114數甲

此次分科數甲考題，一般認為又比去年容易。確實從考生表現來看高分組的表現比去年好；不過低分組卻又低於去年。對於數學學習表現不錯的學生來說，這次的數甲應該是108課綱以來最平易近人的一次。依照大考中心難易度分類，此次除了手寫題外，選擇（填）的12題中：易的題目（答對率 $\ge60\%$）有5題；中偏易的題目（答對率 $59\%\sim45\%$）有2題；中偏難的題目（答對率 $44\%\sim30\%$）有4題；難的題目（答對率 $\lt30\%$）有1題。這次數甲、數乙分科考試，相對來說還是有一些難題，不過皆因題目的設計與編排讓它變簡單了。老師在講解題目時，仍建議不要只以答對這些題目為目標，而是儘量探討題目的脈絡，以免稍微更動一下題目，就不會做了。

單選題

此次單選題前兩題為易，應達到穩定軍心的用意。單選最後一題雖是大部分學生較害怕的排列組合問題，答對率來看確屬中偏難，不過所需考慮情況尚屬單純。對一般考生來說，單選題部分應該不需花太多時間處理。

解析： 看到大多數老師是以正弦性質處理，不過論述可能不夠完善，建議依評量正弦函數圖形處理。因為題目附圖，個人預估此題整體答對率應該有 $80\%$ 以上，不過統計結果僅達 $78\%$（依然是全卷答對率最高）。從細分五組的答對率來看原始成績最低的後$20\%$的考生（Pe組）與次低的後 $20\%\sim40\%$（Pd組），答對率差距（即D4）高達 $39\%$。可見本題是鑑別這兩組的主要一題。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

依函數圖形對稱於 $\dfrac{\pi}{2}$ 的概念來看，當 $\theta$ 和 $\theta+\dfrac{\pi}{5}$ 的中點為 $\dfrac{\pi}{2}$ 時（亦即 $\dfrac{1}{2}(\theta+\theta+\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{\pi}{2}$），就會使得 $\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})$。當然我們可以不必從對稱來看，而是利用補角關係，亦即當 $\theta+(\theta+\dfrac{\pi}{5})=\pi$ 時 $\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})$。應該不難看出這兩種看法是等價的，然而不管哪種看法，對於正確解答此題，邏輯上有些瑕疵。也就是說利用對稱性僅能確定在 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ 時滿足 $\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})$，但無法確定是否存在其他的 $\theta$ 也會滿足。 例如下圖的函數圖形也對稱於 $x=\dfrac{\pi}{2}$，但有許多的 $x$ （即 $0\le x\le \dfrac{2\pi}{5}$）會滿足函數在 $x$ 與 $x+\dfrac{\pi}{5}$ 的取值相同：。所以講解本題仍建議利用圖形了解正弦函數遞增、遞減狀況，以確保在 $0\le\theta\le\pi$ 的範圍中只有 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ 符合$\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})$。對於函數圖形概念不熟悉的學生，建議老師可以完全以函數圖形的概念（不管正弦函數），讓學生了解本題五個選項和附圖中 $x$ 軸上五點的關係，以及比較函數在這五點的取值。

附註：我們知道當 $B+A=\pi$ 時，$\sin A=\sin B$；但 $\sin A=\sin B$ 未必 $B+A=\pi$（例如 $B=A+2\pi$ 也會對）。對於了解正弦函數圖形的學生，我們可以趁此機會補足正弦函數“補角”以及“同界角”兩性質更完整的敘述。雖然當 $A,B$ 互為補角或同界角時會滿足 $\sin A=\sin B$，然而利用觀察 $y=\sin x$ 函數圖形與水平線 $y=k$（其中 $-1\le k\le 1$）相交的情形，我們可確認：$\sin A=\sin B$ 等價於 $A+B=(2n+1)\pi$ 或 $A-B=2n\pi$。至於 $\sin A=\cos B$ 的充要條件，我們可以利用 $\cos B=\sin(\dfrac{\pi}{2}-B)$，再由前面結論知：$\sin A=\cos B$ 等價於 $A-B=2n\pi+\dfrac{1}{2}\pi$ 或 $A+B=2n\pi+\dfrac{1}{2}\pi$。同理，$\cos A=\cos B$ 等同於 $\sin(\dfrac{\pi}{2}-A)=\sin(\dfrac{\pi}{2}-B)$，所以由前面結論知：$\cos A=\cos B$ 等價於 $A+B=2n\pi$ 或 $A-B=2n\pi$。

上述這些等價關係可以幫助我們處理一些三角方程式。例如今年114數A第5題需要分別考慮 $\cos2\theta=\cos\theta$ 和 $\sin2\theta=\sin\theta$ 在 $0\le\theta\le2\pi$ 的解。我們就可以避開倍角公式，直接處理。在餘弦的情況因 $\cos2\theta=\cos\theta$ 等同於 $3\theta=2n\pi$ 或 $\theta=2n\pi$，故 $\theta$ 在考慮的範圍中解為：$\theta=0,\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},2\pi$。在正弦的情況因 $\sin2\theta=\sin\theta$ 等同於 $3\theta=(2n+1)\pi$ 或 $\theta=2n\pi$，故 $\theta$ 在考慮的範圍中解為：$\theta=0,\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3},2\pi$。

解析： 此題評量空間中公垂面概念。過去評量空間概念考生一般表現並不理想，再加上本題採用三頂點決定的平面來問答，而不是用較容易直觀判斷的四個頂點來表示平面，原本預測答對率不高。不過考後結果顯示答對率為 $62\%$ 讓本題定位於“易”的題目，可見大部分學生對於正立方體上的問題還算熟悉。從高分組（前$33\%$）與低分組（後$33\%$）答對率的差距（即鑑別度D）為$68$來看，低分組學生對於這部分的空間概念仍應加強。尤其從選項分析發現低分組中最多的是圈選錯誤的選項(4)，其中原因也值得老師注意。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

