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下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right)$?

(1)  $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}%% }\right)$            (2)  $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}%% }\right)$        (3)  $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array}%% }\right)$

(4)  $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array}%% }\right)$          (5)  $\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}%% }\right)$

說明:高中課程中有關矩陣列運算的部份是在解多元一次聯立方程式時提及. 本題從矩陣是 3×4 矩陣, 以及選項來看, 應該傾向於與解聯立方程式連結, 而不是單純考列運算這個動作. 不過高中課程中對矩陣列運算與解聯立方程式間關係著墨不多. 看到此題, 或許有很多同學會``霧薩薩''不知道在考什麼.

讓我們先從純粹列運算的角度看這個問題. 一個矩陣經過列運算變成另一個矩陣, 這中間的步驟並不唯一. 所以若你找到一系列的列運算將一個矩陣轉換成另一個矩陣, 例如選項 (1) 的矩陣第 2 列乘上 -2 加到第 3 列就可以得到給定的矩陣, 那就沒問題; 但如果你一時無法找到列運算, 並不表示它們之間不能用列運算轉換, 除非你找到理由知道不可能. 所以如果只是單純地試試看每一個選項中的矩陣是否可經一系列的列運算轉換成給定的矩陣, 不只耗時而且可能出錯. 我們需要一個有系統的方法處理這樣的問題. 這裡最重要的關鍵是列運算式可逆的, 也就是說若矩陣 A 可以經列運算轉換成 B, 則 B 也可以經列運算轉換成 A. 因此若矩陣 A 和 B 都以經列運算轉換成 C, 那麼 A 和 B 之間當然就可以以經列運算轉換. 所以若我們嘗試將每一個矩陣經列運算轉換成某一種特殊形式的矩陣, 這種形式的矩陣需有一個特質就是每個矩陣皆可以轉換成這種形式的矩陣而且若換成這種形式的矩陣它是唯一的. 哪一種形式的矩陣有這樣的特質呢? 首先我們看每一個矩陣的第一行, 若第一行中有一個位置上的數字不是 0, 那麼我們就可以經列運算 將此行其他位置的數字變成 0 而原本位置的數字變成 1. 例如選項 (1) 的矩陣的第一行已達此目的可以不動, 而選項 (2) 的矩陣可以如下變換.

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} -1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0 \\ \end{array}%% }\right)$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}-1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -7 & 0\end{pmatrix}$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}-1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 10 & -10 & 0\end{pmatrix}$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 10 & -10 & 0\end{pmatrix}$$.

接下來我們將第一行唯一有 1 的那一列經列運算換到第一列, 然後進入下一步. 注意若一開始第一行全部為 0 就直接跳到下一步. 接下來這一步基本上是類似上面的方法處理第二行, 不過為了不改變第一行的結構, 我們要去找的是第二行中是否有位置上的數字不為 0 但其左邊的數字為 0 (即同列的第一行位置), 因為左邊為 0, 所以用這一列和其他列作列運算才不會影響第一行. 若有這樣的情形, 則用列運算將同行其他位置的數字變成 0, 而本身變成 1. 例如選項 (1) 的矩陣可以如下變換.

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ \end{array}%% }\right)$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$.

接下來若第一行的第一列是 1, 則將第二行唯一有 1 的這一列經列運算置於第二列, 否則將之置於第一列, 然後進入最後一步. 注意若第二行皆為 0, 或只有一個位置不為 0 且其左邊是 1, 則直接跳最後一步. 在下一步中我們仿造處理第二行的步驟處理第三行. 找出第三行中是否有位置其數字不為 0 且其左邊兩個位置 (即同列第一、二行) 皆為 0 (如此以這一列和其他列作列運算才不會影響前兩行). 若有這樣的情形, 則用列運算將同行其他位置的數字變成 0, 而本身變成 1. 例如剛才選項 (1) 的矩陣可以繼續做如下變換.

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right)$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ $$\rightarrow$$ $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$.

若在第三行找不到不為 0 的數其左邊兩個位置皆為 0, 則此步就省略. 最後整理若有一列其前三行皆為 0, 則利用列運算將之置於最下後一列. 因為我們考慮的是 3×4 矩陣, 我們要處理的步驟就此完成. 總結我們得到的矩陣有以下特性, 即前三行中每一行至多有一位置為 1 其餘皆為 0. 除了前三行皆為 0 的情況, 我們不必處理, 其餘情況所得的矩陣共有以下這 7 種形式.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & * \\ 0 & 1 & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & *\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & * & * \\ 0 & 1 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix} 1 & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix} 1 & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & *\end{pmatrix}$$,

這裡矩陣中的 * 表示可以是任意的數.

由前面的步驟來看, 每一個矩陣都可以經列運算得到這裡列出矩陣的形式, 而且很容易看出不同形式的矩陣是無法用列運算互換的; 而相同形式的矩陣, 若是相異, 也無法用列運算互換. 因此我們只要將兩個矩陣經列運算轉換成以上形式, 若所得矩陣相同, 則兩矩陣間可以由列運算互換; 若所得矩陣相異, 則兩矩陣間不能由列運算互換. 例如題目所給定的矩陣和選項 (1), (5) 的矩陣皆可化成 $\begin{pmatrix}{1} & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ 所以它們可以用列運算互換. 選項 (2) 的矩陣其第四行不管怎樣做列運算, 每個位置皆為 0 所以不會和上述矩陣相同, 而選項 (3), (4) 的矩陣前三行的 3×3 子矩陣, 經列運算會有一列全為 0, 和上述矩陣為不同形式的矩陣, 所以它們不可能經列運算得到題目給定的矩陣.

