9

坐標空間中，在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切，設其球心分別為 A, B, C。今將第四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。設第四個球的球心 為 P，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 點 A, B, C 所在的平面和 xy 平面平行     (2) 三角形 ABC 是一個正三角形

(3) 三角形 PAB 有一邊長為 $\sqrt{2}$                     (4) 點 P 到直線 AB 的距離為 $\sqrt{3}$

(5) 點 P 到 xy 平面的距離為 1 + $\sqrt{3}$.

說明:本題談的是空間幾何. 一般同學對空間的概念很懼怕, 所以空間幾何的問題常常就放棄了. 此題其實所需的空間概念很簡單, 很多問題在平面上就能解決, 又不必什麼計算, 放棄了可惜. 這裡所考的空間概念其實只有兩個: 一個是點到面的距離, 另一個是兩個相切的球其球心間的距離. 此題雖然有提到坐標空間以及 xy 平面, 但是可能只是為了敘述方便以及鼓勵同學將此平面看成是水平面用較直關的看法處理此題, 事實上這個題目是純粹幾何的問題不需要定坐標的.

此題拿出來討論主要是兩相切球的球心之間的距離, 在高中課程中或許有的版本沒有談. 或許同學直觀就了解其距離就是兩球半徑之和, 不過這裡想順便利用點到面的距離概念多做說明. 首先複習一下平面外一點到平面的距離概念. 給定平面 H 及其外一點 P, 在平面上會有唯一的一點 Q (通常稱為 P 在 H 的投影點), 滿足 H 上所有通過 Q 點的直線都會和 PQ 連線垂直, 而 P 到 H 的距離就是線段 $\overline{PQ}$ 的長度. 現在我們就用這個概念談一個球將之放置於一平面上, 其圓心到此平面的距離. 當然了一個球放在平面上表示此圓與此平面相切, 亦即此圓會和此平面僅交於一點, 稱為切點. 圓心到切點的距離當然是半徑 (因切點在球面上). 問題是此切點是否為圓心在此平面的投影點呢? 答案是對的, 否則在此平面會有一直線通過切點但不與球心到切點的連線垂直, 也就是說線上有一點(此點當然也就在平面上)和球心的距離會小於球心到切點的距離 (即半徑), 這和此平面和這個球相切的假設相矛盾. 由此知球心到切平面的距離就是半徑. 我們可以依此知道題目中 A, B, C 三點和 xy 平面的距離都是 1, 因此回答了選項 (1).

後面幾個選項都和兩個相切的球其球心間的距離有關. 兩個相切的球其球心間的距離會是它們半徑之和嗎? 由於這個問題和這兩個球擺在哪裡無關, 首先我們將一個球放在一平面上, 另一球放在同一平面的另一邊並讓它們的切點對齊 (放心在數學上是沒有地心引力的, 球不會掉下來). 也就是說這個平面同時和此兩球相切, 且切點相同. 假設兩個球球心分別為 D, G 而和平面的切點為 O, 我們要說的是 D, O, G 三點共線. 考慮任何包含 D, O, G 三點的平面, 這個平面會和兩球共同的切平面交於一線 L, 此線通過 O 點. 又前面已知 O 點同時是 D, G 在切平面的投影點. 故知 L 與直線 DO 及 GO 垂直, 故得 D, O, G 共線. 也就是說 D, G 的距離就是兩圓半徑之和. 由此我們知此題中 A, B, C, P 為邊長為 2 的正四面體, 故可依此回答其他的問題.