若 $E$ 是兩個平面 $E_1,E_2$ 的公垂面，表示 $E$ 分別與 $E_1,E_2$ 垂直。也就是說 $E$ 的法向量會與 $E_1$ 的法向量垂直，也與 $E_2$ 的法向量垂直。所以在一般情況，若知道 $E_1,E_2$ 的法向量，它們的外積便會是公垂面 $E$ 的法向量。可以發現這個做法和求 $E_1,E_2$ 交線的方向向量一樣。沒錯！由於 $E_1,E_2$ 交線在 $E_1$ 上且在 $E_2$ 上，所以其方向向量會與 $E_1$ 和 $E_2$ 的法向量皆垂直。也就是說 $E_1,E_2$ 交線的方向向量，就是 $E_1,E_2$ 公垂面的法向量。本題若看出平面 $BGH$（即 $ABGH$）和平面 $CFE$（即 $EFCD$）的交線與直線 $AB$（或直線 $EF$）平行，亦即公垂面的法向量與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$（或 $\overset{\large\rightharpoonup}{EF}$）平行，就可以馬上決定平面 $ADH$ 是它們的公垂面。若直接利用坐標計算，平面 $BGH$ 的法向量，需計算 $\overset{\large\rightharpoonup}{GB}\times\overset{\large\rightharpoonup}{GH}$；而平面 $CFE$ 法向量，需算 $\overset{\large\rightharpoonup}{FC}\times\overset{\large\rightharpoonup}{FE}$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{GH}=\overset{\large\rightharpoonup}{FE}$，也可以馬上確認 $\overset{\large\rightharpoonup}{GH}=\overset{\large\rightharpoonup}{FE}$ 會與這兩個平面的法向量垂直。

附註：從前面的討論我們知道，當看到 $(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{v})\times(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{w})$ 這種形式的外積，所得的向量一定與 $\overset{\rightharpoonup}{u}$ 平行。從這裡我們可以知道外積並沒有所謂的結合律，也就是 $(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{v})\times\overset{\rightharpoonup}{w}$ 未必與 $\overset{\rightharpoonup}{u}\times(\overset{\rightharpoonup}{v}\times\overset{\rightharpoonup}{w})$相等。“括弧”的順序很重要，不能亂換，否則 $(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{v})\times(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{w})$ 會變成 $\overset{\rightharpoonup}{0}$。最常見的例子就是若向量 $\overset{\rightharpoonup}{u}$、$\overset{\rightharpoonup}{v}$ 垂直，此時 $\overset{\rightharpoonup}{u}\times(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{v})$ 就會和 $\overset{\rightharpoonup}{v}$ 平行，因為此時 $\overset{\rightharpoonup}{v}$ 同時與 $\overset{\rightharpoonup}{u}$ 和 $\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{v}$ 垂直；但 $(\overset{\rightharpoonup}{u}\times\overset{\rightharpoonup}{u})\times\overset{\rightharpoonup}{v}$ 卻是 $\overset{\rightharpoonup}{0}$。

我們可以利用兩平面 $E_1,E_2$ 的公垂面 $E$ 來了解 $E_1,E_2$ 的夾角。也就是：$E_1$、$E_2$ 分別和 $E$ 的交線的夾角就是 $E_1,E_2$ 的夾角。例如本題，已知平面 $BCGF$ 是平面 $BGH$ 和平面 $CFE$ 的公垂面（因為平面 $BCGF$ 和平面 $ADH$ 平行），所以利用平面 $BGH$、$CFE$ 分別和平面 $BCGF$ 的交線，即正方形 $BCGF$ 的對角線 $BG$、$CF$ 互相垂直，可知平面 $BGH$ 和平面 $CFE$ 也垂直。令 $\overset{\rightharpoonup}{v}$、$\overset{\rightharpoonup}{w}$ 分別為 $E_1$、$E_2$ 的單位法向量，且令 $\overset{\rightharpoonup}{u}$ 為公垂面 $E$ 的單位法向量。此時 $\overset{\rightharpoonup}{v}\times\overset{\rightharpoonup}{u}$、$\overset{\rightharpoonup}{w}\times\overset{\rightharpoonup}{u}$ 分別是 $E_1$、$E_2$ 和 $E$ 交線的單位方向向量。我們可以利用內積與外積的性質 $\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{b}\times\overset{\rightharpoonup}{c})=\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{c}\times\overset{\rightharpoonup}{a})$，推得 \[(\overset{\rightharpoonup}{v}\times\overset{\rightharpoonup}{u})\cdot (\overset{\rightharpoonup}{w}\times\overset{\rightharpoonup}{u})=\overset{\rightharpoonup}{w}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{u}\times (\overset{\rightharpoonup}{v}\times\overset{\rightharpoonup}{u}))=\overset{\rightharpoonup}{w}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v},\] 也因此證得 $E_1,E_2$ 與公垂面交線的夾角確實和 $E_1,E_2$ 的法向量夾角一致。注意，上式因為 $\overset{\rightharpoonup}{v}$ 和 $\overset{\rightharpoonup}{u}$ 垂直，所以如前所述： $\overset{\rightharpoonup}{u}\times (\overset{\rightharpoonup}{v}\times\overset{\rightharpoonup}{u})=\overset{\rightharpoonup}{v}$。

本題答對率為$36\%$，連高分組 Ph 也才 $57\%$ 有點訝異。看了以下大考中心的選項分析，發現連高分組都有四分之一的考生選答錯誤選項(5)。也就是說許多考生不顧題目的提示，而沒有考慮三點共線的情況。近年來因為強調素養，常有文字較多的試題出現。聽說許多老師會告訴學生，為了爭取時間不必去閱讀前面的文字，只要直接回答問題即可。個人覺得這樣不見得對學生有利的說法，應儘量避免。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

多選題

這次多選題除了一開始的第4題外，其餘各題選項安排都是循序漸進引導考生處理最後一個主要問題。從考生整體的表現來看，有兩題易、一題中偏易，以及兩題中偏難。比起歷年，今年多選題的表現不錯。若單從題目的最後一個選項來看，有幾題並不容易直接作答。可見考生已漸漸熟悉這種循序作答的題型。

解析：若能了解二次曲線標準式所對應的圖形，照當今流行的術語本題應該是“秒殺”。若不了解圖形，也可利用解方程式的概念處理，檢查是否任意給定 $x$ 值都可以解出 $y$。 例如選項(1)移項可得 $y^2=\dfrac{1}{9}(36-4x^2)$。也就是說當 $x\gt3$ 或 $x\lt -3$ 時，$y$ 無解（這與圖形是半長軸長為 $3$ 的橢圓相吻合）。選項(2)移項可得 $y^2=\dfrac{1}{9}(4x^2-36)$。也就是說當 $-3\lt x\lt3$，時 $y$ 無解（這與圖形是以 $x$ 軸為貫軸且半貫軸長為 $3$ 的雙曲線相吻合）。選項(3)移項可得 $y^2=\dfrac{1}{9}(36+4x^2)$，對任意 $x$，皆可解出 $y=\pm\dfrac{2}{3}\sqrt{9+x^2}$（這與圖形是以 $y$ 軸為貫軸的雙曲線相吻合）。選項(4)是大家熟悉的二次函數圖形（開口向上的拋物線）。注意，只要函數的定義域是整個實數，其圖形一定符合題設。而選項(5)由 $y^2=\dfrac{9}{4}x$，可知當 $x\lt0$，時 $y$ 無解（這與圖形是開口朝右的拋物線相吻合）。