若對用 Gauss-Jordan 消去法解三元一次聯立方程組熟悉的話, 應該可以看出, 上面化成最後形式所做的列運算就是Gauss-Jordan 消去法的步驟. 其實本題若用解三元一次聯立方程組的角度處理, 可以很快解決, 不過處理之前我們還是先將原理講清楚. 我們可以用以下的方法將一般的 3×4 矩陣對應到一組三元一次聯立方程組.

$$\begin{pmatrix} a&b&c\,\,&l\\ e&f&g\,\,&m\\ r&s&t\,\,&n \end{pmatrix}$$ $$\longrightarrow$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} ax+by+cz & =l \\ ex+fy+gz & =m\\ rx+sy+tz & =n \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ll} ax+by+cz & =l \\ ex+fy+gz & =m\\ rx+sy+tz & =n \\ \end{array}$$

當矩陣在作列運算時相對應於將方程組中的某一式乘上一個非零常數, 或是將某一式乘上一個非零常數後加到另一式, 或是將其中兩式交換. 這樣的動作並不會改變這方程組的解集合. 所以我們馬上知道若矩陣 A 經列運算變換成矩陣 B, 則矩陣 A 所對應的方程組和矩陣 B 所對應的方程組它們的解集合相同. 不過反過來並不一定對, 如果兩矩陣所對應的方程組其解集合都是空集合, 那麼這兩個矩陣未必可用列運算互換. 例如兩矩陣

$$\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 1&0&0&1\\ 1&0&0&2 \end{pmatrix}$$,    $$\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&1&0&2 \end{pmatrix}$$

所對應的方程組依次為

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} x=0 \\ x=1\\ x=2 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{c} x=0 \\ x=1\\ x=2 \\ \end{array}$$,    $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} y=0 \\ y=1\\ y=2 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{c} y=0 \\ y=1\\ y=2 \\ \end{array}$$

這兩個方程組皆無解但兩矩陣卻不能用列運算互換. 不過若兩個矩陣所對應的方程組有解且解集合相同, 那麼這兩個矩陣就可以用列運算互換了. 例如兩矩陣所對應的方程組皆有唯一解 x = $\alpha$, y = $\beta$, z = $\gamma$, 表示兩個矩陣皆可利用 Gauss-Jordan 消去法的方法經由列運算得 $\begin{pmatrix}1&0&0&\alpha\\ 0&1&0&\beta\\ 0&0&1&\gamma \end{pmatrix}$ 這一個矩陣, 所以利用前面所提列運算是可逆的, 知這兩個矩陣是可以用列運算互換的. 有無窮多解的情況也可用類似方法說明, 不過要依前面所提列運算最後其他的形式分別說明較為繁複我們就不多說了. 本題中給定的矩陣所對應的方程組為

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x+2y+ 3z&=& 7 \\ y+z &=& 2 \\ z &=& 1\\ \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl} x+2y+ 3z&=& 7 \\ y+z &=& 2 \\ z &=& 1\\ \end{array}$$

很容易求得此方程組有唯一解且其解為 x = 2, y = 1, z = 1. 所以選項中的矩陣所對應的方程組若有相同的唯一解, 就可用列運算換成給定的矩陣; 反之則不行. 不過我們不必認真的把五個選項所對應的方程組都解出來, 出題者或許真的希望大家能用解方程組的角度解此題, 所選的方程組都很容易判別和給定的方程組是否有相同的解集合. 選項 (1) 直接用列運算處理即可. 選項 (2) 由於第四行全為 0, 不經任何運算就知道 x = 0, y = 0, z = 0 是所對應方程組的一組解, 不管最後會不會有無窮多解, 這當然已和給定的方程組有不同的解集合. 選項 (3) 的第一列和第三列完全相同, 表示其對應的方程組只有兩個式子, 但這是三個未知數的方程組, 所以其解不可能唯一 (其實此方程組會有無窮多解), 當然和給定的方程組會有不同的解集合. 選項 (4) 的第二列乘上 -2 後加到第三列後, 第三列會變成 (0  0  0  1) 表示此矩陣對應的方程組是矛盾方程組, 此方程組無解. 選項 (5) 比較特別, 直接看出它與給定的矩陣是經由第二、第三行交換得到. 這是一種行運算, 一般情形矩陣經由行運算的變換並不一定可由列運算得到. 矩陣的第二、第三行交換表示將所對應的方程組的 y 和 z 互換, 例如題目給定的矩陣和選項 (5) 其所對應方程組分別為

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\longrightarrow$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x+2y+ 3z&=& 7 \\ y+\,\,\,z &=& 2 \\ z &=& 1\\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rcl} x+2y+ 3z&=& 7 \\ y+\,\,\,z &=& 2 \\ z &=& 1\\ \end{array}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\longrightarrow$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x+3y+ 2z&=& 7 \\ y+\,\,\,z &=& 2 \\ y\,\qquad &=& 1\\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rcl} x+3y+ 2z&=& 7 \\ y+\,\,\,z &=& 2 \\ y\,\qquad &=& 1\\ \end{array}$$

一般的情形 y, z 交換後的方程組解集合會改變, 但此題原方程組唯一的一組解為 x = 2, y = 1, z = 1, 方程組經 y, z 對調後解仍為 x = 2, y = 1, z = 1 (注意 y = z = 1), 所以兩方程組有相同的解集合.