(1)第一局甲就出局的機率是 1/3
(2)第一局就有人出局的機率是 1/2
(3)第三局才有人出局的機率是 3/64
(4)已知到第十局才有人出局，則甲出局的機率是 1/3
(5)該遊戲在終止前，至少玩了六局的機率大於 1/1000
說明:本題考的是獨立事件以及條件機率, 雖然有五個選項, 看似有五個問題.
但若只要獨立事件以及條件機率概念清楚, 處理起來並不難.
機率和排列組合問題一樣, 往往由不同觀點切入會影響解題的難易度, 所以許多同學會因沒有一定的準則而覺得困難. 其實近年來大考中心的機率和排列組合問題都不難, 並未出現用特殊觀點才能解題的問題. 所以一般在處理時, 不仿先思考一下從正面方向著手(即直接算)或從反面著手(即先算不合者再扣掉)會比較不複雜, 比較不容易算錯.
本題中因銅板是公正的, 所以不管甲、乙、丙三人投擲的先後順序以及投擲的結果都不會影響另一人的結果, 像這一類各事件的發生機率不會互相影響，就是互相獨立的事件. 各獨立事件同時發生的機率, 為各事件個別的發生機率相乘. 例如在單局中, 甲、乙、丙分別投出正面、反面、反面的機率就是 (1/2)3 = 1/8. 這也可從古典機率的看法得到, 因為甲、乙、丙分別投出正反面的結果共有 8 種, 而每一種出現的機會均等, 故甲、乙、丙分別投出正面、反面、反面的機率就是 1/8.
從上面可知, 在單局中要求甲、乙、丙投出特定的正反面其機率皆為 1/8. 所以我們可以直接算出在單局中甲出局的情況為甲、乙、丙分別投出「正、反、反」以及「反、正、正」這兩種情形. 因此知甲出局的機率為 2/8 = 1/4. 我們也可用同樣方法得到單局中乙出局和丙出局的機率皆為 1/4. 事實上銅板是公正的在單局中, 甲、乙、丙出局的機率理應相同. 不過同學可能因此誤以為甲出局的機率是 1/3, 而錯選了選項 (1). 這樣的錯誤是因為忽略了無人出局的可能. 不過這在作答選項 (2) 時應可發現這個錯誤. 選項 (1) 也可用反向思考, 也就是先算甲不會出局的機率再用 1 扣掉. 而甲不出局表示乙、丙中至少有一人和甲投出相同的一面. 這樣的看法並沒有比直接處理來的好, 我們就不多談了.
由選項 (1) 我們得知甲、乙、丙出局的機率皆為 1/4, 這是互斥的事件(不可能有兩人以上同時出局), 所以有人出局的機率應為 (1/4) + (1/4) + (1/4) = 3/4. 這是正向直接的算法. 至於反向思考就是先算出無人出局的機率, 也就是甲、乙、丙都投出同一面「正、正、正」或「反、反、反」的機率為 1/4, 故得出有人出局的機率為 1 - (1/4) = 3/4.
前面兩個選項雖問的是第一局的情況, 但我們的探討並不限於第一局, 而是在某特定一局的前幾局都無人出局的情況之下, 在該局各事件所發生的機率都適用 (當然了, 若該局之前有人出局就不會有這一局), 這就是條件機率. 我們舉例考慮第三局的情形, 換成條件機率的說法就是在前兩局無人出局的條件下, 在第三局甲出局的條件機率為 1/4; 而在前兩局無人出局的條件下, 在第三局有人出局的條件機率為 3/4 (無人出局的條件機率為 1/4). 所以第三局才有人出局的機率應是「前兩局無人出局的機率」乘上「前兩局無人出局的條件下, 在第三局有人出局的條件機率 3/4」. 如何算前兩局無人出局的機率呢? 當然是「第一局無人出局的機率 1/4」乘上「第一局無人出局的條件下, 第二局無人出局的條件機率 1/4」, 故為 (1/4)2. 依此我們得到第三局才有人出局的機率應是 (1/4)2×(3/4) = 3/64. 這對於考慮第十局的情形當然仍適用. 選項 (4) 問的用條件機率的說法就是, 在前九局都沒人出局的條件下, 在第十局甲出局的機率. 依前面討論知這個條件機率就是 1/4.
選項 (5) 問的是遊戲在終止前, 至少玩了六局的機率. 這表示前五局皆無人出局 (題目說有人出局遊戲便終止) 的機率. 前面我們已算出前二局無人出局的機率為 (1/4)2. 依此我們可得前三局無人出局的機率, 即「前二局皆無人出局的機率 (1/4)2」乘上「在前二局無人出局的條件下第三局無人出局的機率 1/4」, 也就是 (1/4)3. 依此類推可得前五局皆無人出局的機率應為 (1/4)5 = 1/1024 其值小於 1/1000.