本題和單選第2題一樣，僅需以概念作答。有趣的是兩題的答對率（連各分組資料）都相當一致。對於概念清楚的學生，應可得到不錯的成績，對於表現較不佳的學生，這部分是值得加強的。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：本題評量數列與級數及其極限。乍看到求 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n)^n$ 可能不知如何處理。 即使猜測是等比級數，然而 $\dfrac{(a_n)^n}{(a_{n-1})^{n-1}}=\left(\dfrac{\cos(n\pi-(\pi/6))}{\cos((n-1)\pi-(\pi/6))}\right)^{n-1}\cos(n\pi-(\pi/6))$一時也看不出是否為定值。不過若依選項提示先觀察 $a_n$，事情就變簡單了。首先 $a_1=\cos(\pi-\dfrac{\pi}{6})=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$a_2=\cos(2\pi-\dfrac{\pi}{6})=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，接著由正弦函數的週期性得知 $a_{2k+1}=a_1$ 以及 $a_{2k+2}=a_2$。因此得知 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n)^n$ 是一個公比為 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的無窮等比級數。因而由首項為 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得級數和為 $\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=3-2\sqrt{3}$。

即使知道是等比級數，選項(5)仍不能算是簡單的。不過從選項分析來看，選項(5)的答對率高達 $71\%$，令人疑惑。其實本題前三個選項算是簡單，引導考生先了解數列 $\langle a_n\rangle$ 安排也很合理。不過選項(4)的安排較令人不解，一連兩個錯誤的敘述實在沒有誘答力。個人猜測由於很容易確定前四個選項僅有一個是對的，所以許多考生都大膽猜選選項(5)。 選項(4)若改為較有誘答性的 $\displaystyle\left|\lim_{n\to\infty}a_n\right|\lt1$，應該較能達到評鑑選項(5)的功效。 本題應比上一題難，高分組的表現也確實低於上一題，但低分組的表現卻優於上一題。可能就是因為簡單概念的選項過多。多選題的選項要如何安排，才能達到評量的效果，應該多留意。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

解析：本題評量連續函數的中間值定理，以及指數、對數函數的關係。要判斷 $1.2^x=\log_{1.2}x$ 是否有實數解並不容易。用代數解法是行不通的；若從函數圖形來看，一般常見的指數函數圖形 $y=a^x$ 及其反函數圖形 $y=\log_ax$ 是不相交的。從考生作答的選項分析，有半數以上的考生誤選了選項(5)，可能就是憑直覺誤以為它們不相交。 選項(1)(2)(3)應是引導利用中間值定理來確定 $1.2^x=x$ 有實數解。因為 $1.2^0=1\gt0$，故選項 (1) 正確。而 $\log(1.2^{10})=10\log1.2\approx 0.079\lt 1$，可知 $1.2^{10}\lt 10$，即選項(2)錯誤。因此若考慮連續函數 $g(x)=1.2^x-x$，可由 $g(0)\gt0$ 且 $g(10)\lt0$ 以及中間值定理知：存在正實數 $b\lt10$ 滿足 $g(b)=0$，亦即 $1.2^b=b$，因而選項(3)正確。 選項(4)可能是要提示利用對數處理下一個選項，不過這個選項是錯的：$y=\log(1.2^x)=(\log1.2)x$ 圖形是一直線不可能與 $y=1.2^x$ 對稱於 $y=x$。兩函數圖形對稱於 $y=x$ 意指它們互為反函數。函數 $y=1.2^x$ 的反函數應為 $y=\log_{1.2}x$。也因此由選項(3)所找到的實數 $b$ 滿足 $1.2^b=b$，將兩邊取對數 $\log_{1.2}$ 可得 $b=\log_{1.2}b$。故可得 $1.2^b=b=\log_{1.2}b$。注意，由於 $y=1.2^x$ 的圖形為凹向上，所以它除了與直線 $y=x$ 交於 $0\lt x\lt 10$ 外，還會在 $x\lt 10$ 交於另一點。也就是說還會有一實數 $c\gt 10$ 滿足 $1.2^c=\log_{1.2}c$。

本題實際得分率為$40\%$，還算符合預期。不過高分組約有九成選項(1)、(2)都答對，但選項(3)僅剩 $65\%$ 答對，可見仍有許多高分組考生不了解這三個選項的關聯性。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

解析：本題評量一次、二次微分對函數遞增遞減以及凹向的判定，最後涉及多項式的次數。單獨由題設要判定選項(5)有關多項式的可能次數應不容易，藉由前面選項的引導，應該有所幫助（有一半以上的考生，答對選項(5)）。選項(1)和後面選項無關，可能只為評量局部極值和絕對極值的差異。因為極大值的定義是局部的最大值，有可能在範圍加大後就不再是最大值，使得其值會小於其他點的取值。從選項分析來看，高分組有九成以上知道這個選項是錯的，也就是極大值有可能小於極小值；但低分組就有高達七成誤選了這個選項。不過雖然對一般可微的函數容易由圖形得到極大值小於極小值的情況；但對於符合題設的多項式，要確實找到例子並不容易。多數老師講解此題都用畫圖說明，會讓學生誤以為隨便畫一個圖形都會是多項式函數的圖形。所以嚴格來說，雖然選項(1)當限制在多項式函數仍可找到反例，但其困難度相當高（詳見本題附錄），並不合適。對於選項(2)，因為函數在 $x=1$ 是極小值，也就是在 $x=1$ 附近取值都會比較大，所以在 $x=1$ 附近的右側 $f(x)$ 是遞增的。同理因在 $x=2$ 也是極小值，所以在 $x=2$ 附近的左側 $f(x)$ 是遞減。因此利用一次微分判別遞增、遞減的方法，知選項(2)正確。注意因 $f'(x)$ 仍為連續函數，所以由此選項所得 $f'(a)>0$ 且 $f'(b)\lt0$ 以及中間值定理知存在 $k$ 介於 $1,2$ 之間滿足 $f'(k)=0$。至於選項(3)因 $f(x)$ 在 $x=3$ 是極大值，在該點附近圖形為凹向下，故知 $f''(3)\le 0$，所以此選項錯誤。注意即使選項改為 $f''(3)\lt 0$，仍不正確。因為確實有可能發生局部極值的地方其二次導數為 $0$（例如 $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 為極小值）。選項(4)正確，因為 $f(x)$ 的最高次項係數為正，所以當 $x$ 夠大時取值越大，其圖形遞增往上，亦即一次導數會大於 $0$。此選項又幫我們找到另一個一次微分為 $0$ 的地方：因為 $x=5$ 是極大值，函數在其附近右側為遞減，一次導數小於 $0$；但之後又變成大於 $0$，所以再次利用中間值定理知存在 $s\gt 5$ 使得 $f'(s)=0$。我們總共找到了 $1,k,2,3,4,5,s$ 這 $7$ 個點會使得 $f'(x)=0$，因此 $f'(x)$ 的次數至少是 $7$，也因此得知 $f(x)$ 的次數必大於 $7$。

