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請問對於下列哪些選項，可以找到實數 a，使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式 x² + (2 - a)x - 2a < 0？

(1) -1, 0 (2) 1, 2, 3 ,....(所有的正整數) (3) -3, -4, -5,.... (所有小於 -2 的整數)

(4) 97, 2008 (5) - $\pi$ , $\pi$ ( $\pi$ 是圓周率)

說明:又是一個乍看之下可能看不懂題意的題目. 這是一個二次不等式的題目, 不過很可能許多同學用一次不等式來解, 雖然如此處理邏輯上可能不夠嚴謹, 卻一樣可得到正確的答案. 題目雖然不難, 但是``數學專家''的用語可能嚇跑了許多小朋友.

題目這麼拗口, 其實是因為邏輯上的用語有時就是這麼不自然. 題目是問哪些選項中的數 (全部代入 x 中) 都能滿足同一個不等式 x² + (2 - a)x - 2a < 0, 其中 a 是某一個固定的實數 (我的解釋還是沒有比較好). 或許直覺上有許多同學會把各選項的數一一代入 x² + (2 - a)x - 2a < 0 中看看有沒有共同的 a 會滿足. 例如選項 (1) 就是分別代入 -1, 0 後得到 1 - 2 + a - 2a < 0 以及 -2a < 0. 這樣的看法不錯, 因為解的是簡單的一次的不等式. 不過邏輯上的缺失是, 這樣只是找到 a 可能的範圍使得代入的數會滿足不等式, 並未擔保這樣的 a 會使得代入的數都滿足不等式 (這其實也是對的, 但是需要驗證). 所以用這種方法, 若代入選項中所有的數後得到的 a 沒有共同的交集, 就可以確認此選項不正確. 若 a 有共同的交集, 這表示範圍內的 a ``有可能''滿足我們的要求, 所以還需要確認在範圍內的某個 a 確實會使的選項中的數都滿足不等式才行. 例如選項 (1) 如前述, 我們找到 a 的共同範圍為 a > 0, 所以我們可找一個數, 如 a = 1 看看此選項的兩個數 -1, 0 是否滿足 x² + (2 - 1)x - 2 < 0. 事實上 x = - 1, 0 時都滿足 x² + x - 2 < 0, 也就是說選項 (1) 是對的.

現在來看看選項 (2) 和 (3), 這兩個比較麻煩因為有無窮多個數要代. 沒關係, 我們假設要代入的數是 n (假裝它是一個數, 而不是未知數) 代入後得 n² + (2 - a)n - 2a < 0. 記得這裏 n 是一個已知的數, 我們要求 a (相對於 n) 的範圍, 所以將有 a 的部分合併移項得 (n + 2)a > n² + 2n. 由於選項 (2) 中的 n 皆滿足 n + 2 > 0 所以除以 n + 2 後得 a > n; 而選項 (3) 中的 n 皆滿足 n + 2 < 0 所以除以 n + 2 後得 a < n (注意除以小於 0 的數要變號). 這告訴我們在選項 (2) 中要代入所有的正整數滿足不等式的話, 那麼 a 必須要大於所有的正整數. 然而不可能有一個實數會大於所有的正整數, 所以選項 (2) 不可能成立. 同理, 若選項 (3) 成立, 表示 a 必須小於所有小於 -2 的整數, 這也是不可能的, 所以選項 (3) 也不對.

選項 (4) 只有兩個數 97 和 2008, 代入後得 a 需滿足 a > 97 和 a > 2008. 我們考慮很大的 a 好了 (例如 a = 10002) 很容易看出 x = 97 和 x = 2008 都會滿足 x² - 10000x - 20004 < 0, 所以選項 (4) 是對的. 選項 (5) 需考慮 - $\pi$ 和 $\pi$ , 注意 - $\pi$ + 2 < 0, 所以代入 x = - $\pi$ 所得 a 的範圍為 a < - $\pi$ ; 而代入 x = $\pi$ , 我們得 a > $\pi$ . 發現此時找不到共同的 a, 所以選項 (5) 不能選.

其實題目要是給定二次不等式, 問你選項中的數是否滿足此二次不等式, 相信大家都會處理, 所以這又是一個倒著問的問題. 前面已經談過了, 倒著問的問題我們還是可以正的來處理, 只要我們``敢''把未知數當已知數來處理即可. 本題中我們可以將 a 看成已知數, 看看 x² + (2 - a)x - 2a < 0 這一個``已知''的二次不等式其解集合是什麼. 一般來說解 f (x) < 0 的不等式要先求 f (x) = 0 的解再決定會小於 0 的範圍. 這裡我們也是如法泡製, 不同的是這個不等式的解集合會因 a 的改變而改變. 首先我們利用因式分解或是大家常用的公式解得到 x² + (2 - a)x - 2a = 0 的解為 x = a 和 x = - 2. 當 a = - 2 時, x² + (2 - a)x - 2a < 0 變成 (x + 2)² < 0, 這個不等式不可能有實數解, 所以我們只要考慮 a < - 2 和 a > - 2 這兩種情形. 如果 a 是一個實數滿足 a < - 2 那麼 x² + (2 - a)x - 2a < 0 的解集合就是 {x $\in$ $\mathbb {R}$ | a < x < - 2}, 而當 a > - 2 時解集合為 {x $\in$ $\mathbb {R}$ | - 2 < x < a}. 總而言之, 若 a 是一個實數, 則 x² + (2 - a)x - 2a < 0 的解集合會是空集合 (當 a = - 2 時) 或是 a 和 -2 之間的有界開區間 (當 a $\ne$ - 2 時). 所以選項中的數要同時滿足同一個二次不等式, 表示它們必須落在同一個以 -2 為端點的有界開區間內. 例如選項 (1) 的 { - 1, 0} 和選項 (4) 的 {97, 2008}. 選項 (2), (3) 的數雖然分別會落在以 -2 為一個端點的開區間, 但不是有界的. 而選項 (5) 中的 { - $\pi$ , $\pi$ } 由於 - $\pi$ < - 2 < $\pi$ , 所以它們不可能落在同一個以 -2 為端點的開區間內.

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Li 2008-08-16