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設 f (x) 為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1，已知 f (1) = 1, f (2) = 2, f (5) = 5，則 f (x) = 0 在下列哪些區間必定有實根？

(1) (- $\infty$, 0)         (2) (0, 1)         (3) (1, 2)         (4) (2, 5)         (5) (5,$\infty$)

說明:這一題乍看之下以為考勘根定理, 不過用勘根定理是不夠的, 還需用到因式定理以及非零多項式根的個數會小於等於多項式的次數這個性質. 比較有意思的是, 這個題目是一個很好的例子 讓同學了解一個多項式若代一區間的兩端點後同號, 則在此區間仍可能有根.

若僅用勘根定理, 只能因 f (1) > 0, f (x) 是三次多項式以及最高次項係數是正的知道此多項式在 (- $\infty$, 1) 有根. 表面上好像所有條件都用了, 結果沒一個選項可以選. 主要是最高次項係數 (即 x³ 項係數) 為 1 的假設很重要卻沒有充分利用. 依原假設以及因式定理知 (x - 1)(x - 2)(x - 5) 會是 f (x) - x 這個多項式的因式, 又因為它們同為三次多項式且最高次項係數相同故知 f (x) - x = (x - 1)(x - 2)(x - 5). 也就是說符合題目假設的多項式是唯一的, 就是 f (x) = (x - 1)(x - 2)(x - 5) + x. 既然知道這個多項式是什麼, 我們就可以有更多的點可以用勘根定理來找根了. 出題者好心給的數字不大, 所以很容易找到符合勘根定理的點. 例如由 f (0) = - 10, f (3) = - 1 知道 f (x) = 0 在 (0, 1) 和 (2, 5) 之間有根. 事實上在 (2, 5) 有兩個根, 一個在 (2, 3) 之間另一個在 (4, 5) (這是因為 f (4) = - 2). 當數字大一點時, 雖不能如這一題代一些整數點就夠, 但也不需考慮每一區間. 例如若 0 < a < b < c 且 f (x) = (x - a)(x - b)(x - c) + x, 若要用勘根定理找根所在區間, 我們只要考慮 (0, a) 和 (b, c) 這兩個區間即可. 這是因為當 a$\le$x$\le$b 以及 x$\ge$c 時, 皆有 f (x) > 0, 而當 x$\le$ 0 時會得 f (x) < 0.