本題實際得分率為$45\%$，高分組表現還好（Ph=77）。不過低分組就很不理想，得分率僅 $15\%$，是本卷選擇題（單選、多選）中得分率最低的。今年數乙第13題，以及去年113數甲第7題，都是評量微分判別遞增遞減與凹向的問題。數乙的答對率與今年數甲相近，不過即使是高分組去年數甲第7題答對率就偏低。或許因為今年這兩題都僅是文字上的敘述理解，而去年的題目是以實際的函數評量，需要進一步的計算程序。 對於學習狀況較佳的學生應再加強實際計算的這一部分。 本題大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

附註：這一題前面4個選項牽涉極值、遞增遞減，及凹向等性質。其實這些微分的判別方法，對一般二次可微函數皆成立，唯有第五個選項因為涉及次數，才需限制在多項式。建議老師有機會時可以讓學生了解及區分哪些是多項式獨有的特性。嚴格來說選項(1)並不是簡單的向學生說「有可能極大值會小於極小值」就可以了。因為題設中 $f(x)$ 是多項式，而且在一些給定點有極值，限制較多。絕不是畫一個圖就可以說是找到反駁選項(1)的例子。為了避免學生誤解，以為隨便畫一個連續的平滑曲線都可以是某個多項式函數圖形，我們特別在此說明一下。給定有限多個相異實數 $a_1,a_2,\dots,a_n$，我們可以利用插值多項式的方法找到多項式 $f(x)$ 使得在每個 $a_i$ 的取值 $f(a_i)$ 是任意給定的實數。另一方面對於這些相異實數 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 我們可利用反導函數找到多項式 $g(x)$ 使得 $g(x)$ 在每個 $a_i$ 都是極值。問題是這兩個要求合併起來，就未必可以達成。也就是說我們未必找得到多項式 $h(x)$ 使得函數 $h(x)$ 在每個 $a_i$ 有極值而且其值 $h(a_i)$ 是我們想要的實數。 這是因為 $h'(a_i)=0$，所以 $h(x)$ 應為 $r(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ 的反導函數（其中 $r$ 為實數）。若 $F(x)$ 為 $(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ 的一個反導函數，則 $h(x)=rF(x)+c$，也就是說 $h(a_i)$ 的取值是被 $F(a_i)$ 所控制，沒有太多變動的空間。例如要找到二次函數使得它在 $x=a$ 有極值且極值為 $b$，我們令 $F(x)$ 為 $(x-a)$ 的反導函數 $\dfrac{1}{2}(x-a)^2$。所以因 $F(a)=0$，由已知 $h(x)=rF(x)+c$，代入 $x=a$ 解得 $h(x)=rF(x)+b$。因為 $r$ 可以是任意實數，所以我們知道有無窮多個二次函數滿足在 $x=a$ 有極值且極值為 $b$。對於三次函數要找到 $h(x)$ 在給定的兩點 $x=a_1,a_2$ 有極值且極值分別為 $b_1,b_2$，我們同樣的先找 $(x-a_1)(x-a_2)$ 的反導函數 $F(x)$，再令 $h(x)=rF(x)+c$，代入 $a_1,a_2$ 解 $r,c$ 的聯立方程 $\left\{ \begin{array}{c} rF(a_1)+c = b_1 \\ rF(a_2)+c = b_2 \end{array}\right. $。由於 $F(a_1)\ne F(a_2)$，我們知道這個聯立方程會有唯一解。因此給定相異實數 $b_1,b_2$ 會有唯一的三次多項式滿足在給定的兩點 $x=a_1,a_2$ 有極值且極值分別為 $b_1,b_2$。注意這裡 $b_1\ne b_2$，否則聯立方程組 $\left\{ \begin{array}{c} rF(a_1)+c = b_1 \\ rF(a_2)+c = b_1 \end{array}\right. $ 會有唯一解 $r=0,c=b_1$，所得的 $h(x)$ 是常數。不難理解，四次的情況由於有三個極值點，要解的二元一次方程組有三個等式，所以就會有無解的可能。同理若要求更高次，有解的情況就更難了！

回到這題的選項(1)，前面已知符合題設的多項式 $f(x)$ 需滿足在 $x=1,k,2,3,4,5,s$ 這 $7$ 個點的微分值等於 $0$，其中 $1\lt k\lt 2$ 且 $s\gt 5$。所以令 $F(x)$ 為 $(x-1)(x-k)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-s)$ 的反導函數，我們可以考慮 $f(x)=rF(x)+c$。因為 $f(x)$ 的最高次項係數為正，所以 $r\gt 0$。我們想知道是否可以找到 $r\gt 0$ 使得 $f(3)\le f(1)$，即 $f(3)-f(1)=r(F(3)-F(1))\lt 0$。因為 $r\gt 0$，所以我們的問題改為要找到 $1\lt k\lt 2$ 且 $s\gt 5$ 使得 $F(x)$ 滿足 $F(3)-F(1)\lt 0$。很不幸的，$k,s$ 在此限制之下所得的 $F(x)$ 皆無法滿足 $F(3)-F(1)\lt 0$。也就是說：若僅考慮滿足題設且次數為 $8$ 的多項式 $f(x)$，都會有 $f(3)\gt f(1)$。還好選項(1)並沒有要求 $f(x)$ 的次數，我們可以提高 $f(x)$ 的次數增加自由度。為了讓 $f(x)$ 在 $x=3$ 的附近取值不要太大，我們可以考慮調高 $f'(x)=0$ 在 $x=3$ 的重根數，使它平緩一點。例如考慮 $f'(x)=(x-1)(x-k)(x-2)(x-3)^3(x-4)(x-5)(x-s)$ 的情形。注意，這裡在 $x=3$ 的重根數定為 $3$ 主要是為了保持各點原本極大、極小的要求。在此調整後，確實便可找到 $1\lt k\lt 2$ 且 $s\gt 5$ 使得 $f(3)\lt f(1)$ 了。例如取 $k=\dfrac{5}{4},s=6$，可得 \[f(x)=\frac{1}{10}x^{10}- \frac{113}{36} x^9 + \frac{1375}{32} x^8- \frac{4723}{14} x^7+ \frac{20153}{12} x^6- \frac{110537}{20} x^5+ \frac{194295}{16} x^4- 17532 x^3+\frac{31725}{2} x^2 -8100 x.\] $f(x)$ 滿足題設在 $x=1,2,4$ 有極小值，且在 $x=3,5$ 有極大值，而且 $f(1)=-\dfrac{3570181}{2016}$ 確實大於 $f(3)=-\dfrac{1985553}{1120}$。

