Pythagoras）到懷爾斯這一路數論發展為主軸，設法貫穿數學主要分支如幾何學、代數學（含數論）、分析學及拓撲學，但是，恰當而平實地鋪陳史實的能力顯然有所不逮。舉例來說吧，作者就略過了歐基里得(Euclid)對狄奧幻特斯(Diophantos)的可能影響，輕忽了阿拉伯人在數論上的重要貢獻，以及費波那西（Fibonacci）在他自己的【平方數之書】（The Book of Squares）之傳薪工作。 此外，Singh指出他頗受惠於Eric T. Bell的【(男)數學家列傳】（Men of Mathematics），也顯示他對當前數學史學的陌生，因為一般的數學史家在引述該書時，特別是有關加羅瓦（Galois）的生平故事時，都非常小心。奇怪的是，像【科學家傳記大辭典】（Dictionary of Scientific Biography， Gillispie主編）如此盛名，作者竟然無暇顧及。 

        在這方面，Aczel也好不到那裡去！關於加羅瓦致命的決鬥前夕的活動，Aczel顯然照抄Bell的說法：「在決鬥前一晚的大部份時間，加羅瓦小心地寫下他全部的數學理論論文並且送到他朋友契巴那葉那裡。」(But most of that last night before the duel, Galois carefully put down on paper his entire mathematical theory, and sent it to his friend Auguste Chevalier.) 事實上，當天晚上，加羅瓦花了很多時間整理他一生所完成的數學成果，摘要地寫在致友人的信中。數學史家Bell說他臨死前的幾個小時內寫下不朽的數學經典論文，故事雖然說得悲壯，但卻誇張得不切實際。 

        儘管如此，Singh與 Aczel這兩位作者所以介紹加羅瓦的故事，一方面，固然是因為懷爾斯在他的1993年6月23日歷史性講題中，包括了加羅瓦群表現(Galois representation)理論，另一方面，則是加羅瓦一生的美麗與哀愁。如果前者限於數學知識的高度抽象與專業，而無法通俗化，那麼，為讀者說個淒美動人的故事，也不失為一種知識分享的作法。其實，這兩本書所採取的寫作策略都是如此，它們還都不約而同地介紹了畢達哥拉斯，狄奧幻特斯，費波那西，費瑪(Fermat)，歐拉(Euler)，高斯(Gauss)，(女數學家)蘇菲熱爾曼(Sophie Germain)，阿貝爾( Abel)，狄利西列特(Dirichlet)，傅立葉(Fourier)，庫麥爾(Kummer)，戴德金(Dedekind)，龐加萊(Poincare)，谷山豐(Yutaka Taniyama)，志村五郎(Goro Shimura)，弗維(Frey)，里貝特(Ribet)以及懷爾斯等人，並且以他(她)們的數學生涯中有趣易懂的故事，先後串起整本書的骨架。因此，我們建議讀者以閱讀歷史故事的心情來面對它，至於一些專業的數學知識，若一時無法理解，也無關數學能力高低，千萬不要焦慮才好。 

        由於本書相對於Singh版而言，在篇幅上短少了許多，因此，比較沒有空間可以叉開話題，儘管費波那西數列，黃金分割及七橋問題等這些通俗數學最愛素材，Aczel也不願放過。此外，可能是出身數學的緣故，Aczel稱職地參考了相關的數學專業論文，而且，他總是試圖說明相當抽象的數學概念，譬如橢圓曲線，模形式等等。這兩項當然都跟懷爾斯創造歷史的劍橋講題有關，不過，由於篇幅有限，所涉知識也過份專門，往往只能點到為止，因此，全書主要是通過上述數學家生平事蹟來承上啟下。如此一來，本書脈絡自然無法得到數學知識的內在邏輯引導，這對於想要多接觸一點數學的讀者，無疑是大大的不足，然而，這對本書所設定的普及性格來說，則應該合情合理的處理方式了了。 

         現在，或許我們應該比較細心來體會Aczel的用心了。在介紹狄利西列特(高斯的門徒)的貢獻時，Aczel頗有史識地指出他將分析學引進原本離散性格的數論，連結了看起來彼此無關的數學分支。以傅立葉級數理論為基礎，Aczel特別推崇志村五郎大膽地猜測橢圓曲線與模形式的關聯。這種通過轉化而進行統合的精神，無疑是數學所以能夠生生不息，發展成為一個有機整體(organic whole)的主要原因之一。也正是如此，本書雖然只是鋪陳數學史的一個側面 -- 費瑪最後定理的歷史，然而，我們還是可以從中領略數學知識成長的脈動。 

