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趙氏與錢氏兩對夫婦、以及孫先生、李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯，其中趙 先生和孫先生已在兩個相鄰的位子坐定。若限定夫妻不得相鄰，則其他四人就 座的方法共有幾種？

說明:這題是純粹排列的問題, 雖然是坐圓桌, 不過不必把它當成環狀排列問題, 可以把它看成直線排列. 其實環狀排列的問題有一種處理方法就是如本題一樣找人``坐定'', 就可以將它換成直線排列的問題. 有些同學誤把本題看成是環狀排列問題, 而忽略了題目提的``坐定''二字. 將題目看成是要求趙先生和孫先生兩人相鄰且夫妻不相鄰的環狀排列處理, 實在可惜.

排列組合的問題通常有許多不同解法, 有的問題用不同的觀點處理很可能會快很多. 一般來說, 我們可以直接算, 或是反過來算不合的有多少再用總數扣掉. 不過此題牽扯的人數少, 處理起來不複雜, 用什麼方法處理應該都差別不大. 不管怎樣, 處理排列組合的問題最重要的就是要確認算的不多也不少. 為了方便起見, 我們將趙先生和趙太太分別用 A 和 a 來表示, 錢先生和錢太太分別用 B 和 b 來表示, 而孫先生和李先生就分別用 C 和 D 來表示. 依題意, 相同的字母不相鄰, 而 AC 既相鄰坐定, 我們可以從 AC 之間切開 (想像他們是項鍊上的串珠) 將他們視為是以 A 為首, C 為尾的直線排列.

首先我們看看直接算要如何處理. 因為人數不多可以直接用樹狀圖處理, 這裡我們就用類似看法來處理. A 之後不能排 a, 所以只能排 B, b 或 D.

1. 若 A 之後排了 B, 下一位不能排 b, 所以只能排 a 或 D, 也就是說有兩種可能. 之後的兩個位置因為 A, a 和 B, b 已確定不相鄰所以剩下兩人可任意坐, 又有兩種可能. 因此由乘法原理知在此情況之下共有 4 種坐法.

2. 同理, 若 A 之後排了 b, 在此情況之下共有 4 種坐法.

3. 若 A 之後排了 D, 則剩下的 3 個位置, a 一定要坐中間, 否則多餘的兩個位置會相鄰且僅能坐 B 和 b. 也就是說 D 的下一位不能坐 a, 僅能坐 B 或 b. 而且再下一位一定要坐 a. 因此在此情況之下共有 2 種坐法.

根據以上 (1), (2), (3) 三點, 由加法原理我們知ㄧ共有 4 + 4 + 2 = 10 種坐法.

若要用扣掉的方法, 其實是先算不合規定的方法有幾種再扣掉.

1. 第一種不合規定的就是 A 之後就是 a, 此時剩下的 3 個位置不管怎麼排都不合規定, 所以在此情況之下有 3! = 6 種可能.
2. 若 A 之後不是 a 那麼僅剩下不合規定的情形就是 B, b 相鄰了. 此時我們可以將他們視為一體, 可以再分成以下兩種情況:
   1. B, b 緊排在 A 之後, 此時剩下的兩個位置不管怎麼坐都不合規定, 故有兩種可能. 然而 B, b 兩人位置又可互換, 所以依乘法原理在此情況之下共有 4 種坐法.
   2. D 排在 A 之後, 此時剩下的位置由於 B, b 必須相鄰, 很容易得知在此情況之下共有 4 種坐法.

根據以上 (1), (2) 兩類, 由加法原理我們知ㄧ共有 6 + 4 + 4 = 14 種坐法不合規定須排除. 由於全部有 4 個位置, 總共有 4! = 24 種作法, 扣掉不合規定的 14 種, 我們得知ㄧ共有 10 種坐法.