解析： 評量複數平面上的幾何，應該是本卷最具挑戰性的一題。事實上本題高分組得分率為 $37\%$ 而且五個選項全對僅占 $6\%$，是全卷最低的一題，可知其難度頗高。 不過本題的整體得分率為 $30\%$，未達難題的標準頗令人訝異。應該是低分組的得分率拉高了正題得分率。第4題和本題分別是高分組得分率最高與最低的兩題，但低分組在這兩題的得分率幾乎一樣，實在有趣。 可能是正確選項過多，造成猜答容易得分，也使得本題是全卷鑑別度最低的一題。從選項分析來看前兩個選項是觀念引導，有八成以上高分組正確作答；但後面三個選項需實際演算，連高分組都和低分組一樣幾乎都是猜答。個人和上一題想法一致，覺得學習狀況較佳的學生應再加強實際計算的這一部分。本題大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

複數平面上的問題，建議用極式處理，也就是用 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 的方法表示，其中 $r=|z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}$。本題中因 $|z|=2$，故知 $z\cdot\overline{z}=4$。選項(1)錯誤。 使用極式的好處是若 $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$，則由隸美弗定理可得 $z_1z_2=r_1 r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$。這將複數的乘法、除法與複數平面上的幾何連結在一起。例如將複數 $z$ 看成在複數平面上 $0$ 到 $z$ 的向量，則當 $z_1$ 為實數時（$\theta_1=0$ 或 $\theta_1=\pi$），則 $z_1z_2$ 和 $z_2$ 所形成的向量會平行。反之，若 $z_1$ 為非實數的虛數， 則 $z_1z_2$ 和 $z_2$ 所形成的向量不平行（轉動了 $\theta_1$）。本題中 $z^3,z,1$ 共線，等同於 $z^3-z$ 和 $z-1$ 方向一致（沒有轉動），因此若 $\dfrac{z^3-z}{z-1}=z'$，則因 $z^3-z=z'\cdot(z-1)$，知 $z'$ 應為實數（否則乘上虛數會轉動）。選項(2)正確。由於 $\dfrac{z^3-z}{z-1}=z^2+z$，若令 $z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$，則得 $z^2+z=4(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))+2(\cos\theta+i\sin\theta)$。如何利用 $\dfrac{z^3-z}{z-1}$ 是實數來確定 $z$ 呢？選項(2)提示 $z^2+z$ 的虛部為 $0$，所以我們專注於其虛部 $4\sin(2\theta)+2\sin\theta=0$ 來處理。利用倍角 $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ 以及 $z$ 的虛部 $2\sin\theta\ne 0$，可得 $4\cos\theta+1=0$，亦即 $z$ 的實部 $2\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$。選項(3)正確。知道 $z$ 的實部以及其長度，我們就可找到 $z$ 所符合的二次實係數方程式。因為虛根成對，若 $z=a+bi$、$\overline{z}=a=bi$，則 $z$ 需符合二次實係數方程式：$(z-(a+bi))(z-(a-bi))=0$。亦即 $z^2-2az+a^2+b^2=0$。所以由 $z$ 的實部 $a=-\dfrac{1}{2}$ 以及 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=2$，可得 $z$ 滿足 $z^2+z+4=0$。選項(4)錯誤。最後要檢查 $z^2,z,-2$ 是否共線，我們僅要檢查 $z^2-z$ 和 $z-(-2)$ 是否同向。由 $z^2+z+4=0$ 知 $z^2-z=(-z-4)-z=-2(z+2)=-2(z-(-2))$ 知道 $z^2-z$ 和 $z-(-2)$ 確實同向。選項(5)正確。

觀察許多老師處理此題直接利用 $z=a+bi$ 處理，牽涉到 $(a+bi)^2$ 的展開，再用比較係數解出 $a,b$，因而具體得到符合題設的兩個 $z$。接著驗證 $z$ 是否符合選項(4)的方程式，以及檢查 $z^2,z,-2$ 是否共線。整體程序較為複雜。建議讓學生嘗試利用極式處理。另外不需解出 $z$，僅由 $z$ 的絕對值以及實部就可得到 $z$ 所符合的二次實係數方程式。這部分是108課綱未強調的根與係數關係，其實是經常需要用到的概念，建議不妨介紹給學生。從幾何來看 $z$ 和其共軛 $\overline{z}$ 對稱於實數軸，所以 $1,z,z^3$ 共線，當然 $1,\overline{z},\overline{z}^3$ 共線。因此本題的 $z$ 有兩解，這一點也可鼓勵學生從幾何的角度說明看看。另外 $z$ 虛部不為 $0$ 的假設，以及有沒有可能 $|z|=1$ 會使得 $1,z,z^k$ 為共線的相異三點，也都可以鼓勵學生從幾何的觀點回答。

選填題

今年選填題難易度算正常。中偏易、中偏難、難的題目，依序各一題。兩個稍微有難度的問題，只要找對策略，計算並不複雜。整體來說算是平易近人。

解析：本題只要記得旋轉 $\theta$ 角的旋轉矩陣 $\left[\begin{array}{cc}\cos\theta& -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{array} \right]$ 以及對 $x$ 軸的鏡射矩陣 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\0 & -1\end{array} \right]$，再由矩陣乘法 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\0 & -1\end{array} \right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\cos\theta& -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta& -\sin\theta \\-\sin\theta & -\cos\theta\end{array} \right]$ 知 $(\cos\theta -\sin\theta +\sin\theta + \cos\theta)=2(\cos\theta -\sin\theta -\sin\theta - \cos\theta)$。因此得到 $2\cos\theta=-4\sin\theta$，解得 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-1}{2}$。單純的評量幾個定義，答對率沒上 $60\%$ 不是很理想。高分組答對率高於九成，但低分組卻只有 $16\%$，使得本題成為全卷鑑別度最高的一題。學生平時若對這些定義都不在意，上課談論更進一步課題當然就難以吸收，老師應特別留意這些現象。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：乍看到此題確實令人愣了一下，會有不知如何下手之感。還好題目選用了較容易直觀感受的兩個平面 $x=0$ 與 $z=0$，只要“勇敢”下筆嘗試，不難解出答案。本題答對率 $33\%$ 屬中偏難，前 $20\%$ 的最高分組答對率為 $82\%$ ，但次高分組就驟降到 $48\%$，使得本題和下一題是本卷鑑別出最高分組的鑑別度最好的兩題。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

