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某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母，後四碼為0到9的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個4。例如： AA1234, AB4434 為可出現的車牌號碼；而 AO1234, AB3444 為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為4的車牌號碼個數為

(1) 25×9³         (2) 25×9²×10         (3) 25×900         (4) 25×990         (5) 25×999

說明:本題是常見的排列組合題型, 排列組合的問題一般同學可能認為像腦筋急轉彎如果找到對的看法就容易解決, 若看法不對可能處理起來就很麻煩. 令人頭痛的是如何找到對的方法沒有一定的竅門. 其實排列組合題另一個困難點是確認算法沒有多算或少算. 總而言之, 高中數學安排排列組合的課程個人淺見是為了訓練高中生在處理問題時能嘗試多用不同的角度看問題以及訓練嚴謹度, 不應出現太偏頗的難題. 這幾年來大考中心對排列組合的問題都很謹慎, 從前聯考時期那類困難的問題已不見, 所以在考試中大家不需對排列組合題有太大的恐懼感.

這一題嚴格來說並不難, 用各種基本看法處理都不複雜. 出題者可能基於避免計算複雜, 用選擇題方式出題而不是用填充題出題, 不過出題者在選項中選用幾種同學們可能經常犯錯的算法, 以致於同學可能算出一個和選項相同的答案就以為是正確的而忽略了上面提到的`` 確認算法沒有多算或少算''. 所以此題困難度就在於嚴密性(你有沒有被騙了).

排列組合問題基本上就是計數的問題, 計數的第一要件就是能否分類. 將一起算較容易的東西歸為同類. 例如此題大家應該很自然的會將這六碼分成前兩碼和後四碼. 接下來需分別計算各類的個數再利用大家熟悉的「加法原理」或「乘法原理」得出總數. 計算各類的個數時你可以正著算或反著算. 所謂正著算就是若你覺得直接算要的東西的數目比較容易那就直接算. 例如此題前兩碼中第一碼已固定為 A, 而第二碼不能是 O 所以可直接算出前兩碼可用的有 25 個; 而反著算就是若你覺得算不要的東西的數目較容易就算出不要的數目再用總數扣掉, 就可得要的東西的數目. 例如此題後四碼最後一碼已為 4 所以我們不要的是這四碼中第二、三碼為 4 (因為這會造成連續三個 4) 而第一碼為任意阿拉伯數字的情形. 很容易算出不要的個數有10個. 然而最後一碼已固定所以全部可考慮的號碼有 10³ 即 1000 個, 扣掉依規定不要的 10 個, 故得後四碼可用的有 100 - 10, 即 990 個. 最後由於每個可用的前兩碼都可搭配每個可用的後四碼, 所以利用乘法原理可得共有 25×990 個可用號碼.

此題後四碼若用正著算也可處理, 只是較易出錯. 有的同學可能認為不能連著三個 4 所以只要倒數第二碼不是 4 就可以了, 因此四碼中前二碼可為任意阿拉伯數字共有 100 個而倒數第二碼可選 4 以外的阿拉伯數字共有 9 個, 所以得到後四碼可用的有 900 個. 事實上這樣的看法少算了此四碼中第二碼不是 4 而倒數第二碼是 4 的情形 (有 90 個). 另外若同學誤以為此四碼中第二碼和第三碼都不可以是 4 而得到 9²×10 的答案就少算了第二碼和第三碼只有一碼是 4 的可能性(有 180 個).