5. SSA

即知道兩邊長及其夾角之外的另一個角. 例如知道兩邊 a, b 以及夾角以外的角 A 或是角 B. 其他還有知道 a, c, A 之值, a, c, C 之值, b, c, B 之值或是 b, c, C 之值, 都是 SSA 的情形. 雖然同為知道兩邊一角, 但與 SAS 不同的是 SSA 有可能得到兩個不相等的三角形. 下圖中是已知 a, b, A 的情形, 其中 a > b sin A. 我們以 C 點為圓心 a 為半徑畫圓, 如此所得的兩個三角形 AB₁C 和 AB₂C 不相等卻對應到同樣的 a, b, A 值.

我們舉知道兩邊 a, b 和角 A 為例. 例用正弦定理可得 sin B = (b/a)sin A. 所以若取一銳角 $\theta$ 滿足 sin$\theta$ = (b/a)sin A (注意因為 sin$\theta$$\le$1, 所以只有當 a$\ge$b sin A 才可找到此銳角 $\theta$), 則 B = $\theta$ 或 B = 180^o - $\theta$. 對於這兩個可能的 B (當 $\theta$ = 90^o 即 a = b sin A 時, 僅有一個 B), 我們找到相對應的 C, 即

C = 180^o - (A + B) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 180^\circ -A-\theta, & \hbox... ...180-\theta$ (歿lq 意當 $\theta\le A$ 時此項不會發生).} \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ll} 180^\circ -A-\theta, & \hbox{當 $B=\theta$;} \... ...hbox{當 $B=180-\theta$ (歿lq 意當 $\theta\le A$ 時此項不會發生).} \\ \end{array}$$

由於 A 是鈍角或直角時 $\theta$ 不可能大於 A; 而當 A 是銳角時 $\theta$ > A 若且唯若 sin$\theta$ > sin A, 故由 sin$\theta$ = (b/a)sin A 知 b > a. 由此我們得知當給定 a, b, A 時, 只有在 A 是銳角且 b > a > b sin A 才會有兩個三角形滿足給定的 a, b, A 邊角關係之情形. 不管怎樣, 當我們得到可能的 B 值後, 三角形的三個角就知道了, 剩下的 c 值就可以用正弦定理 c = a(sin A/sin C) 或是餘弦定理 c = $\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$ 得到了. 其實 SSA 的情形也可以一開始用餘弦定理處理. 例如在知道 a, b, A 的情形, 我們可利用餘弦定理知, x = c 需滿足二次方程式 x² - (2b cos A)x + (b² - a²) = 0. 由判別式得知此二次方程式在 a$\ge$b sin A 時才會有實數解 (亦即才有可能得到三角形), 且在此時其根為 x = b cos A±$\sqrt{a^2-b^2\sin A}$. 但 c 需為正數, 而此二次方程式在 A 為銳角時 (即 cos A > 0) 且 b > a > b sin A 時才會有兩個相異正實根. 這和前面用正弦定理推導的情形一致, 不過此時我們是找到三角形可能的三邊長, 所以最後要依 SSS 的情形用餘弦定理將另外兩個角求出.

現在回到我們的問題. 題目中 c = 8, b = 4$\sqrt{5}$, 而 cos A = 1/$\sqrt{5}$, 是 SAS 的情形. 故依前面解說先利用餘弦定理得 a = $\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$ = $\sqrt{80}$, 再依 SSS 的情形由餘弦定理得 cos C = (a² + b² - c²)/2ab = 3/5 而知 sin C = $\sqrt{1-\cos^2C}$ = 4/5. 我們也可如 SAS 的解說中所述, 直接由正弦定理得 sin C = (c/a)sin A = (8/$\sqrt{80}$)(2/$\sqrt{5}$) = 4/5. 另外眼尖的同學可由 a = b = 4$\sqrt{5}$ 知此三角形是等腰三角形而得 sin C = sin(180^o - 2A) = sin(2A) = 2 sin A cos A = 2(2/$\sqrt{5}$)(1/$\sqrt{5}$) = 4/5.