我們先看一般的情形：空間中一平面 $E$ 與另外兩個不平行平面 $E_1,E_2$，分別相交於直線 $L_1,L_2$。若 $L_1,L_2$ 平行，則 $L_1,L_2$ 也與 $E_1,E_2$ 所交的直線 $L$ 平行。我們用以下幾種看法說明這一件事。首先因為 $L_1,L$ 都在平面 $E_1$ 上，若 $L_1$ 與 $L$ 不平行，則 $L_1,L$ 必有一交點 $P$。注意此時因為 $P$ 在平面 $E$（因 $P$ 在 $L_1$ 上），也在平面 $E_2$ 上（因 $P$ 在 $L$ 上），所以 $P$ 在 $E$ 與 $E_2$ 的交線 $L_2$ 上。此與 $L_1,L_2$ 平行的假設相矛盾，所以 $L_1$ 與 $L$ 一定平行。從這裡我們知道若 $L_1,L_2$ 交於一點 $P$，則 $P$ 會是 $L_1,L_2,L$ 三直線的共同交點，也就是 $E_1,E_2,E$ 三平面的共同交點。

我們也可利用前面在第2題所提公垂面的概念來說明。因為 $L_1$ 是平面 $E,E_1$ 的交線，所以 $L_1$ 的方向向量就是 $E,E_1$ 公垂面的法向量。同理 $L_2$ 的方向向量就是 $E,E_2$ 公垂面的法向量，也因此由 $L_1,L_2$ 平行知存在平面 $H$ 是 $E,E_1$ 的公垂面，也是 $E,E_2$ 的公垂面。換言之，$H$ 也是 $E_1,E_2$ 的公垂面。所以 $H$ 的法向量（也就是 $L_1,L_2$ 的方向向量）也會是 $E_1,E_2$ 的交線 $L$ 的方向向量。依此得證 $L_1,L_2$ 和 $L$ 都有相同的方向向量，所以互相平行。

我們也可連結聯立方程組的概念來說明。考慮分別表示三平面的方程式所形成的聯立方程組，此聯立方程的解就是這三平面的共同交點。 所以聯立方程組有唯一解，表示三平面交於一點（即前述 $L_1,L_2,L$ 兩兩相交於同一點）。此時不管如何將此三平面平移（即法向量不變），三平面依然交於一點，亦即所代表的聯立方程組仍僅有唯一解。 而聯立方程組有無窮多解的情況，可將所代表的平面平移變成無解；反之亦然。例如三平面方程式所表示的是同一平面（方程組有無窮多解），將其中任一平面平移移走，就會形成平行的平面（方程組無解）。而三平面交於一線，又可分成其中兩平面重合、三平面皆相異兩種情況。這兩種情況所形成的聯立方程組皆為無窮多解。第一種情況只要將重合的平面其中一個平移移走，三平面相交的情況就會是其中一平面與兩平行平面分別交於一直線且這兩直線互相平行（方程組無解)。第二種情況只要將其中任一平面平移移走，三平面相交的情況就會是兩兩相交於一直線且這三直線互相平行（方程組無解)，這就是本題所探討的情況。

回到原來的問題。由前面的說明，因為平面 $E_1:x=0$ 與平面 $E_2:z=0$ 的交線，即 $y$ 軸，會和 $L_1$ 以及 $L_2$ 平行。所以 $L_1,L_2$ 的方向向量為 $(0,1,0)$。既然知道 $L_1,L_2$ 的方向向量且知道它們分別通過點 $(0,2,-11)$ 和 $(8,21,0)$，就可以將它們的參數式寫下來。接下來就可以用大家習慣的方法求 $L_1,L_2$ 的距離。因為本題平面所在位置很簡單，我們可以將已知兩點沿著方向向量 $(0,1,0)$ 移動到平面 $H:y=0$，即點 $(0,0,-11)$ 和 $(8,0,0)$。因為平面 $H$ 是平面 $E_1,E_2$ 的公垂面，所以其上兩點 $(0,0,-11)$ 和 $(8,0,0)$ 連線會和 $L_1,L_2$ 垂直。也就是說 $(0,0,-11)$ 和 $(8,0,0)$ 的距離 $\sqrt{11^2+8^2}=\sqrt{185}$ 就是 $L_1,L_2$ 的距離。

本題兩平面 $E_1:x=0$ 和 $E_2:z=0$ 的方程式相對簡單，若一時無法如前述利用幾何的看法得到 $L_1,L_2$ 的方向向量，也可以直接依定義求出。因為 $L_1$ 在 $E_1$，可設其方向向量為 $(0,a,b)$（與 $E_1$ 的法向量 $(1,0,0)$ 垂直），同理 $L_2$ 的方向向量可設為 $(c,d,0)$（與 $E_2$ 的法向量 $(0,0,1)$ 垂直）。因此由 $(0,a,b)$ 和 $(c,d,0)$ 需平行，得 $b=0$ 且 $c=0$，亦即 $L_1,L_2$ 的方向向量皆與 $(0,1,0)$ 平行（同時與 $E_1$ 的法向量和 $E_2$ 的法向量垂直）。 雖然本題不需知道平面 $E$ 就能求得直線 $L_1,L_2$，我們也可進一步將 $E$ 的方程式求出。即利用點 $(0,2,-11)$ 和 $(8,21,0)$ 在 $E$ 上，可知平面 $E$ 上有這兩點所形成的向量 $(8,19,11)$。另外 $L_1$ 的方向向量 $(0,1,0)$ 也在 $E$ 上，利用外積解得法向量 $(-11,0,8)$，求得 $E:11x-8z=88$。了解這些以後不妨讓學生處理更一般的情況：『給兩個不平行的平面 $E_1,E_2$ 的方程式，並分別在 $E_1,E_2$ 上給定點 $P_1,P_2$（皆不能在 $E_1,E_2$ 交線上）。有一平面 $E$ 與 $E_1,E_2$ 分別交於直線 $L_1,L_2$。已知 $L_1,L_2$ 平行且分別通過點 $P_1,P_2$。試求 $L_1,L_2$ 的距離以及平面 $E$ 的方程式。』

