7

坐標平面上有相異兩點 P, Q ，其中 P 點坐標為 (s, t)。已知線段 $\overline{PQ}$ 的中垂線 L 的方程式為 3x - 4y = 0，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 向量 $\overrightarrow{PQ}$ 與向量 (3, - 4) 平行    (2) 線段 $\overline{PQ}$ 的長度等於 ${\dfrac{\left\vert 6s- 8t\right\vert }{5}}$

(3) Q 點坐標為 (t, s)                         (4) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 (- s, - t)

(5) 以 O 表示原點，則向量 $\overrightarrow{OP}$ + $\overrightarrow{OQ}$ 與向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的內積必為 0.

說明:此題應屬有關平面向量的問題. 幾乎所有相關的問題都問了, 考了直線的法向量, 點到線的公式, 平行與對稱的概念, 最後還問了個內積. 這麼多概念都考了對大部分同學來說實屬不易, 更何況出題者充分用到原點在中垂線上這個事實(但此事實卻隱含在題目中), 所以有些選項若用純幾何的觀點還真令人有些吃驚. 此題基本上仍還是有代數(座標幾何)和幾何(平面向量)兩種方式處理. 代數的方法需懂得假設 Q 點坐標, 而幾何的方法便需注意前面所說原點在 $\overline{PQ}$ 的中垂線上.

我們先用代數的方法處理. 選項 (1) 和 (2) 問的是基本的問題, 我們就不多談了. 接下來的選項都和 Q 點有關, 所以我們很大膽的設 Q 點坐標, 看看能否解決問題. 假設 Q 點坐標為 (a, b), 我們要如何利用已知的條件來了解 a 和 b 呢? 要注意雖然 P 點坐標 (s, t) 是以未知的形式出現, 但此處我們要將之看成是已知數, 題目用未知數的方式呈現只是要強調所得的性質對任意的 s, t 皆需成立. 這裡我們唯一的線索是 3x - 4y = 0 是 (s, t) 和 (a, b) 兩點連線段的中垂線, 也就是 3x - 4y 通過 (s, t) 和 (a, b) 的中點 ((s + a)/2,(t + b)/2), 而且 3x - 4y = 0 垂直於 $\overrightarrow{PQ}$ = (a - s, b - t). 由此我們馬上得到下面兩個關係式:

3(s + a) = 4(t + b) (96.3)

3(b - t) = -4(a - s) (96.4)

別忘了這裡我們把 s, t 當成已知數, 所以 a 和 b 符合式子 (96.3) 和式子 (96.4) 這一個二元一次聯立方程祖, 我們馬上可解得

a = $${\frac{7 s + 24 t}{25}}$$,    b = $${\frac{24s-7t}{25}}$$.

其實本題其他選項不必求 a, b 也可以處理. 選項 (3) 雖然談的就是 a, b 之值, 但是若 Q 的坐標為 (t, s), 表示 $\overline{PQ}$ 的中點為 ((s + t)/2,(s + t)/2), 但是除非 s = t = 0, 這一點不會在 3x - 4y = 0 上, 所以此選項不選. 選項 (4) 問的是 (a, b) 和 (- s, - t) 的連線是否與 3x - 4y = 0 平行, 也就是問向量 (a, b) - (- s, - t) = (a + s, b + t) 是否與向量 (3, - 4) 垂直 (已知選項 (1) 是對的)? 利用由於這兩個向量的內積為 3(a + s) - 4(b + t) 馬上由式子 (96.3) 知道它們是垂直的. 至於選項 (5) 要算的就是向量 (s, t) + (a, b) 與向量 (3, - 4) (已知選項 (1) 是對的)是否垂直? 由於這兩個向量的內積為 3(a + s) - 4(b + t) 再次由式子 (96.3) 知道它們是垂直的. 這裡要注意雖然選項 (4), (5) 我們僅用式子 (96.3) 證明它們是對的, 這並不表示選項 (4), (5) 僅需 3x - 4y = 0 通過 $\overline{PQ}$ 的中點就會成立. 事實上我們在處理過程中還是有用到 3x - 4y = 0 和 $\overline{PQ}$ 垂直這個事實, 即選項 (1). 所以這兩個選項還是需 3x - 4y = 0 是 $\overline{PQ}$ 的中垂線這樣的假設才會成立.

用代數的方法解決問題雖然有其便利性, 但是很多性質僅是利用一些等式推得無法理解其背後真正的原因. 例如本題選項 (4), (5) 感覺起來蠻特殊的性質, 用代數的方法便無法知道是什們因素造成這樣的結果. 我們就針對選項 (4), (5) 用幾何的方法處理, 以便了解其個中原委. 令點 (- s, - t) 為 R 點, 我們大致上可作下圖.

要注意原點 O 為 $\overline{PR}$ 的中點, 且 $\overline{PQ}$ 的中垂線 L 通過 O (因 L 的方程式為 3x - 4y = 0). 考慮三角形 PQR, 由於直線 L 通過 $\overline{PQ}$ 和 $\overline{PR}$ 的中點, 故知 L 會與 QR 的連線平行. 證得選項 (4) 是對的. 至於選項 (5), 我們利用向量 $\overrightarrow{OP}$ = - $\overrightarrow{OR}$ 知

$$\overrightarrow{OP}$$ + $$\overrightarrow{OQ}$$ = $$\overrightarrow{OQ}$$ - $$\overrightarrow{OR}$$ = $$\overrightarrow{RQ}$$.

但已知 RQ 連線與 L 平行, 而 L 是 $\overline{PQ}$ 的中垂線, 故知 $\overrightarrow{RQ}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$ 垂直. 證得選項 (5) 是對的. 從這個證明中我們發現 (4), (5) 這兩個選項會對的原因僅需 $\overline{PQ}$ 的中垂線 L 通過原點. 所以只要 $\overline{PQ}$ 的中垂線方程式是如 cx + dy = 0 這樣的形式, 選項 (4), (5) 都會對. 這個結果前面用代數方法時很難被發現.