         最後，筆者特別希望讀者好好閱讀本書倒數第七節(本書不分章，只分節)，它的標題是「好朋友」(A Good Friend)。筆者認為這是作者對懷爾斯這位本世紀最偉大數學家的最大禮讚。原因無它，傑出人物給人的感覺難免孤僻與偏執，懷爾斯雖然害羞內向，卻能在同事之間結交到像凱茲(Katz)這樣的好朋友，實在是他攀登數學巔峰的最大憑藉與資產。這是本書最值得細細品味的一節，願讀者萬勿錯過才是。 

 謹推薦本書！ 

   

    康熙皇帝與符號代數

        歐基里得(Euclid)曾說：「學習幾何學沒有王者之路!」。事實上，學習代數學亦然，譬如說吧，在中國數學史上鼎鼎大名的康熙皇帝，就在符號代數的學習過程中，表現了類似今日國中學生茫然不知所措的模樣，這個歷史經驗，實在很值得教學工作者參考與借鏡。 

         這裡所指的符號代數，當然是清初傳教士傳入中國的西方數學知識。當時有兩種西方代數傳入中國，第一種被稱作『借根方比例法』，第二種則叫作『阿爾熱巴拉新法』。所謂『阿爾熱巴拉』，無疑是英文"algebra"的音譯，也曾被稱作『阿爾熱巴達』或『阿爾朱巴爾』（當是法文"algebre"的音譯）。其實，這幾個名稱也都曾指涉第一種，譬如在公元1711年，康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數學時，就指出：

 算法之理，皆出於【易經】，即西洋算法亦善，原係中國算法，彼稱為『阿爾  朱巴爾』者，傳自東方之謂也。

隔年梅觳成入宮肄業於暢春園的蒙養齋，負責主編【數理精蘊】等書，康熙皇帝授以傳教士傳入的代數學，並且諭示：   

西洋人名此書為阿爾熱巴達，譯言東來法也。

按此書可能是某傳教士所譯的【借根方算法節要】。至於在該書中不沿襲原名而改稱為『借根方法』，「乃譯書者就其法而質言之也。」換句話說，『借根方（比例）法』是一種『意譯』!後來奉康熙皇帝指示，梅觳成遂將它編入【數理精蘊】（1723）卷三十二 -- 三十六。 

        然則何以"algebra"是一種『東來法』呢？這就必須追溯這個英文字的語源了。原來"algebra"相當於拉丁文的"al-jabr"，出自阿拉伯數學家阿爾花拉子模（Al-Khwarizmi， 第九世紀）的一本代數著作的書名 (Hisab al-jabr w'al muqabala)，原指『還原』（restoration）之意，例如將 2x+5 = 5-3x 『還原』成 5x+5 = 8。這種代數不但未涉及符號法則（symbolism），當然也不曾引進文字係數；同時，方程式（equation，原意是令相等之後所得到的式子）兩端也像天平平衡一樣而不等於零，譬如二次方程就表示成像x +6x=4等等；此外，求解程序也都以文字敘述。後來再由義大利數學家卡丹（G. Cardano, 1501-1576）全盤接收，因此，對西歐人而言才有『東來法』之說。至於『符號代數』（symbolic algebra），則是第二種，亦即『阿爾熱巴拉新法』的主旨，源自法國數學家維達（F. Vieta, 1540-1603）著作【解析方法入門】（Introduction to Analytic Art，1591-95）的發明。它的特徵除了代數方程的係數以文字符號表示、符號可以一如數目演算之外，方程式任何一端可以置零，譬如 ax +bx+c=0；還有，維達也特別強調代數是研究像二次方程這種『形式』(species or forms of things)的學問，而算術則完全訴諸數目(species of numbers)。 

