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設 $\Gamma$ : x² + y² - 10x + 9 = 0 為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的？

(1) $\Gamma$ 的圓心坐標為 (5, 0)

(2) $\Gamma$ 上的點與直線 L : 3x + 4y - 15 = 0 的最遠距離等於4

(3) 直線 L₁ : 3x + 4y + 15 = 0 與 $\Gamma$ 相切

(4) $\Gamma$ 上恰有兩個點與直線 L₂ : 3x + 4y = 0 的距離等於2

(5) $\Gamma$ 上恰有四個點與直線 L₃ : 3x + 4y - 5 = 0 的距離等於2

說明:這一題主要問的是平面中圓上的點和直線的距離, 是為了評量是否了解圓與直線的關係. 事實上若知道如何求點和直線的距離, 處理此題應沒有什麼大問題.

要處理圓和直線的距離, 基本上只要找到圓心及半徑再求出圓心與直線的距離就可以了. 也就是說若圓心與直線的距離小於半徑, 則此圓和此直線相交於相異兩點; 若圓心與直線的距離等於半徑, 則此圓和此直線相切; 而若圓心與直線的最短大於半徑, 則此圓和此直線不相交. 此題中圓 $\Gamma$ 的方程式經由配方可化為 (x - 5)² + y² = 4², 故知 $\Gamma$ 的圓心為 (5, 0) 而半徑是 4. 題目中雖涉及了好幾條直線, 不過它們都互相平行, 方程式皆為 3x + 4y + d = 0 這樣的形式. 大家都應知道 (5, 0) 到 3x + 4y + d = 0 的距離為 $\left\vert\vphantom{ 15+d}\right.$15 + d$\left.\vphantom{ 15+d}\right\vert$/5.

首先我們看看各選項中的直線和圓 $\Gamma$ 之間的相關位置. 選項 (2) 的直線 L : 3x + 4y - 15 = 0 通過 $\Gamma$ 的圓心 (5, 0) (你可能不會這麼聰明發現 (5, 0) 在 L 上, 不過代 d = - 15 入上面所提圓心到直線距離的式子, 不難得到圓心到 L 的距離是 0). 選項 (3) 的直線 L₁ : 3x + 4y + 15 = 0 和 $\Gamma$ 的圓心 (5, 0) 的最短距離為 6, 大於 $\Gamma$ 的半徑, 所以不相交. 選項 (4),(5) 的直線 L₂, L₃ 和 $\Gamma$ 的圓心的最短距離分別為 3 和 2, 皆小於 $\Gamma$ 的半徑, 所以此二直線皆與 $\Gamma$ 相交於兩點.

選項 (2), (4), (5) 問的是圓上的點和各直線的距離. 圓上有無窮多點, 我們當然不能一個一個去算距離. 不過我們知道一個點 P 到一直線 L 的距離的算法就是過該點 P 畫一直線使之和 L 垂直, 此直線和 L 的交點 Q 就是所謂 P 點在 L 的``投影點'' (或垂足), 而 $\overline{PQ}$ 線段長就是 P 點到 L 的距離. 所以我們可以在圓 $\Gamma$ 上各點上畫一與 L 垂直(自然也和 L₂, L₃ 垂直)的直線而得到這一點在 L, L₂, L₃ 的投影點. 現在我們過圓心畫一與 L 垂直的直線, 假設此直線與 $\Gamma$ 交於 N, S 兩點如下圖,

由於 N 和 S 在 L 上的投影點就是圓心, 不難看出 $\Gamma$ 上的點與 L 的距離都不大於 N 或 S 到 L 的距離 (即半徑), 所以選項 (2) 是對的. 同樣的道理, 若我們在 $\Gamma$ 上從 N 點開始順時鐘方向取點一直到 S, 這些點到 L₂ 的距離以 N 到 L₂ 的距離 (為半徑加上圓心到 L₂ 的距離, 即 7) 最大, 慢慢遞減到 0 (此時為 $\Gamma$ 和 L₂ 的交點) 然後再慢慢從 0 遞增到 S 到 L₂ 的距離 (為半徑減掉圓心到 L₂ 的距離, 即 1). 所以在這過程中僅在從 N 到 $\Gamma$ 與 L₂ 交點之間會有一點與 L₂ 距離為 2. 同理, 若我們在 $\Gamma$ 上從 N 點開始逆時鐘方向取點一直到 S, 也僅會有一點與 L₂ 距離為 2. 因此知 $\Gamma$ 上恰有兩個點與直線 L₂ 的距離等於 2. 同樣的道理, 若我們在 $\Gamma$ 上從 N 點開始順時鐘方向取點一直到 S, 這些點到 L₃ 的距離以 N 到 L₃ 的距離 (為半徑加上圓心到 L₃ 的距離, 即 6) 最大, 慢慢遞減到 0 (此時為 $\Gamma$ 和 L₃ 的交點) 然後再慢慢從 0 遞增到 S 到 L₃ 的距離 (為半徑減掉圓心到 L₂ 的距離, 即 2). 所以在這過程中在從 N 到 $\Gamma$ 與 L₃ 交點之間僅會有一點與 L₃ 距離為 2, 而在從 $\Gamma$ 與 L₃ 交點到 S 之間也僅有 S 與 L₃ 距離為 2. 同理, 若我們在 $\Gamma$ 上從 N 點開始逆時鐘方向取點一直到 S, 除了 S 之外, 也僅會有一點與 L₃ 距離為 2. 因此知 $\Gamma$ 上恰有三個點與直線 L₃ 的距離等於 2.

一般來說當給定一點 P 和一圖形 T, 若遇到問 T 上有多少點和 P 的距離為 d 時, 我們經常處理的方式是先找到所有與 P 點距離為 d 的點, 即以 P 為圓心半徑為 d 的圓, 這個圓和 T 的交點個數就是 T 上和 P 的距離為 d 的點的個數. 這一題, 我們也可用類似的方法處理. 例如選項 (4), 我們可以先找到所有和 L₂ 距離為 2 的點所成之集合, 再看這些點所成集合和 $\Gamma$ 的交點個數即可. 不難發現, 這些點所成的集合事實上是兩條與 L₂ 平行的直線. 一條 L₂' 與 $\Gamma$ 的圓心在 L₂ 的同側, 另一條 L₂'' 在另一側. 由於 L₂' 和 L₂ 的距離為 2 且圓心與 L₂ 的距離是 3, 故知圓心和 L₂' 的距離是 1, 故知 L₂' 和 $\Gamma$ 交於兩點. 同理知圓心和 L₂'' 的距離是 3 + 2 = 5, 因為此距離大於 $\Gamma$ 的半徑, 故知 L₂'' 和 $\Gamma$ 不相交. 因此知 $\Gamma$ 上恰有兩個點與直線 L₂ 的距離等於 2. 同樣的, 所有和 L₃ 距離為 2 的點所成之集合是兩條與 L₃ 平行的直線. 一條 L₃' 與 $\Gamma$ 的圓心在 L₃ 的同側, 另一條 L₃'' 在另一側. 由於圓心與 L₃' 的距離是 2 - 2 = 0, 故知 L₃' 和 $\Gamma$ 交於兩點. 而圓心與 L₃'' 的距離是 2 + 2 = 4, 故知 L₃' 和 $\Gamma$ 相切 (交於一點). 因此知 $\Gamma$ 上恰有三個點與直線 L₃ 的距離等於 2.