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在坐標平面上，設拋物線 $\Gamma$ 通過點 (8, 4)， 且其對稱軸為直線 x - 2 = 0。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若拋物線 $\Gamma$ 的頂點坐標為 (2, 1)，則其焦點坐標必為 (2, 4)

(2) 若拋物線 $\Gamma$ 的焦點坐標為 (2, 12)，則其頂點坐標必為 (2, 3)

(3) 若拋物線 $\Gamma$ 也通過點 (10, 11)，則其準線方程式必為 y + 6 = 0

(4) 直線 x - 2 = 0 上每個點都可能是拋物線 $\Gamma$ 的頂點

(5) 直線 x - 2 = 0 上每個點都可能是拋物線 $\Gamma$ 的焦點

說明:本題仍為標準形式的拋物線, 基本上若能寫下符合題意的拋物線方程式的通式就能解題. 不過五個選項皆為獨立, 對許多同學來說等於做五個題目, 解題比較費時. 事實上有些選項若能搭配拋物線的定義來解, 就輕鬆多了.

二次曲線的問題有時(標準型)可用其方程式來解題, 但有時用定義來解較容易. 本題若能適時搭配兩種解法, 處理起來會比較輕鬆. 這裡我們試著每個選項都用這兩種方式處理, 讓大家體會這兩種處理方式的適用時機.

所謂一個拋物線的方程式, 就是此拋物線上的點都會滿足的方程式, 反之滿足方程式的點都會在這個拋物線上. 本題中拋物線 $\Gamma$ 的對稱軸為 x = 2, 所以頂點坐標應為 (2, b), 其中 b 為實數. 若拋物線的焦距為 c, 因 $\Gamma$ 為開口往上或往下 (因對稱軸為鉛直線) 所以其方程式為 (x - 2)² = 4c(y - b). 現已知 $\Gamma$ 通過 (8, 4) 故有 (8 - 2)² = 4c(4 - b), 即 4c - bc = 9. 也就是說依題幹, 我們已有 b, c 的一個關係式, 我們需要另一個關係式來確定 b, c. 只要 b, c 確定了就確認了這一個拋物線 $\Gamma$. 既然 $\Gamma$ 的方程式描述的是 $\Gamma$ 上的點, 所以當問題的訊息是有關 $\Gamma$ 上的點, 那麼此方程式就很好用. 例如選項 (1), (3), (4) 都是有關 $\Gamma$ 上的點, 所以用方程式來處理應較有效. 選項 (1) 給的是頂點坐標 (頂點當然是 $\Gamma$ 上的點), 依此我們知 b = 1, 套回 b, c 的關係式知 c = 3. 再由 c = 3 得知焦點的 y 軸坐標為 b + c = 1 + 3 = 4, 故焦點坐標為 (2, 4). 選項 (3) 給的是 $\Gamma$ 上的另一點 (10, 11), 所以代入 $\Gamma$ 的方程式得 (10 - 2)² = 4c(11 - b), 即 11c - bc = 16. 解聯立方程式

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rl} 4c-bc &=9 \\ 11c-bc&=16 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rl} 4c-bc &=9 \\ 11c-bc&=16 \\ \end{array}$$

得 b = - 5, c = 1. 故知準線與對稱軸的交點其 y 軸坐標應為 -5 - 1 = - 6, 也就是說準線為水平線 y = - 6. 選項 (4) 是選項 (1) 的``一般版", 問是否對任意給定的實數 b, 皆可找到一滿足題幹的拋物線其頂點坐標為 (2, b)? 我們已知滿足題幹的拋物線 b, c 需滿足 4c - bc = 9 的關係式, 且若 b, c 確定就表示確定此 $\Gamma$. 然而當 b = 4 時, 不可能找到 c 滿足 4c - bc = 9, 故知當 b = 4 時, 並無這樣的拋物線 $\Gamma$. 亦即不可能有滿足題幹的拋物線其頂點坐標為 (2, 4). 事實上若 b$\ne$4, 我們有 c = 9/(4 - b), 亦即直線 x - 2 = 0 上除了點 (2, 4) 外其他點都可能是拋物線 $\Gamma$ 的頂點.

選項 (2), (5) 的訊息為焦點. 焦點不在拋物線上, 故若要用方程式來處理, 就必須將焦點的訊息轉換成拋物線上的點 (一般就是頂點, 因為它和焦點關係最密切). 將焦點坐標 (2, 12) 轉換成頂點坐標, 頂點之 y 軸坐標應為 12 - c (因已假設焦距為 c), 即 b = 12 - c. 代回原已知 b, c 的關係式 4c - bc = 9, 得 c 需滿足 c² - 8c - 9 = 0, 即 c = 9 或 c = - 1. 故知這樣的 $\Gamma$ 應有兩個, 一個頂點為 (2, 3), 另一個頂點為 (2, 13). 選項 (5) 是選項 (2) 的``一般版", 問是否對任意給定的實數 r, 皆可找到一滿足題幹的拋物線其焦點坐標為 (2, r)? 然而若 $\Gamma$ 的焦點坐標為 (2, r), 則 $\Gamma$ 的頂點坐標應為 (2, r - c), 即 b = r - c. 故由 b, c 需滿足 4c - bc = 9 的關係式, 得 c 需滿足 c² + (4 - r)c - 9 = 0. 由於此二次方程式判別式 (4 - r)² + 36 恆大於 0, 知對任意給定的實數 r, 皆可找到(兩個相異) 實數解, 亦即必存在(兩個)滿足題幹的拋物線其焦點為 (2, r).