         有趣的是，當時中國人為了安心學習西算，遂將『東來』解釋成來自中國，於是，梅觳成就以【測圓海鏡】（元李冶撰）與【數理精蘊】中例子，來比較『天元術』與『借根方法』，證明它們『名異而實同』。可惜，中土「不知何故遂失其傳，猶幸遠人慕化，復得故物」，『東來之名』正好表示西人不忘本，如此說來，中國人怎麼可以不好好地學習西算呢。這是梅觳成為盛行於明末清初『西學中原說』所下的最佳注腳。 

         如此說來，康熙皇帝不可能對一樣是代數學的『阿爾熱巴拉新法』沒有興趣。問題是：何以由康熙皇帝主編的【數理精蘊】隻字不提『新法』？最主要的原因之一是：康熙皇帝無法了解符號演算的意義。這當然也可能涉及引進者的數學素養及其數學傳統。事實上，【阿爾熱巴拉新法】是法國傳教士傅聖澤（Jean Francios Foucquet, 1665-1741）為了教導康熙皇帝學習『新代數』而寫的。一七一一年之後，傅聖澤應召入宮伴讀西方天算。有一天，康熙想知道傅聖澤對代數的看法，於是，傅聖澤遂趁機介紹『新代數』，並強調它比『舊』代數更簡單而且更具有一般性。其實，在【阿爾熱巴拉新法】卷一第一節中，傅聖澤即強調了『新法與舊法之所以異』：   

 或問：阿爾熱巴拉舊法，乃最深遠之法也，何為又有新法，意必舊法猶有未善      者與？ 
 答曰：舊法未嘗不善，但於通融之處，有所不及也，故又有新法濟之。   

既然如此，那麼二法何以區別呢？傅聖澤指出：「所以異者，因舊法所用之記號，乃數目字樣，新法所用之記號，乃可以通融之記號。」所謂『通融記號』，即是指代數符號，「在中華可以用天干地支二十二字以代之」。為了說明它的便利與巧妙，傅聖澤「試以一式明之。假如有一題，凡兩個數目字之平方，必包涵四件，乃每字之平方，與兩字相乘之兩長方，今將十二之兩數目字以發明其理。」請參閱我們從該書所複印下來的插圖及說明，即可發現傅聖澤試圖利用幾何意義從(10+2) =100+2(10)(2)+4來『類推』(a+b) = a +2ab+b ，此二項式被翻譯成（甲+乙）（甲+乙）= 甲甲+二甲乙+乙乙（請注意該書『加號』與『等號』與現行不同）。從教學觀點來看，傅聖澤的解釋可以說是盡心盡力了，不過，對西算造詣頗深的康熙皇帝還是作出如下的反應：   

諭王道化：朕自起身起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明  白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 ...... 還有言 者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法  平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）

         在西方數學史上，符號代數在十六世紀末被發明之後，大約花了將近一世紀的時間才逐漸被數學家廣泛接受。究其原因，這些西方數學家應該跟康熙皇帝一樣，無法了解符號演算的意義。由此一歷史教訓，我們或可推論：符號代數的學習需要比較成熟的數學心智，因為即使天縱英明如康熙也表現得束手無策。所以，我們希望國中教師在講解一元一次方程的解法時，千萬多一點耐心與包容，因為從數目演算到符號演算這個『認知跳躍』，對貴賤賢愚顯然一視同仁，都是必須努力才能跨越的門檻! 
 

參考文獻 

洪萬生，『清初西方代數之輸入』，收入洪萬生著【孔子與數學】，台北明文書局，1991。 

洪萬生，『【代數學】：中國近代第一本西方代數學譯本（上）』，【科學月刊】 第二十四卷第十二
        期（1993年12月），頁938-945。 

洪萬生，『【代數學】』：中國近代第一本西方代數學譯本（下），【科學月刊】 第二十五卷第一
        期（1994年1月），頁59-65。 

洪萬生，『數學史與代數學習』，【科學月刊】第二十七卷第七期（1996年7月），頁560-567。

 