解析：評量坐標平面上的直線與向量。若依著題目的條件循序作答應可完成，不過若能全部轉換成向量處理，會輕鬆不少。本題全體答對率為$17\%$，是全卷答對率最低的一題。不過若觀察高分組的答對率卻是高於第8題，可見第8題難度應該比較高。值得注意的是本題是前 $20\%$ 的最高分組與次高分組鑑別度最高的一題。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

若依題設以直線處理第一個遇到的問題便是點 $P$ 的位置。不過題目僅問平行四邊形面積，與點 $P$ 的位置無關，一般來講將之設在原點會比較方便。若直接用直線方程式處理，需要找到對邊的方程式再求交點比較麻煩。若懂得利用直線的參數式就可設與原點相鄰的兩個頂點坐標分為 $(t_1,5t_1)$, $(t_2,-\dfrac{2}{3}t_2)$。再利用中點公式得 $\dfrac{1}{2}(t_1+t_2,5t_1-\dfrac{2}{3}t_2)=(10,-1)$ 解得 $t_1=2$, $t_2=18$。因此知 $\Gamma$ 是由向量 $(2,10)$ 和 $(18,-12)$ 所展成的平行四邊形，故取行列式可得其面積為 $204$。

其實直線參數式以及分點公式都與向量有關。所以我們可以完全用向量處理本題。空間中的直線有方向向量，同樣的概念平面上的直線當然也有方向向量。空間中的平面有法向量，同樣的概念平面上的直線當然也有法向量。本題所給的直線 $5x-y=0$ 其法向量為 $(5,-1)$ 所以方向向量是 $(1,5)$，也因此知 $\Gamma$ 的一邊與向量 $(1,5)$ 平行，設為 $\alpha(1,5)$。又 $\Gamma$ 的另一邊與直線 $3x-2y=0$ 垂直，因為 $3x-2y=0$ 的法向量為 $(3,-2)$，所以知這一邊與向量 $(3,-2)$ 平行，設為 $\beta(3,-2)$。因此由 $\Gamma$ 的對角向量為 $2(10,-1)$，可設 $\alpha(1,5)+\beta(3,-2)=(20,-2)$ 解得 $\alpha=2$, $\beta=6$。即 $\Gamma$ 是由向量 $(2,10)$ 和 $(18,-12)$ 所展成的平行四邊形。這個向量的作法讓我們更了解，此題點 $P$ 的位置是無關的。

題組及非選擇題

這次兩個大題都有要求分析比較的意味。第一大題評量二項分布、幾何分布及其期望值；而第二大題評量微積分，都是高三數甲內容。閱卷現場的感受是：無作答的空白卷比往年少，不過整體答題得分狀況仍不理想。第一大題手寫部分最常見的錯誤就是 $\Sigma$ 符號的表示，以及次數和金額期望值的混淆。而第二大題手寫部分最常見的錯誤首要的就是證明論述的不完善，以及誤以為代幾個點就能判定變化趨勢。

解析：第12題需要一點點的邏輯，即使用方式一需付300元才能得到公仔表示前兩次都未抽中，所以機率是 $(\dfrac{3}{5})^2$。本題答對率不到八成，即使前 $20\%$ 最高分組答對率也僅 $91\%$ 實在令人訝異。從選項分析來看，錯答最多的是選項(5)，應該是方法一、方法二搞混了。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

大考中心提供的選項分析如下：

解析：第13題要求利用 $\Sigma$ 符號依定義寫下方式二得到公仔所需次數的期望值。閱卷時發現，僅少數考生能正確無誤的使用 $\Sigma$ 符號。除了一般項錯誤外，和 $\Sigma$ 符號有關的錯誤千奇百怪：$\Sigma$ 符號內出現等號、加號的比比皆是；索引變數（index variable）在 $\Sigma$ 和一般項不吻合（例如索引變數是 $k$，但一般項是用 $n$ 表示）；索引變數和上界用同一符號（例如 $\displaystyle\sum_{n=1}^n$）。還有一些比較可惜的是符號、一般項完全正確，但僅寫成有限項（忘了取極限）。數學上的一些符號與定義，都有其一定的方便性。了解它才能學習進一步的理論且與人討論溝通（這也是數學素養著重的一部分）。千萬不要認為僅是定義、符號就草草帶過，詳細讓學生了解各部分所代表的意義而不是死記，絕對有很大的幫助。另外要注意的是許多考生在13題，寫成所付金額的期望值，不知是沒注意到加粗黑底的“次數”二字，還是認定期望值一定要乘上金額。

由於抽到第 $k$ 次才抽中公仔的機率為 $\dfrac{2}{5} (\dfrac{3}{5})^{k-1}$，所以所需抽獎次數的期望值為 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty k\dfrac{2}{5} (\dfrac{3}{5})^{k-1}$。接下來的求值，因為卷末附有公式，所以只要辨識出這是 $p=\dfrac{2}{5}$ 的幾何分佈，寫出期望值為 $\dfrac{1}{p}=\dfrac{5}{2}$ 即可。有許多考生在作答區試圖寫下無窮級數 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty k\frac{2}{5} (\frac{3}{5})^{k-1}=\frac{5}{2}$ 的證明。嚴格來講，這個證明超出高中學習內容，當然這部分是不予計分的。其實考生的證明方式都是在此無窮級數收斂的前提下才成立，然而一個無窮級數收斂的必要條件是一般項會趨近於 $0$，但 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}k\frac{2}{5} (\frac{3}{5})^{k-1}=0$，對一般高中生來講並不是容易。一開始就假設無窮級數收斂處理，不容易讓學生理解處理無窮級數的難處，也常在日後處理無窮級數出現錯誤的論述而不自知。建議課堂上仍以先求有限級數再取極限的方式處理，讓學生了解真正的環節在哪裡。也就是令 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k\frac{2}{5} (\frac{3}{5})^{k-1}$，再乘上 $\dfrac{3}{5}$ 得 $\displaystyle \frac{3}{5}S_n=\sum_{k=1}^n k\frac{2}{5} (\frac{3}{5})^{k}$ 兩式相減可得 $\displaystyle \frac{2}{5}S_n=\frac{2}{5}\left(\sum_{k=1}^n\frac{3}{5}^{k-1}-n(\frac{3}{5})^{n}\right)$。這樣學生就可充分理解真正的問題在於是否 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(\frac{3}{5})^n=0$。

