6

有四個相異的正整數，由小到大依序為 k, l, m, n， 其和等於 16，亦即 0 < k < l < m < n, k + l + m + n = 16。請問單獨再增加下列哪一個選項中的條件，可以保證 k 等於 1？

(1) l 是奇數，m 是偶數        (2) l, m 是偶數        (3) k, l, m, n 是等差數列

(4) l, n 是奇數                        (5) l, m 是奇數

說明:這一題很難說是高中數學的哪一章, 或許會被歸類於數列與級數, 不過個人較認為是考邏輯推理. 題目中``增加條件''的說法, 屬於邏輯語句, 對社會組同學恐怕較難體會其意義.

其實題目是說對於滿足 0 < k < l < m < n 且 k + l + m + n = 16 的四個整數 k, l, m, n, 要如何再多加限制就可以確定最小的整數 k 會是 1. 例如若限制 l = 2, 那麼 k 就非得是 1 不可. 這樣的問題沒有一定的解法, 大致上是先判斷一下哪些選項是錯的, 然後找出反例來確認它是錯的. 接著就是要證明那些判斷是對的選項真的是對的. 至於如何判斷哪些是對的哪些是錯的, 這關係到個人經驗, 沒有一定的法則. 不過本題中由於滿足給定條件的正整數不多, 也有人會想把它一一列出, 再看看多出的限制能否確定 k = 1. 不過要一一列出就得確定沒有遺漏東西, 這裡我們用一個較安全的方法處理. 首先我們希望每個數都和 k 有關, 所以我們可將 l 寫成 l = k + d₁, 其中 d₁ 是正整數. 同樣的我們可以將 m, n 分別寫成 m = k + d₁ + d₂ 和 n = k + d₁ + d₂ + d₃, 其中 d₂, d₃ 皆為正整數. 接著由 k + l + m + n = 16 得知 4k + 3d₁ + 2d₂ + d₃ = 16. 由於 d₁, d₂, d₃ 皆為正整數, 我們有 d₁, d₂, d₃ 皆大於等於 1, 故知 16$\ge$4k + 6. 也就是說 4k$\le$10, 又因為 k 為正整數, 可得 k 需為 1 或是 2.

若 k = 1, 我們得 3d₁ + 2d₂ + d₃ = 12, 再由 d₂$\ge$1, d₃$\ge$1 可得 3d₁$\le$9. 也就是說 k = 1 時 d₁ 可以是 1, 2 或是 3. 接下來由於所剩 d₃ 可由 d₂ 的取值唯一確定, 我們就將它們一一列出. 也就是說當 k = 1 時我們有 d₁ = 1, 2, 3 三種可能. 列出如下.

1. k = 1 且 d₁ = 1, 此時有以下情形:
   1. d₂ = 1 此時 d₃ = 7. 故有 k = 1, l = 2, m = 3, n = 10.
   2. d₂ = 2 此時 d₃ = 5. 故有 k = 1, l = 2, m = 4, n = 9.
   3. d₂ = 3 此時 d₃ = 3. 故有 k = 1, l = 2, m = 5, n = 8.
   4. d₂ = 4 此時 d₃ = 1. 故有 k = 1, l = 2, m = 6, n = 7.
   而後當 d₂$\ge$5 時 d₃ 皆小於 1 所以不取.

2. k = 1 且 d₁ = 2, 此時有以下情形:
   1. d₂ = 1 此時 d₃ = 4. 故有 k = 1, l = 3, m = 4, n = 8.
   2. d₂ = 2 此時 d₃ = 2. 故有 k = 1, l = 3, m = 5, n = 7 (注意此時 d₁ = d₂ = d₃ 故為等差數列).
   而後當 d₂$\ge$3 時 d₃ 皆小於 1 所以不取.

3. k = 1 且 d₁ = 3, 此時有以下情形:
   1. d₂ = 1 此時 d₃ = 1. 故有 k = 1, l = 4, m = 5, n = 6.
   而後當 d₂$\ge$2 時 d₃ 皆小於 1 所以不取.

若 k = 2, 我們得 3d₁ + 2d₂ + d₃ = 8, 再由 d₂$\ge$1, d₃$\ge$1 可得 3d₁$\le$5. 也就是說 k = 2 時 d₁ 只能是 1. 我們可以將可能的 d₂, d₃ 列出如下.

1. k = 2 且 d₁ = 1, 此時有以下情形:
   1. d₂ = 1 此時 d₃ = 3. 故有 k = 2, l = 3, m = 4, n = 7.
   2. d₂ = 2 此時 d₃ = 1. 故有 k = 2, l = 3, m = 5, n = 6.
   而後當 d₂$\ge$3 時 d₃ 皆小於 1 所以不取.

現在我們已將滿足條件的數列完整無疑地列出了. 接下來就是看多加哪些條件可得 k = 1. 第一個選項是限制 l 是奇數，m 是偶數, 雖然在此限制下有可能 k = 1 (例如 (2)(a) 的情形), 不過也有可能 k = 2 (即 (4)(a) 的情形), 所以多加這個限制條件並不能保證 k = 1. 第二個選項是限制 l, m 皆為偶數, 此時僅 (1) 的 (b),(d) 滿足此條件, 所以可保證 k = 1. 事實上我們可發現僅需限制 l 為偶數即可, 因為 l 為偶數僅在 (1)(3) 兩類情況出現, 這時候皆有 k = 1. 由於等差數列僅在 (2)(b) 出現, 此時 k = 1 故第三個選項是對的. 第四、五兩選項皆不對, 因為 l, n 和 l, m 分別在 (4) 的 (a) 和 (b) 中為奇數, 此時 k = 2.

其實對邏輯清楚的同學此題不必如此大費周章. 我們僅要列出 k$\ne$1 的所有情況即可. 當發現此時 k 必等於 2, 接下來只要看看哪些選項中所限制的條件在我們列出的情況(即 k = 2) 有出現, 就知道該選項是錯的. 例如我們發現當 k = 2 時 (即 (4) 的 (a),(b)) l = 3 為奇數, 而 m, n 奇偶互見. 所以光是限制 l 為奇數不管 m, n 是奇是偶, 皆有可能使得 k = 2, 因此限制 l 為奇數的選項皆不對. 而剩下的選項我們只要找到例子確定會有 k = 1 的情況發生即可 (千萬不要忽略這個步驟, 例如若限制要求是等比數列, 那這個限制雖不可能會有 k = 2, 但 k = 1 的情形也不會發生). 在這裡大家可能會發現一件有趣的事. 多數同學處理此題這類邏輯問題時, 知道針對不對的選項只要找到反例即可, 而對的選項就得想方法證明. 而我們這裡是相反, 反而對的選項要找到例子. 這是因為這裡我們是用反向來思考, 即確定 k$\ne$1 所有可能的情形, 因此其他的情形不會造成 k$\ne$1. 所以這些情形之下只要確認 k = 1 是可能發生的, 就能保證 k 必為 1 了. 從這個例子可知, 適時運用邏輯反向的推理, 有時會達到意想不到比直接論證更簡單的功效.