  本文初稿提交『金庸小說國際學術研討會』 
（台北國家圖書館，1998年11月4-6日）宣讀 

   全真教與金元數學      

遠寺孤舟墮渺茫，雨聲一夜滿簫湘      
黃陵渡口風波渡，多少征人說故鄉                          李冶【簫湘夜雨】

一、 楔子 

        元朝朱世傑【四元玉鑑】（1303年）誠然是一部偉大的數學經典，但也總結了十三世紀中國數學的輝煌。中國數學史家錢寶琮曾論及元代數學始盛終衰之外爍原因有二：蒙古人一統中原之後，「科舉制之復行與理學之普及是已。」至於元初數學所以遠勝於前，則是學者多致力於此，「雖在干戈擾攘之際，未廢研治之功。且師承有自，學友相從，利祿之途難進，名理之樂可求。金亡後數十年中，數學之進步遠盛前代。李冶、劉秉忠、朱世傑三家學術，其尤為顯著者也。」（引錢，1983b） 

         不過，由於李冶及其好友元好問與全真教高道交往密切，所以，金元鼎革之際，全真教所提供的學術環境，可能間接地促成了中國北方數學的發展。京都學派領導人藪內清或許是最早指出這個史實的科學史家，它大大地有助於我們了解宗教（如道教）與中國科學、數學的關係，值得我們再深入探討。（參考藪，1967） 

         本文之作，意在分享。或許一般金庸迷的閱讀範圍不及宋金元數學史，因藉此一研討會，略述金元數學家李冶（1192-1279）的數學生涯，及其歷史環境中最重要的『制度性』因素之一 -- 全真道觀。本文論述，也因而假定任何一種數學知識活動，不能從它的社會文化脈絡抽離（mathematics in context）。這是本文的限定，必須首先聲明。 

         由於全真教是道教的一個支派，因此，本文第二節將對數學與宗教的關係，做一個簡單的說明，進而轉述李約瑟（Joseph Needham）與席文（Nathan Sivin）的爭論。接著，在第三節中，我將從制度史的觀點，鋪陳全真教所經營的學術環境。最後，在這樣的的脈絡下，我們將試著探索李冶的學術生涯以及他的數學研究與全真教的關係。 

二、 數學與宗教：數學社會史的一個側面 

         從認識論觀點來看，宗教影響科學或數學，在西方科學史上確有先例可尋。譬如說吧，中世紀學者在基督教的學術世界中，對亞里斯多德兩部經典【論天體】（On the Heaven）與【物理學】（Physics）的熱烈討論，就可以證明很多科學研究的問題意識，在「言必稱上帝」的宗教文化環境中，不僅『合法』，而且合情合理。（參考Lindberg，1992；洪，1996）伽利略的【兩種新科學對話錄】（Two New Sciences，1638），不僅模仿了歐幾里得（Euclid）的【幾何原本】（The Elements）體例，師法阿基米德（Archimedes）的數學物理進路，而且也回應了『化身』為超級數學家的上帝對他的召喚：   

哲學（自然）是寫在那本永遠在我們眼前的偉大書本裡的 -- 我指的是宇宙 -- 但 是，我們如果不先學會書裡所用的語言，掌握書裡的符號，就不能了解它。這  書是用數學語言寫出的，符號是三角形，圓形和別的幾何圖形，沒有它們的幫  助，是連一個字也不會認識的；沒有它們，吾人就在一個黑暗的迷宮裡勞而無功地遊蕩著。（轉引自Kline，pp. 328-329） 

正因為如此，所以，探索大自然背後的數學定律，既是科學哲學的一種（認識論）主張，也是榮耀上帝的另一途徑。 

         回到中國數學史這一邊，或許我們可以試著釐清類似問題是否具有『歷史正當性』。誠然，中國道教的教義是否曾經發展出類似的意識形態而影響自然哲學的進路，目前可能不是下結論的時候。更優先的問題應該是：究竟數學知識的形成與其他學問譬如【周易】的研究有沒有關係？（注一）由於【周易】是儒者與高道之士擅長的學問之一，因而激盪出金元的『天元術』也未可知。（參考藪，1984，頁46-48）然而，要是沒有全真教所提供的學術環境，金元時代中國北方的數學知識活動，可能就不會那麼多姿多彩了。 

         不過，道教是否促成了中國科學的發展，既然曾經是李約瑟及其合作者努力想證明、而席文又極力想反駁的一個論點，本文照理不應迴避。好在出身俄羅斯的中國數學史家Alexei Volkov剛剛為台灣出版的英文期刊 Taiwanese Journal for Philosophy and History of Science （中文刊名曰【哲學與科學史研究】，遠流出版公司贊助、出版）客座主編『趙友欽專輯』（Volume 5, No. 1, 1998 出版），為這個學術公案提供了一個簡要但十分有用的說明。 

