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有一個不公正的骰子，投擲的時候，二點、三點、四點、五點和六點出現的機率都是 log₁₀(3/2)，今以 a 表 log₁₀(3/2)，以 b 表投擲的時候一點出現的機率，請選出正確的選項。

(1) a > 0        (b) a < 1        (3) b < (1/6)         (4) b < log₁₀(4/3)        (5) a > b

說明:本題將機率與對數相連結. 機率部分考的只有一個概念, 也就是樣本空間的一個分割內所對應的事件其發生的機率之總和為 1. 本題事實上主要就是考對數. 不過題目設計好像鼓勵學生背 log 3 和 log 2 的近似值. 雖然沒有記憶這些值仍可做答, 不過有記憶這些值的同學在時間上可能較占便宜. 這是因為若不是記憶這些值作答, 應該是先知道選項 (5) 的 a > b 再作答選項 (3) 問的 b 值是否小於 1/6 較合理. 依目前選項順序的安排, 是有可能浪費了沒有背這些值同學的作答時間.

若已知 log 3 $\thickapprox$ 0.4771 以及 log 2 $\thickapprox$ 0.3010 直接代入計算即可. 這裡我們就依沒有記 log 3 和 log 2 的值的情形來處理. 首先 0 < a < 1 可由題意機率的概念知道, 或直接由 a = log(3/2) 以及 1 < 3/2 < 10 知道. 重要的是處理 b, 依前述的機率性質知 b = 1 - 5a = 1 - 5 log(3/2). 若不知 log(3/2) 之值, 要回答 b 是否小於 1/6 計算起來較複雜. 我們先處理選項 (4), 此處是和 log(4/3) 相比較, 所以我們再將 b = 1 - 5 log(3/2) 化成

b = log(10) - 5 log(3/2) = log$$\left(\vphantom{\frac{10}{(3/2)^5}}\right.$$$${\frac{10}{(3/2)^5}}$$$$\left.\vphantom{\frac{10}{(3/2)^5}}\right)$$ = log$$\left(\vphantom{\frac{320}{243}}\right.$$$${\textstyle\frac{320}{243}}$$$$\left.\vphantom{\frac{320}{243}}\right)$$.

由於 (320/243) < (4/3), 再加上 log 的遞增性質, 我們知 b < log(4/3). 同理, 因為 (4/3) < (3/2), 所以我們也可以回答選項 (5), 即 b < a = log(3/2). 最後再由 b < a 知 b = 1 - 5a < 1 - 5b, 即 6b < 1, 得知選項 (3) 是對的, 也就是說 b < (1/6).