所謂拋物線的定義指的是每一條拋物線都有一個焦點與一條準線, 而拋物線上的點到準線和焦點距離相等, 反之到準線和焦點距離相等的點都在此拋物線上. 所以只要準線和焦點確定, 這條拋物線也因之而確定了. 本題中 $\Gamma$ 的稱軸為鉛直線 x = 2, 所以我們知焦點會落在 x = 2 這直線上, 而準線會是與 x = 2 相垂直的一條水平線. 又已知 $\Gamma$ 通過 (8, 4), 所以準線會是一個以 (8, 4) 為圓心的圓的一個水平切線, 而焦點會是此圓和直線 x = 2 的一個交點. 既然由焦點和準線可確定此拋物線, 所以當問題的訊息是有關 $\Gamma$ 的焦點或準線, 那麼用定義會比較好處理. 例如選項 (2), (5) 都是有關 $\Gamma$ 的焦點, 所以用定義來處理應較有效. 選項 (2) 中已知焦點為 (2, 12) 所以我們可以 (8, 4) 為圓心, (8, 4) 到 (2, 12) 的距離 (即 10) 為半徑畫圓. 此圓有兩個水平切線 (即 y = - 6 與 y = 14), 也就是說 (8, 4) 到 (2, 12) 的距離和到這兩條水平線的距離皆相等. 換言之, 若以 (2, 12) 為焦點這兩條水平線都可能會是 $\Gamma$ 的準線. 因此符合條件的 $\Gamma$ 無法確定頂點會是哪一個 (所以選項 (2) 是錯的). 事實上若 y = - 6 為其準線, 則焦距為 (12 - (- 6))/2 = 9, 知頂點為 (2, 3), 但若 y = 14 為其準線, 則焦距為 (12 - 14)/2 = - 1, 得頂點為 (2, 13). 這個結果和前面用方程式的方法所得結果相吻合. 選項 (5) 是選項 (3) 的一般情況, 在 x = 2 上任取一點, 則以此點到 (8, 4) 的距離為半徑, 並以 (8, 4) 為圓心畫圓. 此圓必有兩條水平切線, 因而得知必可找到(兩條)準線. 也就是說以 x = 2 上任一點為焦點且符合題意的拋物線一定存在(且有兩條).

如果給的訊息是拋物線上另一點, 那麼用定義來處理就較麻煩了. 我們必須利用這個點來找出此拋物線的焦點和準線. 選項 (1) 給的是頂點坐標 (2, 1). 既然 (2, 1) 和 (8, 4) 在同一個拋物線上, 表示我們要找到兩個分別以 (2, 1) 和 (8, 4) 為圓心的圓, 其中有一個交點落在 x = 2 這條直線上 (因焦點必在對稱軸上) 且有共同的水平切線 (因準線是水平線). 這沒什麼好的幾何看法能處理, 僅能用代數的方法來解, 不過這就回歸到原來方程式的解法了. 也就是說我們假設 $\Gamma$ 的焦距為 c. 可得準線為 y = 1 - c, 焦點為 (2, 1 + c). 因 (8, 4) 到準線 y = 1 - c 的距離為 4 - (1 - c) = 3 + c, 知 (8, 4) 到焦點 (2, 1 + c) 的距離 $\sqrt{(8-2)^2+(4-(1+c))^2}$ 應為 3 + c. 解得 c = 3, 得知焦點為 (2, 4). 選項 (4) 是選項 (1) 的一般情形, 我們可依上面的方法證得 (2, 4) 不可能為頂點, 這裡就不再贅述. 事實上由拋物線的圖形很容易知道 (2, 4) 不可能是頂點. 這是因為由對稱軸是鉛直線, 我們知 $\Gamma$ 是開口向上或開口向下的拋物線, 所以不應有其他的點 (即 (8, 4)) 和頂點是同樣高度的 (即 y 軸坐標皆為 4). 至於選項 (3) 已知 $\Gamma$ 通過另外一點 (10, 11), 也就是說我們要找到兩個圓分別以 (8, 4) 和 (10, 11) 為圓心有共同的水平切線 (即 $\Gamma$ 的準線) 且兩圓有一交點 (即 $\Gamma$ 的焦點) 落在 x = 2 上. 我們假設此二圓共同的水平切線為 y = s, 且交於 x = 2 的點為 (2, t). 因為 (8, 4) 到 y = s 的距離為 $\left\vert\vphantom{ 4-s}\right.$4 - s$\left.\vphantom{ 4-s}\right\vert$, 而 (10, 11) 到 y = s 的距離為 $\left\vert\vphantom{ 11-s}\right.$11 - s$\left.\vphantom{ 11-s}\right\vert$, 所以以 (8, 4) 為圓心的圓其半徑為 $\left\vert\vphantom{ 4-s}\right.$4 - s$\left.\vphantom{ 4-s}\right\vert$ 而以 (10, 11) 為圓心的圓其半徑應為 $\left\vert\vphantom{ 11-s}\right.$11 - s$\left.\vphantom{ 11-s}\right\vert$. 焦點 (2, t) 必需在這兩個圓上, 所以我們有以下的聯立方程式:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} (2-8)^2+(t-4)^2 &=&(4-s)^2\\ (2-10)^2+(t-11)^2 &=& (11-s)^2\\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rcl} (2-8)^2+(t-4)^2 &=&(4-s)^2\\ (2-10)^2+(t-11)^2 &=& (11-s)^2\\ \end{array}$$

解之得 s = - 6 且 t = - 4, 即準線為 y + 6 = 0 且焦點為 (2, - 4).