        針對這個科學與道教議題，Volkov選擇以元朝趙友欽（1271-1335?）作為個案來研究，是很有史識的，因為趙友欽精通經學、天文曆算及經緯數術，在科學與數學尤其表現特出，而且是一位如假包換的全真道士。根據他的徒弟陳致虛的追記，趙友欽（號緣督子）師承張模（號紫瓊子），再往上追溯李玦（號太虛子）及宋德方（1183-1247）。而後者就是全真七子馬鈺與丘處機的徒弟。（參考Volkov，1998）於是，在中國歷史文化中，道士、算家與談天者這幾種角色至少曾在趙友欽身上同時適用，所以，道教思想是否在認識論上啟發了十三世紀金元學者的數學與自然哲學研究？道觀對這些學者是否提供了制度化的誘因，讓他們可以『自在地』研究數學或自然哲學？這些問題意識看來頗為合情合理，剩下來的研究工作當然就是深入趙友欽與全真教了。 

        無論如何，Volkov綜合趙友欽相關的歷史研究成果，已足以在科學社會史的取向上，深化李約瑟的觀點，亦即道教在一個『共享的認知空間』（shared cognitive space）中，成功地創造了有利於傳播中國傳統科學知識的『另類網絡』（alternative networks）。基於同一論述，Volkov在另一方面反駁了席文的觀點，這是因為席文認為道教門徒關心宗教甚於自然哲學，所以，他們的教義與修行當然無涉『大自然的理性探索』。對席文而言，按宗教的定義來說，它本來就無關科學。（參考Volkov，1998） 

三、 全真教與金元學術環境 

        金世宗大定七至九年（1167-1169），王重陽（1113-1170）以寧海全真堂為基地，創立全真教，訓誨會眾『悟理莫忘三教語，全真修取四時春』，勸人誦讀【般若波羅密多心經】、【道德清靜經】和【孝經】。事實上，它的教義是在【道德經】的基礎上，融會三教『理性命之學』。王重陽強調：『儒門釋戶道相通，三教從來一祖風』，可見他始終表明『三教平等』。根據劉精誠的研究，「三教合一是唐宋以來社會思潮發展的總趨勢，北宋以來，蘇轍、張紫陽等都主張三教之說兼容並蓄，全真道的三教合一，正是順應這股社會思潮的產物。」（引劉精誠，1993，頁245）所以，全真教在十二、三世紀華北地區贏得士人的注意，就知識層面來看，是很容易理解的。 

         不過，全真教的理論繼承了陳摶（？- 989）的思想，也是另一個讓它在金元之際對中國北方學術文化發揮影響力的重要因素。這是因為陳摶的【無極圖】對於後來道教內丹派影響很大。無論是王重陽的北宗道教或南宋白玉蟾的南宗道教，在先修命或先修性容或有所不同，但理論上都從陳摶一脈相承而來。同時，陳摶對易理象數的深入研究，為周敦頤的宇宙起源說 -- 【太極圖】開啟了先河，兩宋其他理學家如程頤、程顥、朱熹也都對他十分仰慕與推崇（參考劉精誠，1993，頁226-227），因此，在動盪不安的亂世之中，全真道觀提供給流浪學者除了棲身之所之外，顯然也支撐『共享的認知空間』，讓他們分享了豐富的知識世界。 

         此外，王重陽將『仙』與『全真』聯繫起來，改革道教對神仙『白日升天、長生不死』的理解。同時，他也認為全真之意是『全其本真』，以『澄心定意，抱元守一，存神固氣』為『真功』，要保全作為人性命的根本要素即精、氣、神。換句話說，『全真、全氣、全神』就是最高神仙境界。正是基於這種新的詮釋，信徒的內丹修持變得比較可行，也因此獲得了廣大道徒的信賴。（參考劉精誠，1993，頁245） 

         王重陽去逝前不久，先後渡得『全真七子』丘處機（1148-1227）、譚處端（1123-1185）、馬鈺（1123-1183）、王處一（1142-1217）、郝大通1135-1212、孫不二（1119-1182）與劉處玄（1147-1203），並開始擴散到登州、萊州兩地成立會堂，吸收會眾。由於王重陽『家業豐厚』，自幼酷嗜讀書，才思敏捷。此外，他也習弓馬，臂力過人，1138年他曾應金初科舉武選，中甲科。（參考劉精城，1993，頁243）因此，金庸小說【射雕英雄傳】描述他們師徒都是武林高手，是極其可能的。 