第14題關於使用方式二得到一個公仔所需金額的期望值，考生中若13題次數的期望值正確，都知道乘上 $100$ 元得到金額的期望值為 $250$。反倒是許多考生不知道次數的期望值卻能正確寫出金額的期望值。猜測這些考生平時僅記憶如何算金額的期望值，而不知它與次數的期望值的關係。至於使用方式一得到一個公仔所需金額的期望值，有趣的是：在計算以 $225$ 元得到公仔的機率，很少考生是利用 $1$ 減掉第12題以 $300$ 元得到公仔的機率 $\dfrac{9}{25}$，這種扣除的方法求得機率為 $\dfrac{16}{25}$。大多數是以直接算的方式，亦即第一次抽中的機率 $\dfrac{2}{5}$ 加上第一次沒抽中但第二次抽中的機率 $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}$，得到花 $225$ 元的機率為 $\dfrac{16}{25}$。要注意，有一部分的考生沒有讀懂題意，不知道第一次抽中就不必再抽，而是計算兩次中抽中一次的機率 $C^2_1\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}$，有點可惜。知道花 $225$、$300$ 元的機率分別為 $\dfrac{16}{25}$、$\dfrac{9}{25}$ 的考生，大多能求得所花金額的期望值為 $225\times\dfrac{16}{25}+300\times\dfrac{9}{25}=252$。

解析：第15題的證明題，對大部分考生來說挑戰性很高。不管 $a$ 為何，$f(x)$ 是多項式函數，在閉區間 $[-1,1]$ 的最大值與最小值只可能發生在極值發生處（即微分等於 $0$ 的點）以及兩端點 $-1,1$。當 $a=0$ 時，$f(x)$ 是常數函數 $1$，當然在 $x\in[-1,1]$ 的取值皆大於 $0$。而當 $a\ne 0$ 時 $f'(x)=6ax$，所以只有在 $x=0$ 時有極值。因此我們只要檢查 $f(0)$、$f(-1)$ 以及 $f(1)$ 就可知 $f(x)$ 在區間 $[-1,1]$ 的最大值與最小值。然而因 $a\le 1$，故 $f(0)=1-a\ge0$；又因 $a\ge-\dfrac{1}{2}$，所以 $f(-1)=f(1)=1+2a\ge 0$。得證 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 的最小值會大於或等於 $0$。這是利用微分求函數在閉區間的最大、最小值重要的應用，不過閱卷時很少考生會這樣處理。而代 $x=0,-1,1$ 檢查的考生中，有很多沒有說明為何要代這三點檢查，而沒有辦法得到完整的分數。

大多數的考生知道 $f(x)$ 是二次函數，所以第15題都用二次函數的特性處理。不過許多知道 $x=0$ 是頂點，沒有區分 $a$ 的正負便直接下結論是極小值，當然離完整的論述甚遠。若能區分當 $a>0$ 時函數圖形凹向上，所以在頂點 $x=0$ 是最小值；而當 $a\lt 0$ 時函數圖形凹向下，所以在段點 $x=-1,1$ 是最小值。並說明它們的取值都大於或等於 $0$，就能得到完整的分數。還有一部分考生心中沒有函數，完全以代數的方法利用 $-1\le x\le 1$ 以及 $-\dfrac{1}{2}\le a\le 1$ 證明不等式 $3ax^2+(1-a)\ge 0$。很多在論證時不夠完善失敗了；不過也有一些花了一些功夫完成證明。這些考生應該有不錯的數學訓練，不過對函數的概念可能薄弱。這對以後微積分的學習較吃虧，老師可以多加注意多加強。

第16題是簡單的計算證明題，求證 $y=f(x)$ 在區間 $[-1,1]$ 與 $x$ 軸所圍區域 $\Gamma$ 的面積是定值 $2$。過去求函數圖形與坐標軸所圍區域面積，許多考生會忽略說明函數在範圍內的取值正負，而直接積分。這一題因為上一題已完成此項驗證，所以僅評量定積分 $\displaystyle\int_{-1}^1(3ax^2+(1-a))\,dx=(ax^3+(1-a)x)\Big|^1_{-1}=2$。許多考生可能不知如何處理帶有參數 $a$ 的多項式的反導函數，僅考慮 $a=-\dfrac{1}{2}$ 以及 $a=1$ 這兩種情況的面積為 $2$ 就下結論面積為定值。當然了，若能說明 $\displaystyle\int_{-1}^1(3ax^2+(1-a))\,dx$ 會是 $a$ 的一個次數小於或等於 $1$ 的多項式，就可以代兩個 $a$ 值確認為常數。沒有這樣的論述僅憑代兩個值，當然得不到分數。

第17題問的是 $\Gamma$ 的面積和 $a$ 無關，是否 $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得體積也與 $a$ 無關。確實有一些考生以直觀誤以為面積一樣，所以旋轉體體積也會一樣。關於旋轉體體積有一個 Pappus's centroid theorem： $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉的旋轉體體積會是 $\Gamma$ 的面積乘上 $\Gamma$ 的重心繞 $x$ 軸旋轉所得的圓周長。 例如 $a=0$ 時 $\Gamma$ 的重心在 $(0,\dfrac{1}{2})$，繞 $x$ 軸旋轉得圓周長為 $\pi$，所以乘上面積 $2$ 得旋轉體體積為 $2\pi$。 本題 $\Gamma$ 會因 $a$ 的變化凹向改變，重心位置應該隨之改變，所以體積不會是定值。

依然有許多考生代 $a=-\dfrac{1}{2}$ 以及 $a=1$，得到體積不同，而知體積會因 $a$ 的值而改變。這個部分可以得分，但不能因代 $a=1$ 的值所得的體積比較大就斷言在 $a=1$ 時體積最大。高中沒有教 Pappus's centroid theorem，學生應該也不會求重心，所以都直接利用旋轉體體積公式處理，即計算 $\displaystyle\int_{-1}^1\pi(3ax^2+(1-a))^2\,dx$。這應該是全卷計算要求較多的地方。將 $(3ax^2+(1-a))^2$ 展開得 $9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2$ （很多考生不太清楚對 $x$ 積分先不必整理係數，而在此處就將係數展開，弄得一團混亂，因此而失分的考生不少），再求其反導函數 $\dfrac{9}{5}a^2x^5+2a(1-a)x^3+(1-a)^2x$。最後代上下界，求得體積為 $(\dfrac{8}{5}a^2+2)\pi$（有些考生知道對稱性，所以先算 $x$ 從 $0$ 到 $1$ 的積分，但是最後忘了乘上 $2$；也一些有忘了乘上 $\pi$ ，而在此題沒有得到完整的分數）。因而得知體積會隨 $a$ 而改變且在 $a=1$ 時體積有最大值 $\dfrac{18}{5}\pi$。