         七子宣教時期，馬鈺、王處一、劉處玄、丘處機為官民齋醮的次數，較重陽立教時期頻繁，會堂分布範圍也更大，全真教在金末時已蔚為華北第一大道派，教眾占河朔人口的五分之一。（據元好問估計，參見鄭，1987，頁114）元初，全真領袖丘處機善察天下形勢，不赴金、宋之詔，唯以七十二歲高齡率徒十八人，行程萬餘里，歷時四年，西覲成吉思汗，獲禮遇敬重，遂得以免除「大小差發稅賦」，從而成為天下道流之宗主。平心而論，元初蒙古人在中原的政權尚未穩固，必須利用勢力龐大的全真教來招攬民心。至於全真教則順勢而為，持牒招求，廣攬教眾，在亂世中全活人民性命財產甚多，一方面表現宗教濟世精神，另一方面，教團勢力   

　

　

HPM 98馬賽行

         一九九八年四月二十到二十五日，筆者應邀前往法國馬賽的Luminy大學參加由HPM研究群 (International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics)所主辦的一個國際會議 -- "HPM Luminy Meeting"。會議場所設在法國數學會（SMF，Societe Mathematique de France）所屬的CIRM（Centre International de Rencontres Mathematiques），緊鄰的是CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) 所屬的一所教師研習中心。這個會議有來自三十個國家共七十位學者參加，目的是研商如何共同寫作這一本書 -- ICMI Study: The roles of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics。本書預定公元2000年八月初第九屆國際數學教育會議(ICME-9)舉行前由Kluwer Publishing Co. 出版，希望可以為HPM的研究主題整合出一個規格(format)來。

        更明確地說，這本書的功能是：1) 綜覽並且評價整個HPM學門的現況；2) 為教師、研究者以及涉及課程發展的專家學者提供資源與借鑒；3) 指出未來研究的方向與進路；4) 為那些打算在教學法中引進歷史的教育決策者提供指引與資訊。為此，John Fauvel（HPM上一任主席）及Jan van Maanen（HPM現任主席）特別在會前先草擬了本書的目次如下（括弧內的A's，B's 表示工作小組的代號）：

Part 1 Political framework (A1)

Part 2 Cultural framework (B3)

Part 3 Student framework (A3, A4, A5, A6)

       3.1 Research on classroom delivery of historical dimension (A3)

       3.2 Research on history of mathematics for trainee teachers (A4)

      3.3 Research on development of students' understanding (A5)

      3.4 Research on history for special educational needs (A6)

Part 4 Classroom framework (A2, B1, B2)

      4.1 Analytical survey of ways of using history in the classroom (A2)

      4.2 Detailed analysis and consideration of using original sources (B1)

      4.3 Survey of historical support for particular topics (B2)

Part 5 Resource framework (B5, B6)

      5.1 Non-standard resources (multimedia, instruments, www) (B5)

      5.2 Bibliographical resources (B6)

        每一位與會的七十位學者至少參加兩個工作小組，然後在長達五天的會議中，每個小組都各有10小時的熱烈討論，最後則分配工作。筆者參加了A2, B2的討論，最後當然也被分配了一個寫作題目，亦即：如何在課堂上引進畢氏定理的幾個不同數學傳統的證明，並說明它們的認知意義。

        本次會議的特色之一，是提交會議的論文，多數在與會者赴馬賽前即已由主辦單位寄到。所以，與會者在第一天開會時，情緒就十分高昂，因為大家已經對自己與其他學者可能作出的貢獻了然於胸。值得一提的是，在這種場合，學術素養（譬如數學、數學史等等）表現最好而且態度

        最積極的，除了英國、法國、荷蘭的學者之外，也有一些來自數學小國（如希臘、丹麥、拉托維雅）的學者。譬如說吧，丹麥已退休的數學教育專家Tokil Heiede就展示一套該國的中學數學教科書，讓我們赫然發現數學史並非外加，而根本是數學內容的一部份 -- 其實該書主編正是丹麥頗富盛名的女數學史家Kirsti Andersen。當筆者請教Tokil Heiede萬一老師不能適應這種教材時怎麼辦？這樣的課程改革不是很基進（radical）嗎？Tokil Heiede回答得十分乾脆："No, no, what do you mean by radical? It is a law!"

        至於亞洲與會者中除了筆者外，有兩位來自日本（為ICME-9 2000 Tokyo作準備），有三位來自香港（蕭文強與他的兩位學生，馮振業與列治佳），以及一位來自中國的張奠宙（國際數學教育委員會ICMI的國家代表）。這幾位華人與筆者都是舊識，蕭文強是任教港大的專業數學家，在HPM的專題上頗有著述。張奠宙任教於上海華東師大數學系，除了關心數學教育外，對於中國現代數學史也頗有心得，他向筆者談及中國大陸的數學史家（包括一些在師範大學任教的教授）大都無瑕顧及HPM，言下不勝歔歔。

        事實上，參加本次大會的專業數學史家除了Fauvel，van Maanen與筆者之外，就還包括了法國的Christian Houzel，德國的Hans Niels Jahnke與Gert Schubring等等。我們都相信數學史家在研讀典籍或文本（text）時，往往因為多了教育的關懷，而得以提出其他有趣的歷史問題。譬如說吧，從HPM觀點來進行Euclid對比劉徽的比較史學研究時，我們的確可以更具體地把握中國傳統數學的風格與精神。在數學教育的脈絡下考察華蘅芳（1833-1902）的【學算筆談】，我們也可讀出他在學習西算時，認知結構所經歷的挫折與掙扎。即以中國明代算學家唐順之、顧應祥無法理解宋元『天元術』為例，我們也可以因為現代學童對符號代數（symbolic algebra）的類似學習困擾，而賦以『同情的了解』，同時也對明代中國數學沒落的內在原因，多了一個觀照的角度。總之，HPM關懷對專業的數學史研究，絕對是積極且正面的（反之亦然），值得關心數學教育研究的學者專家好好地倡導與支持。這是1996年筆者前往葡萄牙參加HPM 96 Braga時，頗為成功分享的一個最重要的數學史研究心得。或許正是如此，Fauvel與van Maanen才會邀請筆者負責承辦HPM 2000 Taipei。

        此次馬賽HPM，筆者原來並不打算參加，Fauvel與van Maanen也因為體諒筆者家庭變故，而不敢相擾。直到筆者聲明仍然願意承擔HPM 2000 Taipei研討會的任務時，才積極遊說筆者務必前往，以便進一步商量研討會細節。我們初步決定HPM 2000 Taipei將於公元2000年八月9-14日在台灣師範大學舉行，主題如下：

1) History of Asian and Pacific mathematics

2) Mathematics education before 1800

3) The effectiveness of history in teaching mathematics: empirical studies

4) East and West, contrast and transfer of mathematical ideas

5) The recommendations made in the ICMI–Study Book

屆時預計有一兩百位各國學者與會，我們很希望國內也有數目相當的學者、專家及中小學教師參加，好好地展現我們在這一方面的實力。

        基於此，筆者期待國科會與教育部在未來幾年內大力支持HPM及其相關議題（譬如科學史與科學教育之關聯）的研究。到時候只要我們端得出『豐盛的菜單』來，不怕我們主導不了HPM相關議題的品味。其實只要有心，在國際學界的發言位置也不是那麼遙不可及，當然，將台灣的學 術研究國際化，絕對是先決條件。有志之士，盍興乎來!

　

參考文獻

Fauvel, John et al., 1997. "The Role of the History of Mathematics in the Teaching and Learning of
        Mathematics: Discussion for an ICMI Study (1997-2000)," BSHM Newsletter 33: 46-53.

Horng, Wann-Sheng 1993. "Hua Hengfang (1833-1902) and His Notebook on Learning Mathematics --
        Xue Suan Bi Tan," Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal 2(2): 27-76.

洪萬生 1996. 『數學史與代數學習』，【科學月刊】27 (7): 560-567。

Horng, Wann-Sheng, "Euclid versus Liu Hui: A pedagogical reflection," to appear in Victor Katz ed.,
       Using History of Mathematics in Teaching Mathematics, Washington: MAA.

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